数字图像 K-L变换
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CF E A f f
f f
T
AT AC f AT 3 CF 为对角阵 a1T T T a2 C a CF AC f A f 1 T an a 2 an
1 主分量分析（K-L变换）
a1T a1T T T a2 a2 a a 2 a2 n an 1 1 1 T T an an 0 1 0 1 2 2 0 n 0 n
f f
T
1 N T f f N i 1
1N T fi fi T N i 1
1 主分量分析（K-L变换）
STEP2：求协方差矩阵的特征值和特征向量。
C f i i i， 0 i N 1 式中i是特征值，相应的特征向量是 i。
A k V 0
1 2 例：A 求其特征向量。 2 1 2 2 1 1 1 v1 0 v1 1 2 2 2 2 1 2 3 v2 0 v2 1 2 2
例
16 17 18 f1 160 f 2 166 f3 169 50 60 58 17 1 0 1 1 5 6 2 9 u 165 C f 5 1 4 0 1 4 9 42 56 6 4 2 1 4 2 8 42 0 0 0 0.9593 0.2510 0 6.8607 0.2741 0.7153 0 0 0.0685 0.6522 0 93.1393
1 主分量分析（K-L变换）
Step3：定义f 向量的协方差阵和相应变换核矩阵 C f E f f f f
T
1 L T T fi fi f f L i1 显然C f 阵是MN MN 维。 令i 和ei为C f 阵的特征值和特征向量，显然i 1， MN。 A e1 e2 eMN F A f u f
Digital Image
2 图像数据压缩
Fk 相当于原F的K 维投影。 图象重建后恢复的图象为， A TF f
k k f
2 图像数据压缩
2 T T E f f E A F Fk AT F Fk 设i为C f 的特征值，则
T
Step 4：定义二维K - L变换。
2 图像数据压缩
1）K-L变换用于图像数据压缩
二维K L变换用于图象处理时又称为Hotelling变换。 正变换 反变换 F A f - f f AT F f
在变换域中，能量集中在特征值大的系数中。 舍掉特征值较小的值对应的特征向量， 构成新的变换核矩阵。 F Ak f f F Fk 0
频谱 （平移） 频谱 （无平移）
逆变换图像
Digital Image
MatLab函数
• 离散余弦变换
– B=dct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换 – B=idct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换 的反变换 –例
• I=imread('lena.tif'); • J=dct2(I); • imshow(log(abs(J)),[]);
8 42 56 0.1297 0.6428 0.7549
1 主分量分析（K-L变换）
4）K-L变换的性质
1 F的均值为零
F E F E A f f AE f A f 0
2 F的协方差CF
STEP3：定义变换核矩阵和反变换。
因此变换核矩阵为特征向量组成 1 2 n 正交化后为*，将* 记作A。 因此定义一维K L变换为 F
*T T
f A f
反变换定义为
f * F AT F
1 主分量分析（K-L变换）
Digital Image
MatLab函数
• 傅立叶变换
例：傅立叶正反变换
>> I=imread('lena.tif'); >> J=fft2(I); >> K=ifft2(J); >> subplot(2,2,1),imshow(I); >> subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J)),[]); >> subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J))),[]); >> subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K))); 原始图像
a2 an
1 主分量分析（K-L变换）
4 CF中各元素是不相关的
由于CF 为对角阵，所以各元素是不相关的。 由于K L变换是正交对称的，所以 A A
T 1 T
5 特征值i就是特征向量ai方向上f 第i个元素的方差
所以反变换 f A F uf
1 主分量分析（K-L变换）
数字图像处理
3.6 基于特征向量的变换
1 主分量分析（K-L变换）
特征分析 特征值
对于一个N N的矩阵A，有N 个标量k，k 1， N，满足 A k I 0
k 称为矩阵的一组特征值。
如果给定的矩阵是奇异的，那么N 个特征值中至 少有一个为0。 矩阵的秩 定义为矩阵非零特征值的个数。 矩阵的条件数 定义为最大特征值与最小特征值 的比值的绝对值。 病态矩阵 条件数很大。
5）图像K-L变换
思想：将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换 为一维处理。
Step1：同一幅图象l次传送，形成图象集合 f x, y f1 x, y
f l x, y
Step 2 : 采用行堆叠将每一个M N 大小样本表为向量 fi j ,0 fi ,0 f fi j ,1 i ,1 其中元素f fi ij fi ,M 1 fi j , N 1
