山东省滨州市2020届高三数学11月质检 理 新人教A版

山东省滨州市滨城区一中2020届高三11月质检
数学试题（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.已知向量a ，b ，则0 •b a
是a
b
的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为向量,a b r r
中有可能为零向量，所以0a b r r 时，推不出a b r r 。

若a b r r ，所以0a b r r ，所以0a b r r 是a b r r
的必要不充分条件.
2. 已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且,22 n n a s 则2a 等于 （ ）
A ． 4
B ．2
C ．1
D ． 2 【答案】A
【解析】因为22 n n a s ，所以11122a s a ，解得12a ，所以
221222=s a a a ，即2124a a ，选A.
3. 对于函数()cos f x x x ，下列命题中正确的是 （ ）
A ．,()2x R f x
B ．,()2x R f x
C ．,()2x R f x
D ．,()2x R f x
【答案】B
【解析】因为()cos 2sin()6
f x x x x
，所以2()2f x ，即B 正确，
选B.
4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11,a a 则7S 等于 （ ）
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
【答案】C
【解析】因为数列{}n a 是等差数列，所以172631114a a a a ，所以
1777()714
49.22
a a S
选C. 5.己知平面向量
满足
，
与的夹角为60°,则“1m ”是
“()a mb a r r r
”的
(A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件 (C)充要条件 （D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由()a mb a r r r 得，2()0a mb a a ma b r r r r r r g g ，即2cos 600a m a b o
r r r g ，
所以10m ，所以1m ，即“1m ”是 “()a mb a r r r
”的充要条件，选C.
6. 已知0 a 函数ax x x f 3
)(在),1[ 是单调增函数，则a 的最大值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D
【解析】函数的导数2
'()3f x x a ，要使函数在),1[ 是单调增函数，则有
2'()30f x x a 横成立，即23a x ，又231x ，所以3a ，即a 的最大值是3，选
D.
7.要得到函数）π
4
2sin(3 x y 的图象，可以将函数的图象
(A)沿x 轴向左平移
个单位 （B)沿x 向右平移个单位
(C)沿x 轴向左平移个单位 （D)沿x 向右平移个单位
【答案】B
【解析】3sin(2)3sin[2()]48
y x x
,根据函数图象平移的“左加右减”原则，应该将函数3sin 2y x 的图象向右平移8
个单位.
8.如图，为了测量某湖泊的两侧A,B 的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A,B 两点间的距离是（ ）
A. 角A 、B 和边b
B. 角A 、B 和边a
C. 边a 、b 和角C
D. 边a 、b 和角A 【答案】D
【解析】根据正弦定理和余弦定理可知当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答
案是不唯一的。

所以选D. 9. 已知对数函数
是增函数，则函数
的图象大致是（）
【答案】B
【解析】因为函数是增函数，所以1a ，函数(1),0
()=(1),0
f x x f x f x x
，所以选B.
10. 已知函数()sin cos ,()2sin f x x x g x x ，动直线x t 与()f x 、()g x 的图象分别交于点P 、Q ，||PQ 的取值范围是 ( ) A ．[0，1] B ．[0，2] C ．[02] D ．[12] 【答案】C
【解析】()()sin cos 2)4
PQ g t f t t t t
,所以02PQ C.
11. 函数()sin()(0,0)11f x A x A x x 在和处分别取得最大值和最小
值，且对于任意 ]1,1[21 x x 、（21x x ）都有0)
()(2
121 x x x f x f 成立则( )
A ．函数(1)y f x 一定是周期为2的偶函数
B ．函数(1)y f x 一定是周期为2的奇函数
C ．函数(1)y f x 一定是周期为4的奇函数
D ．函数(1)y f x 一定是周期为4的偶函数 【答案】D
【解析】任意 ]1,1[21 x x 、（21x x ）都有
0)
()(2
121 x x x f x f ,所以函数在[1,1]
上单调递增，又函数()sin()(0,0)11f x A x A x x 在和处分别取得最大值和最小值，所以
1(1)22T ，所以4T ，即24,2
T。

