山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三下学期第三次四校联考数学(文)试卷

2016届高三年级第三次四校联考
一、选择题(本大题共 项是符合题目要求的) 数学(文)试题
命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学 【满分150分，考试时间为120分钟】 12小题，每小题5分，共60分•每小题给出的四个选项中，只有 1. 已知全集U =R , A. I 2 {x —1 兰x 兰2} B. {x |—1 兰X c 2} C . {x nx ：： 0?，则 A B = X -1或 x _ 2 D . ：x0 ：: x 2：
2.
A.
3. a —i 若
b 2|，其中a,b • R , i 是虚数单位，则a b 的值 i —3 B 设S n 为等差数列 .—1 C . 1 D . 3 ：aj 的前 n 项和，£ =4a 3,a 7 - -2，则 a g =
A. B. C. D. 一9
4. 2 x 已知双曲线 2 a 2 y b 2 A. y = 2x B.
5. 执行图中的程序框图(其中
6 = 1(a 0,b 0)的离心率为 6，则此双曲线的渐近线方程为 2 八2
y 二 x D . 2 x 的最大整数)，则输出的 〔X ,表示不超过 A. 5 6. ①
S 值为 B. 7 C. 9
D. 12 以下四个命题中，真命题的个数是 若a
，
b_2，则a , b 中至少有一个不小于 1
；
a b =0是a_b 的充要条件； -x ：二 0,川3 ］；, x 3 • x _ 0 ；
函数y =f(x ・1)是奇函数，则y = f(x)的图像关于(
1,0)对称. 结束
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 "a. a 2 [ 7.定义2X2矩阵]
旦
a —
=a@「a 2a 3，若 f (x)二 2 ・2 cos x — sin x 兀 cosq 2x) 3
，则f (x)的图象
1
向右平移…个单位得到函数 3 g (x) = -2cos 2 x g (x)，则函数
g(x)解析式为
A. B. g(x) = -2sin 2x C. g (x)=2sin(2x -6)
D. 31
g (x)二-2cos(2 x - §)
8.在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内 接正三角形边长的概率是
11.
已知函数f K 为;偶数)，且
a ^
f(npf(n 1)
，则
a i a 2 ■ £50 -
A.50
B.60
C. 70
D.80
K
12. 若函数f (X )=x + — (b W R)的导函数在区间(1, 2)上有零点，贝y f(x)在下列区间上
x
单调递增的是 A. 一：：,—1】 B.
-1,0
C.
0,1 D. 2,：：
二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13. 已知b =(2,s),c = (1,-1), m =(s,1),若b//c ，则m 与c 的夹角的余弦值为
x-y 2 _0
14. 已知变量x, y 满足 3x • y - 6 _ 0，则
x 2 y 2的最大值为 _________ .
x y -2 _0
15. 在四棱锥S-ABCD 中，SA _面ABCD ,若四边形ABCD 为边长为2的正方形,
SA = 3,则此四棱锥外接球的表面积为
.
16. 若定义在区间D 上的函数y= f (x)满足：对N x E D,2M E R,使得f(x) < M 恒成立, 则称函数y 二f (x)在区间D 上有界.则下列函数中有界的是：
.
1
e x —e"^ ① y=si nx :② y=x :③ y = tanx :④ y x 。

；
x
e +e
⑤ y = x 3 ax 2 bx 1 (-4 _ x _ 4)，其中 a,b R . 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
).
17.(本小题满分12分)在 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,
2
A 2
B 3
已知 b cos a cos c :
2 2 2
(I )求证：a,c, b 成等差数列；
(II )若 ^-, ABC 的面积为2 3，求c .
3
A. 1
B.
3 C.
1
D.
3
3
4
2
2
9. 若点 P 在抛物线 y =x 上, 占 八、
Q (0,3 ),则|PQ|的最小值是 A.
13 B. 11 C.
3
D.
5
2
2
10
.已知 1 一个几何体1 的三图如图所示, 则该几何体的体积为
A. 8
B.
71
C.
72
D.
7
3
3
I
2
*
1
LA _ _
俯视图
18. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽 取了 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布 统计表和频率分布直方图如下：
（I ）求表中n, p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假 参加社区服务次数的中位数；
（II ）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在
［10,15）和［25,30）的人中共抽取6人，再从
这6人中选2人，求2人服务次数都在［10,15）的概率.
19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 中, 侧面
PAD 是边长为 2的正三角形，底面 ABCD 为菱形， DAB 60 . （I ） 证明：PB _ AD;
（II ） 若 PB =3,求四棱锥P - ABCD 的体积.
20.
（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，且抛物线 x 2二-4 5y 的焦点是椭 圆E 的一个焦
点，以椭圆 E 的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为 6.
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）若斜率为3的直线l 与椭圆E 交于不同的两点 A 、
2
大时对应的直线I 的方程.
