(完整word版)(整理)高三平面解析几何

平面解析几何上课时间学生姓名：编写人
【知识图解】
例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程；
（3）已知实数m 13⎡⎤∈-
-⎢⎥⎣⎦
，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．
例2.直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l 的方程.
例3.直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段中点为P （－1，2）.求直线l 的方程.
【练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示；②经过任意两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程
a x +b
y
＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示，其中正确的是
2.设直线l 的方程为()()232603x k y k k +--+=≠,当直线l 的斜率为-1时，k 值为____,当直线l 在x 轴、y 轴上截距之和等于0时，k 值为
3.设直线 a x+b y+c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a ,b 满足的关系式为
4.若直线l ：y ＝kx 3-
与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取
值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为
c
1
，则c 的值为 6．若直线(m 2
─1)x ─y ─2m +1=0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是 答案1、①③④ 2、5 、1或3 3、0=-b a 4、)2,6(
π
π
5、51
6、112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
两条直线的位置关系
例4.已知两条直线1l :x +m 2y +6=0, 2l :(m -2)x +3my +2m =0，当m 为何值时, 1l 与2l
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？
例5.已知直线l 经过点P （3，1），且被两平行直线1l ：x +y +1=0和2l ：x +y +6=0截得的线段之长为5。

求直线l 的方程。

【练习】
1.已知直线l 在x 轴上的截距为1，且垂直于直线x y 2
1
=
，则l 的方程是 2.若直线3)1(=-+y a ax 与5)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则 =a 3.若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行，则a 的值是______. 4.已知2
0π
θ≤
≤，且点)cos ,1(θ到直线1cos sin =+θθy x 的距离等于
4
1
，则θ等于 5. 经过直线0732=-+y x 与01157=++y x 的交点，且平行于直线032=-+y x 的直线方程是
1、22+-=x y
2、-3或1
3、-1
4、
6π
5、
3x+6y-2=0
圆的方程
例6设方程2
2
2
4
2(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

变式1：方程2
2
4(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。

例7. 求半径为4，与圆04242
2
=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 【练习】
1.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是
3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+y 2=4的内部，则k 的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是
6.方程1x -=_
7.圆2)4()3(2
2
=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的方程是
8.如果实数x 、y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:2
2
=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为_____
答案1、B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 2、(5，-1) 3、1
15
k -
<< 4、22
460x y x y +-+= 5、31,1010⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 6、两个半圆 7、22
(4)(3)2x y -++= 8、3 9、_8
例1分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在．当m ≠－1时，1
1
k m =
+， （2）当m =－1时，AB ：x =－1，当m ≠1时，AB ：()1
211
y x m -=
++. （3）①当m =－1时，2
π
α=
；
②当m ≠－1时，∵(
1,1k m ⎫=∈-∞⋃+∞⎪⎪+⎣⎭
∴2,,6223ππππα⎡⎫⎛⎤
∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
故综合①、②得，直线AB 的倾斜角2,63ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
例2析引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l 的方程. 解(1)设直线l 的方程为y -1=k (x -2),则点A(2-1k ,0),B(0,1-2k ),且2-1
k
>0, 1-2k >0,即k <0.
△AOB 的面积S=
12(1-2k )(2-1k )=12[(-4k )+1k -+4]≥4,当-4k =1k -,即k =1
2
-时, △AOB 的面积有最小值4,则所求直线方程是x +2y -4=0. (2)解法一:由题设,可令直线方程l 为y -1=k (x -2). 分别令y =0和x =0,得A(2-
1
k
,0),B(0,1-2k ),
∴|PA|·|PB|=4=≥,当且仅当k 2=1,即k =±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k <0, ∴k =-1,这是直线l 的方程是x +y -3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,
2
π),且|PA|·|PB|=||||4
4sin cos sin 2PE PF θθθ⋅=≥
当且仅当θ=4
π
时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l 的斜率为-1, 直线l 的方程是
例3分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线l 交l 1于A （a ，b ），则点（－2－a ，4－b ）必在l 2，所以有
4303(2)5(4)50a b a b ++=⎧⎨
-----=⎩，解得2
5a b =-⎧⎨=⎩
直线l 过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x ＋y ＋1＝0.
解法二 由已知可设直线l 与l 1的交点为A （－1＋m ，2＋n ），则直线l 与l 2的交点为B （－1－m ，2－n ），且l 的斜率k ＝
n
m ，∵A,B 两点分别l 1和l 2上，∴4(1)(2)303(1)5(2)50
m n m n -++++=⎧⎨-----=⎩，消去常数项得－3m ＝n ，所以k ＝－3， 从而直线l 的方程为3x ＋y ＋1＝0.
解法三 设l 1、l 2与l 的交点分别为A,B ，则l 1关于点P （－1，2）对称的直线m 过点B ，利用对称关系可求得m 的方程为4x ＋y ＋1＝0，因为直线l 过点B ，故直线l 的方程可设为3x －5y －5＋λ（4x ＋y ＋1）＝0.由于直线l 点P （－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l 的方程为3x －5y －5－18（4x ＋y ＋1）＝0，即3x ＋y ＋1＝0. 例4解:当ｍ＝0时，1l ：x ＋６＝０，2l ：x ＝０，∴1l ∥2l ， 当ｍ＝2时，1l ：x ＋４y ＋６＝０，2l ：３y ＋２＝０ ∴1l 与2l 相交；
当m ≠０且m ≠２时，由m m m 3212=-得m ＝－１或m ＝３，由m
m 26
21=-得m ＝3 故（１）当m ≠－１且m ≠３且m ≠０时1l 与2l 相交。