又(1)sin()2f A A
，即sin()12 ，即2,22
k k Z
，所以
2,k k Z
，所以
()sin
2
f x A x
为奇函数。

所以
(1)sin
(1=cos
2
2
y f x A x A x
）为偶函数，所以选D.
12. 向量)0,2( a ，b =（x, y ）若b 与b -a 的夹角等于6
π，则b 的最大值为( )
A ．2
B ．32
C ．4
D ．
3
3
4 【答案】C
【解析】由题意可知,a b r r 不共线 且2a r ，则有2222cos 6
a b a b b a b
r r r r r r r g ，即
22
42b a b b b a r r r r r r g ，即2240b a b a b r r r r r g ，则判别式
2
2)4(4)0b r ，即2234160b b r r ，所以216b r ，即4b r ，所以b
的最大值为4，选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 由曲线x
e y x x ,0,1以及x 轴所围成的面积为 ______ . 【答案】e
11
【解析】0
011
1
1.1x
x
S e dx e
e e e
14. 已知)2,(cos x a
，)3,sin 2(x b ,b a //,则 x x 2cos 22sin .
【答案】825
【解析】因为b a
//，所以3cos 4sin 0x x ，即3
tan 4
x
，又22
222
2sin cos 2cos 2tan 28
sin 22cos sin cos 1tan 25
x x x x x x x x x 。

15.已知等差数列}{n a 的前n 的和为n s ，且105531 a a a ,99642 a a a 则n s 取得最大值时的n= . 【答案】20
【解析】由105531 a a a 得333105,35a a 。

由99642 a a a ，得
44399,33a a ，所以解得12,39d a 。

所以1(1)412n a a n d n ，由0n a 得，411
2022
n
，
所以当20n ，0n a ，所以前20项之和最大，此时20n 。

16.设
a ，对任意x R ，不等式
2
()cos 0a cos x m x 恒成立，则实数m 的取值范围为 .
【答案】 3,
【解析】根据定积分的几何意义知4
a
，所以不等式2
(cos )cos 0a x m x 可以化
为
2(cos )cos 04
x m x
，即2cos 4cos 0x m x 恒成立，所以
2cos 4cos m x x 恒成立，又因为22cos 4cos (cos 2)4,x x x 1cos 1x ，所
以2cos 4cos x x 的最小值为3, 所以m 的取值范围为(,3].
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本题满分12分）在边长为1的等边三角形ABC 中，设 BD BC 2,
CE CA 3 (1)用向量
AC AB ,作为基底表示向量
BE （2）求
•BE AD
18.设ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为c b a 、、已知4
1
cos ,2,1 C b a （1）求ABC 的边长。

（2）求)cos(C A 的值
19. （本题满分12分）已知数列 n a 满足31 a ，1211 • n n n a a a （1）求2a ，3a ， 4a ；
（2）求证：数列11n a
是等差数列，并求出 n a 的通项公式。

20. （本题满分12分）在△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，2,2sin .3
B a c A
设函数2
()sin 24cos cos f x x A x （1）求角C 的大小；
（2）求函数)(x f 的单调递增区间
21（本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为
y km ．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO= (rad)，将y 表示成 的函数关系式； ②设OP x (km) ，将y 表示成x 的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
22. （本题满分14分）定义：若 R x 0，使得00)(x x f 成立，则称0x 为函数)(x f y 的一个不动点
(1)下列函数不．
存在不动点的是（ ）---（单选） A. x x f a log 1)( （1 a ） B.1)2()(2
x b x x f (b>1)
C. x x f ln )(
D.x x f )(
(2)设2
ln 2)(ax x x f (R a ),求)(x f 的极值 (3)设2
1
ln 2)(2
a e x ax x x g (为自然对数的底数e ).当a >0时，讨论函数C
B
P
O
A
D
)(x g 是否存在不动点，若存在求出a 的范围，若不存在说明理由。

