1.4阶跃函数和冲激函数

γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示 的矩形脉冲Pn(t) 。
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ (t) 的尺度变换
研究

(at)(t)dt
a≠0的常数

δ (at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ [f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
0,

| t |
2
| t |

2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)


(t


2
)


(t


2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点 的物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
• 一、阶跃函数和冲激函数 • 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃
函数。并用求导和求极限的方法定义冲激 函数。 • 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
信号与线性系统
t<-1/n -1/n < t < 1/n 1/n < t
如何用阶跃函数表示如下信号信号与线性系统1信号与线性系统1冲激函数的导数t也称冲激偶信号与线性系统三角脉冲信号与线性系统门函数选择一类性能良好的函数t检验函数一个广义函数gt作用在t得到一个数值信号与线性系统的定义
信号与线性系统
1.4 阶跃函数和冲激函数
• 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数， 称为奇异函数。研究奇异函数的性质要 用到广义函数（或分配函数）的理论。
信号与线性系统

(t)dt ?? 1
'(t)dt ?? 0
为方便，常省去负冲激，并标明 δ’(t) ，以免 与δ(t) 相混淆
信号与线性系统
门函数
• 下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。
g(t)
特点:宽度为，幅度为1。
1 -/2 0 /2
1, g (t)
• 若f(t)=0的n个根t=ti都是单根，即在t=ti处 f’(ti)0，则在t=ti附近有：
n
[ f (t)]
i 1
|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
是位于各ti处，n个冲激函数构成的冲击函数序列。
例：若f(t)=4t2-1,则有
[4t2 1] 1 (t 1) 1 (t 1)
信号与线性系统
冲激函数与阶跃函数关系
冲激函数的积分是阶跃信号
反之，阶跃信号的微分等于冲激函数
信号与线性系统
阶跃函数性质： • （1）可以方便地表示某些信号
•f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
•（2）用阶跃函数表示信号的作用区 间
r(t)=t(t),斜升函数
信号与线性系统
•f(t)可以展开成泰勒级数
f
(t)

f
(ti )
f
' (ti )(t
ti )
1 2
f
''(ti )(t
ti )2
...
f ' (ti )(t ti )
见书p22
信号与线性系统
[
f
(t)]
[
f
'(ti )(t
ti )]

|
f
1 (t
'(ti ) |
ti )
• 问：如何用阶跃函数表示如下信号
• f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)
信号与线性系统
• 间断点的导数也存在。
f(t) = 2ε (t +1)-2ε (t -1)
f′(t) = 2δ (t +1)-2δ (t -1)
信号与线性系统
冲激函数的导数δ’(t)
• δ’(t) 也称冲激偶
三角 脉冲 s(t)
•
广义函数g(t)可以写成

g(t)(t)dt N[g(t),(t)]
信号与线性系统
(n) (t) 的定义：
例题 ??
信号与线性系统
冲激函数的性质（1）
• 1. 与普通函数f(t) 的乘积——取样、移位性质 • 若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则
信号与线性系统
4 24 2