2011高考数学(理)随堂演练 复数的概念及运算

第十一单元 数系的扩充 推理与证明
11.1 复数的概念及运算
一、选择题
1．在复平面内，复数i 1＋i
＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：i 1＋i ＋(1＋3i)2＝－32＋1＋432
i ，则复数对应的点在第二象限． 答案：B
2．若复数a ＋3i 1＋2i
(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．－6 D ．6
解析：a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)5＝a ＋6＋(3－2a )i 5
，根据已知条件a ＝－6. 答案：C
3．(1－3i 1＋i )2等于( ) A.3＋i
B ．－3－i C.3－i D ．－3＋i 答案：D
4．(1＋i 1－i
)2 005等于( ) A ．i
B ．－i
C ．22 005
D ．－22 005 解析：原式＝(
1＋i 1－i )2 004(1＋i 1－i
)＝i. 答案：A
二、填空题 5．若z ∈C ，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z ＝________.
解析：∵(3＋z )i ＝1，∴3＋z ＝－i.∴z ＝－3－i.
答案：－3－i
6．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i 25，根据已知条件a ＝83
. 答案：83
7．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＝1＋i ，则z 2＝________.
解析：由z 1·z 2＝1＋i 知：z 2＝
1＋i z 1＝1＋i 1－i ＝i. 答案：i
三、解答题
8．计算下列各式：
(1)i 2 000＋(2＋2i)8－(21－i 50；(2)(12－32
i)6. 解答：(1)原式＝i 4×500＋[2(1＋i)2]4－(2－2i
)25＝1＋(4i)4－i 25＝257－i. (2)由ω＝－12＋32i ，∴12－32i ＝－ω.原式＝[－(－12＋32i)]6＝(－12＋32
i)6＝1. 9．已知(1＋i)2n 1－i ＋(1－i)2n
1＋i
＝2n ，求最小正整数n . 解答：原等式可化为(1＋i)2n (1＋i)2＋(1－i)2n ·(1－i)2
＝2n ， 即[(1＋i)2]n (1＋i)＋[(1－i)2]n ·(1－i)＝2·2n ，(2i)n (1＋i)＋(－2i)n (1－i)＝2·2n ，
2n ·i n (1＋i)＋2n (－i)n (1－i)＝2·2n ，∴i n [(1＋i)＋(－1)n (1－i)]＝2.
若n ＝2k (k ∈N *)，则i 2k [(1＋i)＋(1－i)]＝2，∴i 2k ＝1，∴正整数k 的最小值为2，
∴正整数n 的最小值为4，若n ＝2k －1(k ∈N *)．则i 2k －1[(1＋i)－(1－i)]＝2·i·i 2k －1，
故2i 2k ＝2，∴i 2k ＝1，∴正整数k 的最小值为2，
∴正整数n 的最小值为4.∴对于n ∈N *时，最小正整数为3.
10．试分析方程x 2－(4－2i)x ＋3－2i ＝0是否有实根？并解方程．
解答：设x 0是方程x 2－(4－2i)x ＋3－2i ＝0的实根，则x 20－(4－2i)x 0＋3－2i ＝0.
整理得(x 20－4x 0＋3)＋(2x 0－2)i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 20－4x 0＋3＝0，2x 0－2＝0，解得x 0＝1. 根据根与系数的关系，方程的两解分别为1,3－2i.
1．已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，
q 的值分别是( )
A ．p ＝－4，q ＝5
B ．p ＝－4，q ＝3
C ．p ＝4，q ＝5
D ．p ＝4，q ＝3
答案：A
2．对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立：
①a ＋1a
≠0；②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．答案：②④。