21.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = （a 1）lnx ，x 2,1. （I ）讨论函数f （x ）的单调性；
分组 频数 频率 [10,15) 20 0.25 [15,20) 50 n [20,25) m P [25,30)
4 0.0
5 合计
M
N
B,又点C （4,2），求ABC 面积最
3
频率
C
请考生在22, 23, 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本题满分10分)选修4-1 :几何证明与选讲
已知AD 是：ABC 的外角.EAC 的平分线，交BC 的延长线于点 D , 延长
DA 交ABC 的外接圆于点F ,连接FB , FC .
(I )求证：FB =FC ;
(II )若AB 是=ABC 外接圆的直径，.EAC=120〔 BC = 3 3，求AD 的长.
23. (本题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程
［x - 3 亠 2cos
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
(r 为参数).
y = _4 + 2sin 日
(I )以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程
(II )已知A(-2,0), B(0,2)，圆C 上任意一点 M (x, y)，求.ABM 面积的最大值
24. (本题满分10分)选修4 — 5:不等式选讲 设 f (x) =|X -1| -|x 3| (I )解不等式f(x) 2;
(II )若不等式f(x^kx 1在［-3,-1］上恒成立，求实数 k 的取值范围
(Il )若对任意不相等的X j ,X 2 •= (0, •二),恒有 a 的取值范围.
f (xj —f(X 2)|色4捲—X 2〔成立，求非负实数
高三年级第三次四校 数学试题答案 命题：忻州一中长治二中康杰中学 （满分150分，考试时间为1 cosA . " 1 cosB 3 . c
即 sin B
sin A
sin C
2 2 2
sinB sin A sin BcosA cosBsin A =3sinC ……2 分
sinB sinA sin(A B) =3sinC
si nB si nA si nC=3si nC ……4 分 sin B si nA =2s inC a b=2c ……5 分
.a,c,b 成等差数列.……6分
联考
（文） 临汾一中
120分钟）
BABCC DACBD AD 13. -3 10 10
14. 10 15. 17-：
16. ①④⑤
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 2
A . 17.解（1）证明：由正弦定理得: )•
2 (2)
B sin Bcos — : sin Ac os
2 3 sin C
2
(2)
-abs inC = 2
3
ab=2 3 4
ab =8
c 2 = a 2 b 2 - 2abcosC = a 2 b 2 - ab
2
=(a b)「3ab = 4c 2 -24
10分
c 2 =8 得 c = 2 2
18.解：
50
(1)因 20十 M =0.25，所以 M =80,所以 n
0.625
p =1 -0.25-0.625-0.05 二 3
=0.075, a
40
n
= 1
=0.125 ...... 3 分
5 8
中位数位于区间［15,20），设中位数为（15+x ）,
则0.125x=0.25,所以x=2,所以学生参加社区服务次数的中位数为 17次。

……6分
（2）由题意知样本服务次数在 ［10,15）有20人，样本服务次数在［25,30）有4人.如果用分 层抽样的方法从样本服务次数在
［10,15）和［25,30）的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在
［10,15）和［25,30）的人数分别为：
12分
6
20
=5 和 6 4
1 --------------- 8
分
24
24
记服务次数在［10,15)为a 1,a 2,a 3,a 4，a 5,在［25,30)的为 b . 从已抽取的6人中任选两人的所有可能为：
@1月2),@83),(印84),@185),@1 ,b),(a 2,a 3),(a 2,a 4),(a 2,a 5)(a 2,b),(a 3,a 4),
@3
, a 5), (a 3, b), @4 ,a 5),(a 4, b), @5, b)
共15种.设“ 2人服务次数都在［10,15) ”为事件A ，则事件A 包括
(a 1, a 2),(a 1
,a 3
),(a 1
,a 4
),(a 1
, a 5
),( a 2
,a 3
),(a 2
,a 4
),( a 2
,95
)(a 3
,a 4
),
(a 3
, a 5
),( a 4
, a 5
)
共10种. ------------- 10
分，
10 2
所以P(A) ---------------- 12
分
15 3
19.
(1)证明：取AD 的中点E,连接PE,BD,BE ，
底面ABCD 为菱形，.DAB =60，•厶ABD 为正三角形,
又:E 为AD 的中点，.BE_AD;
侧面PAD 为正三角形，E 为AD 的中点• PE _ AD;
.AD _ 面 PBE , . AD _ PB .