N2 x k 1
= AC f AT
x k 1
N2
i N2
结论：采用K-L变换图象降维后的误差为 i。
x k 1
MatLab函数
• 傅立叶变换
– B=fft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换 – B=fftshift(I)：将变换后的图像频谱中心从矩阵 的原点移到矩阵的中心 – Y=abs(X)：对复数求模 – Y = log(X)：计算自然对数。以e为底数的对数。 – B=ifft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换的反 变换
1 主分量分析（K-L变换）
1 2 例：A 2 1 1 2 2 1 4 0 2 1 1 1 2 3
通常将特征值按降序排列。
1 主分量分析（K-L变换）
特征向量
满足下式的N 1的向量vk , Avk k vk , 则vk 称为A的特征向量。 求特征向量的方法是解线性方程组
1 主分量分析（K-L变换）
3）主分量分析及一维K-L变换
一种可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。 STEP1：定义协方差矩阵。
假设f 是一个N 1的随机向量集合f f1 , f 2 , f 3 ,, f n ， 即fi都是随机变量,f 的均值可统计N 个样本向量估计。 1 N E f fi N i 1 其协方差矩阵定义为 Cf E
12ntttaklffafffaf??????变换为??因此变换核矩阵为特征向量组成正交化后为将因此定义一维反变换定义为1主分量分析kl变换?例12316???????????????17????????????18??????160166169506058171011562981655140149424256642142842560000959302510012068607000931393ffffuc?????????????????????????????????????????????????????97027410715306428006850652207549????????????1主分量分析kl变换?4kl变换的性质?ef1t2121023fffftttfffffttfffntnfeafaefafcceaffaacacaacacacaaaa??????????????????????的均值为零的协方差为对角阵1主分量分析kl变换1t1t2211a221211220000ttnnntntnnnaaaaaaaaaaa??????????????????????????????????????????????????????1主分量分析kl变换由于由于14ffiittfccafikl?aafafu?中各元素是不相关的为对角阵所以各元素是不相关的
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T
AT AC f AT 3 CF 为对角阵 a1T T T a2 C a CF AC f A f 1 T an a 2 an
1 主分量分析（K-L变换）
a1T a1T T T a2 a2 a a 2 a2 n an 1 1 1 T T an an 0 1 0 1 2 2 0 n 0 n
f f
T
1 N T f f N i 1
1N T fi fi T N i 1
1 主分量分析（K-L变换）
STEP2：求协方差矩阵的特征值和特征向量。
C f i i i， 0 i N 1 式中i是特征值，相应的特征向量是 i。
A k V 0
1 2 例：A 求其特征向量。 2 1 2 2 1 1 1 v1 0 v1 1 2 2 2 2 1 2 3 v2 0 v2 1 2 2
例
16 17 18 f1 160 f 2 166 f3 169 50 60 58 17 1 0 1 1 5 6 2 9 u 165 C f 5 1 4 0 1 4 9 42 56 6 4 2 1 4 2 8 42 0 0 0 0.9593 0.2510 0 6.8607 0.2741 0.7153 0 0 0.0685 0.6522 0 93.1393
1 主分量分析（K-L变换）
Step3：定义f 向量的协方差阵和相应变换核矩阵 C f E f f f f
T
1 L T T fi fi f f L i1 显然C f 阵是MN MN 维。 令i 和ei为C f 阵的特征值和特征向量，显然i 1， MN。 A e1 e2 eMN F A f u f
Digital Image
2 图像数据压缩
Fk 相当于原F的K 维投影。 图象重建后恢复的图象为， A TF f
k k f
2 图像数据压缩
2 T T E f f E A F Fk AT F Fk 设i为C f 的特征值，则
T
Step 4：定义二维K - L变换。
2 图像数据压缩
1）K-L变换用于图像数据压缩
二维K L变换用于图象处理时又称为Hotelling变换。 正变换 反变换 F A f - f f AT F f
在变换域中，能量集中在特征值大的系数中。 舍掉特征值较小的值对应的特征向量， 构成新的变换核矩阵。 F Ak f f F Fk 0
频谱 （平移） 频谱 （无平移）
逆变换图像
Digital Image
MatLab函数
• 离散余弦变换
