高考数学一轮总复习 第六章 数列 6.3 等比数列专用题组 理 新人教B版

§6.3等比数列
考点一等比数列的概念及运算
14.(2012安徽,4,5分)公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 B 由题意得a n=a1×2n-1,且a1>0,
∵a3a11=16,∴a1=,
∴log2a10=log2×29=log225=5,故选B.
评析本题考查了等比数列及对数的知识,重点考查等比数列的基本运算.
15.(2013江苏,14,5分)在正项等比数列{a n}中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为.
答案12
解析设等比数列的首项为a1,公比为q>0,
由得a1=,q=2.
由a1+a2+…+a n>a1a2…a n,得2n-1>.
检验知n=12时,212-1>211;n=13时,213-1<218,故满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n的最大正整数n的值是12.
16.(2012北大保送生,2)在正项等比数列{a n}中,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值为.
答案20
解析设等比数列{a n}的公比为q,则由条件,得(a2+a1)·q2-a2-a1=5,a2+a1=.据a2+a1>0知,q2-1>0,
从而a5+a6=(a1+a2)q4=5·=5
≥52+2=20,当且仅当q2-1=,即q2=2时取等号,故a5+a6的最小值为20.
17.(2012浙江,13,4分)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q= .
答案
解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2作差可得a3+a4=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,所以2q2-q-3=0,解得q=或q=-1(舍).
评析本题考查等比数列的概念和性质,考查运算求解能力.
18.(2012辽宁,14,5分)已知等比数列{a n}为递增数列,且=a10,2(a n+a n+2)=5a n+1,则数列{a n}的通项公式a n= .
答案2n
解析∵2(a n+a n+2)=5a n+1,∴2a n+2a n·q2=5a n·q,
即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).
又∵=a10=a5·q5,∴a5=q5=25=32,
∴32=a1·q4,解得a1=2,∴a n=2×2n-1=2n,故a n=2n.
评析本题考查等比数列的通项公式,考查学生的运算求解能力及逻辑推理能力.
19.(2011江西,18,12分)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{a n}唯一,求a的值.
解析(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
所以{a n}的通项公式为a n=(2+)n-1或a n=(2-)n-1.
(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)
由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不等的实根,
由{a n}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.
评析本题主要考查等比数列及方程思想,考查学生的逻辑思维能力,属中等难度题.。