2020_2021学年高中数学第一章常用逻辑用语单元质量评估二习题含解析北师大版选修2_1

第一章单元质量评估(二)
时限：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列语句中是命题的个数(B)
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”
②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”
③“一个数不是正数就是负数”；
④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；
⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据命题的概念，判断是不是命题．
①不是陈述句，不是命题．
②疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
③是假命题.0既不是正数也不是负数．
④是假命题．如x＝3，y＝－ 3.
⑤是祈使句，不是命题．
解析：
3．下列命题中特称命题的个数为(C)
①存在一个有理数，它是无限不循环小数；
②不是所有的梯形都是直角梯形；
③平行四边形是矩形．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①②是特称命题，③是全称命题．
4．已知命题p：任意x∈R，x>sin x，则命题p的否定形式为(C)
A．非p：存在x∈R，x<sin x B．非p：任意x∈R，x≤sin x
C．非p：存在x∈R，x≤sin x D．非p：任意x∈R，x<sin x
解析：命题p是全称命题，则它的否定是一个特称命题，即“存在x∈R，x≤sin x”．5．若非空集合M⊆N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的(B)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若a ∈N ，则有可能a ∉(M ∩N )．
6．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( D ) A ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C ．任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数 D ．存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数
解析：存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.
7．设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )>0的一个必要而不充分条件是( C ) A ．x <0 B ．x <0或x >4 C ．|x －1|>1
D ．|x －2|>3
解析：A 是充分条件，B 是充要条件，D 是充分条件． 8．下列命题正确的是( A )
A ．在△ABC 中，角A ，
B ，
C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件 B ．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0 C ．已知p ：1x ＋1>0，则綈p ：1
x ＋1≤0
D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π
2
成立
解析：对于选项A ，在△ABC 中大边对大角，由a >b 得A >B ，又余弦函数在(0，π)上单调递减，
所以cos A <cos B ；又由A ，B ∈(0，π)，cos A <cos B 时得A >B ，故a >b ，故选项A 正确． 对于选项B ，命题p 的否定綈p 应为：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，故选项B 不正确． 对于选项C ，p ：1x ＋1>0⇔p ：x >－1，故綈p 为x ≤－1，而不是1x ＋1≤0，故选项C 不
正确．
对于选项D ，sin x ＋cos x 的最大值为2，小于π
2
，故选项D 不正确．
9．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0；命题q ：若a >0>b ，则1a <1
b .
给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q .其中真命题的个数为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由已知得，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故命题①④为真命题． 10．下列命题中真命题的个数是( B ) ①任意x ∈R ，x 4>x 2；
②若p 且q 是假命题，则p ，q 都是假命题；
③命题“任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：对于①，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题． 对于②，p ，q 有一个为假时，p 且q 也为假，故②为假命题． ③为真命题．故真命题有1个．
11．已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( A )
A ．a ≤－2或a ＝1
B ．a ≤－2或1≤a ≤2
C ．a ≥1
D ．－2≤a ≤1
解析：由已知可得p 和q 均为真命题，由命题p 为真，得a ≤1，由命题q 为真，得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2或a ＝1.
12．已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图像过点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图像关于原点对称，那么y ＝f (x )的图像关于(3,0)对称，则( C )
A ．p 且q 为真
B ．p 或q 为假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
解析：p 真q 假，p 且q 为假，p 或q 为真．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为若a ≤b ，则2a ≤2b －1. 解析：一个命题的否命题是对条件和结论都否定．
14．命题：存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立的否定是对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立．
解析：特称命题的否定是全称命题． 15．已知命题p ：不等式
x
x －1
<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p 或q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是①③.
解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，∴命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．
16．设命题p ：点(2x ＋3－x 2，x －2)在第四象限，命题q ：x 2－(3a ＋6)x ＋2a 2＋6a <0，其中a >－6.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[－2，－1]．
解析：命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3－x 2>0，
x －2<0
⇔－1<x <2，所以命题綈p ：x ≤－1或x ≥2.
命题q ：a <x <2a ＋6，所以命题綈q ：x ≤a 或x ≥2a ＋6.设集合M ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，
N ＝{x |x ≤a 或x ≥2a ＋6}．由题意，得N 是M 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1，2a ＋6>2或⎩⎪⎨
⎪⎧
a <－1，
2a ＋6≥2，
解得－2<a ≤－1或－2≤a <－1，即－2≤a ≤－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)把下列命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若α＝β，则sin α＝sin β；
(2)若梯形的对角线相等，则梯形为等腰梯形． 解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.
(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等； 否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．
18．(本小题12分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <1
3
.
证明：(1)充分性：∵0<m <1
3
，
∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3
m >0，
∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，
解得0<m <13
. 综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.
19．(本小题12分)若命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p ，若綈p 是假命题，求实数a 的取值范围．
解：綈p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上不是减函数． ∵綈p 是假命题，∴p 是真命题．∴－(a －1)≥4.∴a ≤－3. ∴实数a 的取值范围为(－∞，－3]．
20．(本小题12分)设p ：关于x 的不等式a x >1(a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求a 的取值范围．
解：当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1－4a 2<0，
即a >1
2
，
∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤1
2.又p 和q 有且仅有一个为真命题．
∴当p 真q 假时，0<a ≤1
2，当p 假q 真时，a >1.
综上得，a ∈(0，1
2
]∪(1，＋∞)．
21．(本小题12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：∵x 2－4ax ＋3a 2＝(x －3a )(x －a )<0，又a >0， ∴命题p ：a <x <3a .
∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2
＋2x －8>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)(x ＋2)≤0，(x ＋4)(x －2)>0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤x ≤3，
x >2或x <－4.∴命题q ：2<x ≤3.
(1)当a ＝1时，p ：1<x <3，又“p 且q ”为真，
∴⎩⎨⎧
1<x <3，2<x ≤3.
∴2<x <3. (2)∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，
∴綈p ⇒綈q ，即q ⇒p .∴⎩⎨⎧
a ≤2，
3a >3.
∴1<a ≤2.
22．(本小题12分)已知命题：∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立是真命题．
(1)求实数m 的取值集合B ；
(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解：(1)命题：“任意x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，
∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}． (2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，
①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，
则A 是B 的真子集．
∴2＋a ≥2，此时a >1；
②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，满足题设条件：
③当3a <a ＋2，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则有3a ≥2，
此时a ∈[2
3
，1)．
综上①②③可得a ∈[2
3
，＋∞)．。