江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题35 圆与圆的位

学案35 圆与圆的位置关系
【导学引领】
（一）考点梳理
1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
2．判断圆与圆位置关系的方法
(1)几何法：圆心距与两圆半径的和或差的大小关系．
两圆圆心距d＞r1＋r2，则两圆外离；d＝r1＋r2，则两圆外切；
|r1－r2|＜d＜r1＋r2，则两圆相交；d＝|r1－r2|，则两圆内切；
d＜|r1－r2|，则两圆内含；
(2)代数法：解两圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相
交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程，
这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
【自学检测】
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．
2．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆O：x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，则a ＝________.
3．已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
5．若两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，且两圆圆心都在x－y＋c＝0上，则m＋c ＝________.
【合作释疑】两圆位置关系的判定及应用
【训练1】a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，
(1)相切；(2)相交；(3)相离．
【训练2】已知⊙C1：x2＋y2－2kx＋k2－1＝0和⊙C2：x2＋y2－2(k＋1)y＋k2＋2k＝0，则当它们的圆心距最小时，判断两圆的位置关系．
两圆相切及其应用
【训练1】已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线PA，PB，切点分别为A，B，满足PA＝PB.
(1)求实数a，b满足的等量关系；
(2)求切线长PA的最小值；
(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出
圆P的方程；若不存在，请说明理由．
【训练2】已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线l：x＋3y＝0相切于点P(3，－3)，求圆C的方程．
两圆位置关系的综合应用
【训练1】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2
＋(y －4)2＝1.
(1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65
，求直线l 的方程； (2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长．
①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；
②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
【训练2】已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交，圆C 过原点，半径为10，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C 的方程．
【当堂达标】1．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C 1C 2＝________.
2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．
3．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．
4.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y －5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它
们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【课后作业】1．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．3．与圆x2＋y2＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________．
4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为________．
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________. 7．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．。