高二数学线性规划练习题

2.（2009安徽卷理）若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k 的值是 ( )
（A ）37 （B ） 73 （C ）34 （D ）4
3 [解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由⎩⎨⎧=+=+4
343y x y x 得)1,1(A ，又)34,0(),4,0(C B ∴3
41)344(21=⨯-⨯=
∆ABC S ，设kx y =与43=+y x 的交点为D ， 则由3221==∆∆ABC BCD S S 知:25,21=∴=D D y x ，3
7,342125=+⨯=∴k k .选A 。

4．（2006·黄冈模拟）原点O 和点P （1，1）在直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ）
A. 20><a a 或
B. 20==a a 或
C. 20<<a
D. 20≤≤a 10.(2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则b a 32+的最小值为( ). A.625 B.38 C.3
11 D. 4 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,
目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12,
即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a b
a b ++=++≥+=,故选A. 11.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为( )
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
17. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求：
（1）42-+=y x z 的最大值；（2）251022+-+=y y x z 的最小值；（3）1
12++=
x y z 的范围。

17点拨：（1）4y 2x z -+=表示直线的纵截距问题；
（2）25y 10y x z 22+-+=表示距离的平方问题；
（3）
1x 1y 2z ++=表示两点连线的斜率问题。

解析：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）。

（1）易知可行域内各点均在直线04y 2x =-+的上方，
故04y 2x >-+，
将C （7，9）代入z 的最大值为21。

（2）22)5y (x z -+=表示可行域内任一点（x,y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易
知垂足N 在线段AC 上，
故z 的最小值是
29|MN |=。

（3）
)1(x )21(y 2z ----⋅=表示可行域内任一点（y ,x ）与定点Q （21,1--）连线的斜率的两倍， 因为
83k ,47k QB QA ==， 故z 的范围为]27,43[。

22. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/小时（20v 4≤≤）从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（100W 30≤≤）自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午16时至21时到达C 市，设汽车、摩托艇所用的时间分别是x ，y 小时。

（1）作图表示满足上述条件的y x +的范围；（2）如果已知所需的经费)y 8(2)x 5(3100z -+-+=（元），那么v ，W 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
22. 解析：（1）由题意，得
x 300W ,y 50v ==
； 225y 25,10x 3,.100W 30,20v 4≤≤≤≤∴≤≤≤≤ ，
又由题意知14y x 9≤+≤ （2）由已知，得z 131y 2x 3-=+
设m z 131=-，则当m 最大时，z 最小，在图示的满足不等式组的平面区域（包括边界）且斜率为
23-的直线
m y 2x 3=+中，使m 值最大的直线必通过（10，4），即当4y ,10x ==时，m 最小。

此时，z ,30W ,5.12v ==的最小值为93元。