中考数学复习指导：走出错解等腰三角形的误区

走出错解等腰三角形的误区
等腰三角形是特殊的三角形，它有许多特有的性质，在求解有关等腰三角形的问题时，一定要仔细推敲，慎密思考，才能完满地将问题解决好．本文就解决等腰三角形问题提出需要注意的两大误区，望对同学们有所帮助．
一、走出求边长的误区
例1 已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )．
(A)12或9 (B)12 (C)9 (D)7
错解因为题目未指明谁为等腰三角形的底和腰，所以要分别考虑．
①当以边长2为底时，则边长5做腰，其周长为12；
②当以边长5为底时，则边长2做腰，此时其周长为9．
所以答案为(A)．
错因分析以上的解题思路很清晰，进行了正确的分类思考，但问题出在没有考虑到构成三角形的三边长是有条件的，在②中以5为底、2做腰时，以5、2、2为三边长不能构成三角形．
正确答案：选B．
例2 已知等腰△ABC的周长是18 cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A'B'C'，则△A'B'C'中一定有一条边等于( )．
(A)7 cm (B)2cm或7 cm (C)5cm (D)2 cm或5cm．
错解∵△ABC≌△A'B'C'．
∴BC＝B'C'＝8cm，△ABC的周长与△A'B'C'的周长也相等，
∴腰长＝188
2
＝5cm，
所以△A'B'C'中一定有一边长是5cm，即选C．
错因分析上面的解答仅把对应边BC＝B'C'＝8 cm当成了全等等腰三角形的底边，而题目并没有指明哪条边是底边，所以已知的对应边BC＝B'C'＝8 cm既可以作底边，也可以作腰，因此，需要进行分类讨论，才能最后得到结论．
正确解答∵△ABC≌△A'B'C'．
∴BC＝B'C '＝8cm，△ABC的周长与△A'B'C'的周长也相等，
①若B'C'与BC是两全等等腰三角形的底边，则△A'B'C'的腰长为5 cm;
②若B'C'与BC是两全等等腰三角形的腰，即腰长是8 cm时，此时底边长为2 cm，那
么△A'B'C'中一定有一边的长等于5 cm 或2 cm ．
故应选D ．
点评 因为等腰三角形三条边中至少有两条边相等，所以在解等腰三角形的边长问题时，关键在分清谁是底，谁是腰，如果题目未指明，那就意味着要分类讨论．在求出腰或底边长后，不要轻易作答，还要考虑求出的边长与已知边长形成的三边能否构成三角形（即是否满足三角形三边关系的基本条件）．
二、走出求角度的误区
例3 下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，请回答下列问题．
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC 的角A 等于30°请你求出其余两角”．
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°；王华同学说：”其余两角是75°和75°；还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？
(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？
错解 (1)①我同意李明同学的计算结果．∵角A 等于30°且是底角时，那么还有一个底角是30°，则顶角为120°．∴其余两角是30°和120°．
②我赞同王华同学的计算结果．因为角A 等于30°且是等腰三角形的顶角时，那么另外两个底角都是
180302︒-︒＝75°，所以其余两角是75°和75°． (2)略．
错因分析 以上解答出错的原因是解题者给题目强加了限定条件，因为题目只给了等腰三角形ABC 的角A 等于30°，而并未说角A 一定是底角或顶角，因此，解答时既要考虑是底角来计算又要考虑是顶角来计算，这样的结论才完满．
正确解答 (1)把李明与王华两同学的答案合起来就是题目的完满解答，即其余两个角是30°和120°或75°和75°．
(2)略．
例4 已知等腰三角形的腰上的高等于腰长的一半，则顶角等于______度． 错解 如图，在等腰△ABC 中，腰AB 上的高为CD ，即CD ⊥AB ．由题意知
CD ＝12
AB ＝AC ．
在直角三角形ADC中，由CD＝1
2
AC得顶角A等于30°
错因分析造成漏解的主要原因是同学们会受画图思维定势的
影响，一旦需要同学们画三角形时，首当其冲画出的是锐角三角形，
实际上，有的题目它还隐含了钝角三角形．
正确答案①当已知等腰三角形为锐角三角形ABC时，如图1所示，CD⊥AB，由题
意知CD＝1
2
AC，得顶角为30°；
②当已知等腰三角形为钝角三角形ABC时，如图2所示，腰上的高CD⊥腰BA，垂足
是D，此时由题意CD＝1
2
AC＝AB．
在直角三角形ADC中，由CD＝1
2
AC得∠DAC＝30°，从而得到等腰三角形的顶角
∠BAC＝150°．
所以结论是30°或150°．
点评等腰三角形的三个角中至少有两个角相等．因此，在解决求等腰三角形的角的问题时，也要象求边长一样，先分清已知的角是底角还是顶角，若题目没有指明，则可能隐含着要你分类讨论求解．如果已知的角已经是钝角或题目给出了图形，那么这个角只能
是等腰三角形的顶角了，可按图形求解．另外，在涉及到要画图帮助解决问题时，一定要克服思维定势的影响，全面、细致、多角度思考问题，做到解决问题不重复不遗漏．。