……6 分
(2)由(1) AD _ 面 PBE 得：面 ABCD _ 面 PBE ，作 PO _ BE 于 E, PO _ 面 ABCD ; 由侧面PAD 为边长等于2的正三角形、 ABD 为正三角形、E 为AD 的中点得：
PE = BE = v3 ,丈:PB = 3,设 PB 的中点为 F , EF = J EB 2 - BF 2 = — , ....................... 8 分
2
EB 2
2
1
3 .—
-V p 从BCD
2
3
3
.... 12 分
3 2
2 2 2
20. (1)设 1 a = b c
二 sin ZEBP^^u
1
门 NEBP = 30：「. PO = PB si n30°=
3
,……10 分
C
由抛物线x2= —4 5y的焦点是椭圆E的一个焦点得：c二5 , 5 = a2 - b2
1 222
2 2 2 2
2 2a b=6即 ab=6即 a 2b 2 =36 , (b 2
5)b 2 = 36, (b 2 9)(b-4^ 0 , b= 4
2 2
=9 二 E ：Z+X
9 4
2
.■ -36m -36(2 m 2
-18) 0 得：m :: 18
2
2m 2 -18
八
x 1 x 2
m,x 1x 2 ,……6 分
3
9
4 3 2—2 + m2m C(") 到 I : y = — x + m 的距离 d = I ] I =-= 3 2 9 13
和一十1 4 S =
1
AB|d =丄 J(_m 2
+18)m 2
2
3
当m 2
=9即m
= _3时，
S
最大，对应的直线l
的方程为…12分
21. 解: ( I )
f(X )的定义域为(0, * ：：)
当a • 1 一 0时，f (x) - 0恒成立，
.当a ：： ： -1时，y = f (x)在区间(0, •：：)单调递增
a 亠1
a 亠1
当a +1 £0时，若x a
,f "(x) =0;若0 ex -，厂(x) c 0
a +1
几当a £-1时，函数y = f (x)在区间(0,J — ------- )上单调递减
.. 4分
V 2
j a 亠1
;在区间(- ，r)上单调递增
V 2
(n )不妨设x 1
x 2，又常a -0，- y = f (x)在区间(0,：：)上单调递增
f (为)—f(X 2)|兰4卜1一X 2I 恒成立，等价于f (为)—f (X 2)兰4X 1 —4X 2恒成立，即就是
=1
Q
(2)设 I ： y = _x +m 与
E :—
二1联立得: 2 2
9x 6mx 2m 「18=0
AB
13
2
93
18)
_ ・m 4 ■ 18m? 10 分 3
2x =
2x 2 a 1 x
2
9
(1 冗
-
8(m /
9)
]
f(xj -4為 _ f(x 2) -4X 2恒成立
令 g(x)二 f (x) -4x, x- (0, •：：)，则 y 二 g(x)为单调递增函数 即就是g (x) _0恒成立
(x -3) (y 4) =4，所以圆C 的极坐标方程为'-6'cosv
sin ： 2^0
2
：g(x )=2x
-4x +「1 0
令 h(x) = 2x 2 - 4x a 1, x (0,：：)
h(x)min 二 h (1
) = a -1
.a _1
……12分
请考生在22, 23, 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分•做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本题满分10分)选修4-1 :几何证明与选讲
已知AD 是厶ABC 的外角.EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 长DA 交厶ABC 的外接圆于点 F ,连接FB , FC. (I )求证：FB = FC ;
(II )若 AB 是厶 ABC 外 接圆的直径，.EAC= 120°, BC = 3 3 (1)证明：丁 AD 平分 N EAC 二 厶 EAD= N DAC ■■四边形AFBC 内接于圆..DAC= . FBC.
/ EAD= E FAB= E FCB FBC =
FCB
FB = FC.……5 分
(2) ； AB 是圆的直径 ..ACB= . ACD= 900
,
EAC= 1200
,
DAC= 60°, . ■ D = 30：
在 Rt • ： ABC 中， BC = 3 3 , - / BAC=60, AC = 3
在 Rt . ：ACD 中，.D = 300
, AC = 3
■ AD= 6. ……10分 23. (本题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程 一
x = 3 亠 2cos v
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
.(二为参数)
y = _4 + 2sin 日
(I )以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
C 的极坐标方程；
(II )已知A (-2, 0 ) , B (0,2 ),圆C 上任意一点M(x, y )，求A ABM 面积的最大值
解：(1)圆C 的参数方程为
x = 3 2cos J y
= -4 2sin
r 为参数)，•圆C 的普通方程为
(2)易求直线AB方程为x_y・2=0 | AB A 2 2
点M(x, y )到直线AB：x _ y • 2 =0的距离为
| x - y 21 | 3 2cos J - ( -4 2sin v) 2 |
2 - 2
| 2cos v - 2sin v 9 |
= 忑
1 JY
ABM的面积S | AB |d =|2cos)-2si nr 9|=|2 2 si n( ) 9|
2 4
.ABM的面积最大值为9 2 2.……10分
24. (本题满分10分)选修4 —5:不等式选讲
设f (x) =|x -1| -|x 3|
(I )解不等式f(x) 2;
(II )若不等式f (xH kx 1在X・[-3, -1]上恒成立，求实数k的取值范围. 「x V —3 「一3
兰XC1
解: (1) |x-1^|x 3| 2可转化为①3或② 3
11 — x _(_x —3) >2 l1_x_(x + 3)>2
或③x-1
仪―1—(x+3) >2
解①得x ：：： -3
解②得一3乞x ：：： -2
解③得x ..
-原不等式的解集为|x " -2} .... 5分
(2) x=[-3,-1]时，f(x) = -x 1 -x-3 = -2x-2
；不等式f(x)_kx 1在x ［-3, -1］上恒成立,
■-2x -2乞kx 1在［-3,-1］上恒成立
3 一、
k 一-2 -在［-3厂1］上恒成立.
x
3
设g(x)=—2 - ，；g(x)在［-3,-1］是上为增函数
x
(2)易求直线AB方程为x_y・2=0 | AB A 2 2 -^g(x) <1 k 乞一1. ……10 分。