（２）m ＝－１或m ＝０时1l ∥2l ， （３）当m ＝３时1l 与2l 重合。

例2图
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例5解法一：:若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，此时与1l 、2l 的交点分别是A 1（3，-4）和
B 1（3，-9），截得的线段AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。

若直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y =k （x -3）+1，
解方程组()1031x y y k x ++=⎧⎪⎨=-+⎪⎩
得A （,123+-k k －
114+-k k ）
解方程组 ()60
31x y y k x ++=⎧⎪⎨=-+⎪⎩
得B （173+-k k ，－119+-k k ）
由|AB|=5 得232371
1k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭+2
419111k k k k --⎛⎫
-+ ⎪++⎝⎭=25，
解之，得k =0，即所求的直线方程为y =1。

综上可知，所求l 的方程为x =3或y =1。

解法二.设直线l 与1l 、2l 分别相交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1+y 1+1=0， x 2+y 2+6=0。

两式相减，得（x 1-x 2）+（y 1-y 2）=5 ① 又（x 1-x 2）2+（y 1-y 2）2=25 ②
联立① ②，可得121250x x y y -=⎧⎨
-=⎩或121205
x x y y -=⎧⎨-=⎩
由上可知，直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点P （3，1），故所求l 的方程为x =3或y =1。

点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
例6解：配方得：[]2
2
2
2
(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦ 该方程表示圆，则有
2
1670m m +->，得1
(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2
341
x m y m =+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭∴所求的轨迹方程是
24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
变式1解：原方程可化为2
2222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤
-++=⎢⎥⎣
⎦ 2220,a a -+>∴Q 当a 0≠时，原方程表示圆。

又r ===
当min 2,a r ==()()22
112x y -++=
例7解：则题意，设所求圆的方程为圆2
22)()(r b y a x C =-+-：
．
圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242
2
=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2
2
2
7)14()2(=-+-a ，或2
2
2
1)14()2(=-+-a (无解)，故可得
1022±=a ．
∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2
224)4()1022(=-++-y x ．
(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2
221)14()2(=--+-a (无解)，故
622±=a ．
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精品文档 ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．。