高三数学（理）二检试题参考答案 一、选择题BABCC DBDBC DC 二、填空题：13.e 11 14.25
8 15.20 16. 3, 三、解答题：
17. （1） BE = AE BA =
AC AB 3
2 ————————————4分
（2） •BE AD =• AD (
AC AB 32)=• AD )( AB +3
2•
AD AC ———6分
=0
150cos
•AB AD +0
30cos 3
2 •AC AD ——————————9分
=
)23(123 +2312332 =-4
1
———————————12分 18解：（1）由余弦定理得：C ab b a c cos 22
2
2
————————————2分 =1+4—2×1×2×4
1
=4
∵c>0 ∴c=2———————————————4分
（2）1615411cos 1sin 2
22
C C
C 0 4
15
sin
C ——————————————6分 由正弦定理得：
C
c
A a sin sin 4
15
2sin 1 A 即：
8
15
sin A 解得，
———————————————————8分
64498151sin 1cos 2
2
2
A A 在三角形ABC 中b a
B A
为锐角A
8
7
cos
A ———————————————————10分
B A
C A C A sin sin cos cos )cos( —————————————11分
16
11
4158154187 ———————————12分
19.解：（1）3,12111 • a a a a n n n 又 ∴7
9
,57,35432
a a a ___________________________3分 (2)证明：易知01 n a ，所以1
12
n n a a _____________________4分
当时，
2 n 11
1
)12(11
1
11111 n n n n a a a a
1
1111
11
n n a a
=
1
1
1111 n n n a a a
=1 所以为公差的等差数列为首项以是以111
111
a a n __________8分 （3）由（2）知
2
1
1)1(2111 n n a n __________________10分 所以1
21
21122
n n n a n __________________________12分 （其他方法酌情给分）
20、解
x
A x x f A C C C A C A A C A A c a
B 2cos cos 42sin )(246
,30,2
1sin 0sin 23
,sin sin 2sin sin 2,3
21
•
）（分
分
）（
分5cos 2
3
42sin 2
x x )2
2cos 1(
322sin x
x =分732cos 32sin x x 分（83)3
2sin 2
x
分令9,2
23
22
2
Z k k x k
分1112
125
k x k 分）的增区间为12,12,125(
Z k k k x f
21．解
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO= (rad) ，则10
cos cos AQ OA
, 故 10
cos OB
，又OP ＝1010tan 所以1010
1010tan cos cos y OA OB OP
， 所求函数关系式为2010sin 10cos y
04
┅┅┅3分
②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以
所求函数关系式为 010y x x ┅┅┅6分
（Ⅱ）选择函数模型①，
'
2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y
g
令'
y 0 得sin 12
，因为04 ，所以 =6
，┅┅┅9分
当0,
6
时，'
0y ，y 是 的减函数；当,64
时，'0y ，y 是 的增函数，所以当 =
6
时，min 10y 。

这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
3
km 处。

┅┅┅12分 22.解.（1）C ┅┅4分
（2）)0(2222)(2
x x
ax ax x x f ①当a=0时，02
)(
x
x f ，)(x f 在 ,0上位增函数，无极值； ②当a<0时，)(x f >0恒成立，)(x f 在 ,0上位增函数，无极值； ③当a>0时, )(x f =0,得a
x 1
，列表如下： X
a 1,0 a
1
,1a )(x f
0 _ )(x f
增
极大值
减
当a x 1
时，)(x f 有极大值=1ln )1
(
a a
f 综上，当0 a 时无极值，当a>0时)(x f 有极大值=1ln )1
(
a a
f .┅┅10分 （3）假设存在不动点，则方程x x
g )(有解，即02
1
ln 22
a e ax x 有解。

设
)(x h 2
1ln 22
a e ax x ，（a>0）有（2）可知)(x h 极大值211ln a e a 2
1
ln a e a ，下面判断)(x h 极大值是否大于0，设
21ln )(
a e a x p ，（a>0）,221)(a a e a e a a p ,列表如下： A ),0e
e ),( e )(a p
0 — P(a)
增 极大值 减 当a=e 时，)(a p 极大值=p(e)=2
5 <0,所以021ln )( a e a a p 恒成立，即)(x h 极大值小于零，所以)(x g 无不动点。

┅┅14分。