– B=dct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换 – B=idct2(I)：计算图像I的二维离散余弦变换 的反变换 –例
• I=imread('lena.tif'); • J=dct2(I); • imshow(log(abs(J)),[]);
8 42 56 0.1297 0.6428 0.7549
1 主分量分析（K-L变换）
4）K-L变换的性质
1 F的均值为零
F E F E A f f AE f A f 0
2 F的协方差CF
STEP3：定义变换核矩阵和反变换。
因此变换核矩阵为特征向量组成 1 2 n 正交化后为*，将* 记作A。 因此定义一维K L变换为 F
*T T
f A f
反变换定义为
f * F AT F
1 主分量分析（K-L变换）
Digital Image
MatLab函数
• 傅立叶变换
例：傅立叶正反变换
>> I=imread('lena.tif'); >> J=fft2(I); >> K=ifft2(J); >> subplot(2,2,1),imshow(I); >> subplot(2,2,2),imshow(log(abs(J)),[]); >> subplot(2,2,3),imshow(log(abs(fftshift(J))),[]); >> subplot(2,2,4),imshow(uint8(abs(K))); 原始图像
a2 an
1 主分量分析（K-L变换）
4 CF中各元素是不相关的
由于CF 为对角阵，所以各元素是不相关的。 由于K L变换是正交对称的，所以 A A
T 1 T
5 特征值i就是特征向量ai方向上f 第i个元素的方差
所以反变换 f A F uf
1 主分量分析（K-L变换）
数字图像处理
3.6 基于特征向量的变换
1 主分量分析（K-L变换）
特征分析 特征值
对于一个N N的矩阵A，有N 个标量k，k 1， N，满足 A k I 0
k 称为矩阵的一组特征值。
如果给定的矩阵是奇异的，那么N 个特征值中至 少有一个为0。 矩阵的秩 定义为矩阵非零特征值的个数。 矩阵的条件数 定义为最大特征值与最小特征值 的比值的绝对值。 病态矩阵 条件数很大。
5）图像K-L变换
思想：将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换 为一维处理。
Step1：同一幅图象l次传送，形成图象集合 f x, y f1 x, y
f l x, y
Step 2 : 采用行堆叠将每一个M N 大小样本表为向量 fi j ,0 fi ,0 f fi j ,1 i ,1 其中元素f fi ij fi ,M 1 fi j , N 1
N2 x k 1
= AC f AT
x k 1
N2
i N2
结论：采用K-L变换图象降维后的误差为 i。
x k 1
MatLab函数
• 傅立叶变换
– B=fft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换 – B=fftshift(I)：将变换后的图像频谱中心从矩阵 的原点移到矩阵的中心 – Y=abs(X)：对复数求模 – Y = log(X)：计算自然对数。以e为底数的对数。 – B=ifft2(I)：计算图像I的二维傅立叶变换的反 变换
1 主分量分析（K-L变换）
1 2 例：A 2 1 1 2 2 1 4 0 2 1 1 1 2 3
通常将特征值按降序排列。
1 主分量分析（K-L变换）
特征向量
满足下式的N 1的向量vk , Avk k vk , 则vk 称为A的特征向量。 求特征向量的方法是解线性方程组
1 主分量分析（K-L变换）
3）主分量分析及一维K-L变换
一种可以去掉随机向量中各元素间相关性的线性变换。 STEP1：定义协方差矩阵。
假设f 是一个N 1的随机向量集合f f1 , f 2 , f 3 ,, f n ， 即fi都是随机变量,f 的均值可统计N 个样本向量估计。 1 N E f fi N i 1 其协方差矩阵定义为 Cf E
12ntttaklffafffaf??????变换为??因此变换核矩阵为特征向量组成正交化后为将因此定义一维反变换定义为1主分量分析kl变换?例12316???????????????17????????????18??????160166169506058171011562981655140149424256642142842560000959302510012068607000931393ffffuc?????????????????????????????????????????????????????97027410715306428006850652207549????????????1主分量分析kl变换?4kl变换的性质?ef1t2121023fffftttfffffttfffntnfeafaefafcceaffaacacaacacacaaaa??????????????????????的均值为零的协方差为对角阵1主分量分析kl变换1t1t2211a221211220000ttnnntntnnnaaaaaaaaaaa??????????????????????????????????????????????????????1主分量分析kl变换由于由于14ffiittfccafikl?aafafu?中各元素是不相关的为对角阵所以各元素是不相关的