新人教版高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念高效测评新人教A版选修2_2

2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概
念高效测评 新人教A 版选修2-2
1．由定积分的几何意义可得⎠⎛02
x
2d x 的值等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析： 定积分⎠⎛02
x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12
×2×1＝1.
答案： A
2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66
f (x )d x 等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析：∵被积函数f (x )是偶函数，
∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等．
∴⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06
f (x )d x ＝2×8＝16.
答案： D
3．定积分⎠⎛01
x d x 与⎠⎛01
x d x 的大小关系是( ) A ．⎠⎛01
x d x ＝⎠⎛01
x d x B ．⎠⎛01x d x >⎠⎛01
x d x
C ．⎠⎛01
x d x <⎠⎛01
x d x
D ．无法确定
解析： 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01
x d x <⎠⎛01
x d x .
4．函数y ＝⎠⎛－x x
(cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．是非奇非偶函数
D ．以上都不正确
解析：y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin t ＋t 33＋2t | x
－x ＝2sin x ＋2x 3
3＋4x ，为奇函数．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分) 5．定积分⎠⎛－12
|x |d x ＝________.
解析： 如图，⎠⎛－12
|x |d x ＝12＋2＝5
2.
答案： 52
6．下列等式成立的是________．(填序号)
①⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b
g (x )d x ； ②⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b
f (x )d x ＋b －a ； ③⎠⎛a b f (x )
g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a b
g (x )d x ；
④⎠⎛－2π2π
sin x d x ＝⎠
⎛0－2πsin x d x ＋∫2π
0sin x d x . 解析： 利用定积分的性质进行判断③不成立．
例如⎠⎛01
x d x ＝12，⎠⎛01
x 2d x ＝13，⎠⎛01
x 3d x ＝14
，但⎠⎛01
x 3d x ≠⎠⎛01
x d x ·⎠⎛0
1
x 2d x . 答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知⎠⎛01
e x d x ＝e －1，⎠⎛12
e x d x ＝e 2－e ，⎠⎛0
2
x 2d x ＝83，⎠⎛12
2x
d x ＝2ln 2.求： (1)⎠⎛02
e x
d x ； (2)⎠⎛02
(e x ＋3x 2)d x ；
(3)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x ＋1x d x . 解析： (1)⎠⎛02e x d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛12
e x d x
＝e －1＋e 2－e ＝e 2
－1.
(2)⎠⎛02
(e x ＋3x 2)d x ＝⎠⎛02
e x d x ＋⎠⎛02
(3x 2)d x
＝⎠⎛02e x d x ＋3⎠⎛02
x 2
d x ＝
e 2－1＋8＝e 2＋7.
(3)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛1
2
e x d x ＋12⎠⎛12
2x d x ＝e 2
－e ＋ln 2.
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 5
x ∈[－1，xx ∈[1，π
sin xx ∈[π，3π]
，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．
解析： 由定积分的几何意义知
⎠⎛－1
1x 5
d x ＝0.∫3π
πsin x d x ＝0(如图所示)．
⎠⎛－13π
f (x )d x ＝⎠⎛
－1 1x 5d x ＋∫π1
x d x ＋⎠⎛π3π
sin x d x ＝⎠⎛1π
x d x ＝12(π2
－1)．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)计算⎠⎛－3
3 (9－x 2
－x 3
)d x 的值．
解析： 如图，
由定积分的几何意义，得⎠⎛
－3
3
9－x 2
d x ＝π×32
2＝9π
2
，
⎠⎛－3
3x 3
d x ＝0.
由定积分的性质，得
⎠⎛－33
(9－x 2
－x 3
)d x ＝⎠⎛－3
3
9－x 2d x －⎠
⎛－3
3x 3
d x ＝9π2.。