习题教学中落实核心素养案例

原文见：《数学教学》2018.7第34——38页
在问题反思中培养学生的核心素养
上海市松江二中 张忠旺 201600
数学核心素养离不开数学理性思维.数学理性思维是在数学学习过程中，通过观察、体验、经历及内化等过程逐步形成理性的思考问题、分析问题、解决问题的思维方法和价值观.通过逻辑的判断、推理等活动获得结论的理性认识.下面我们通过引领学生对一个问题的反思、实验、探究，谈谈数学核心素养的培养.
问题（2012年北京市数学高考理19题） 已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈， (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；
(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线．
问题解答.三点共线常转化为向量的共线问题，或证
AG AN
k k -解：4m =时，椭圆的方程为2
2
28x y +=
将已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=
2=32(23)k ∆-，解得：23
2
k >
设11(,)M x y ，22(,)N x y 由韦达定理得：1212
221624
,2121
k x x x x k k +=-
=++ MB 方程为：11
62kx y x x +=
-，则G 1
13(,1)6x kx +
∴1
13(
,1)6
x AG kx =-+，22(,2)AN x kx =+， ∵
22
1121222111241646()346()
2121(2)(1)066
6
k
k x kx x x x k k kx x kx kx kx ⋅
+-++++⋅+--⋅===+++
∴A G N ，，三点共线.
对本题的解答进一步的反思、探究.
反思1：由直线1y =与直线BM 的交点G 恰好在AN 上，我们推断“线段AN 和线段BM 交点的轨迹应该是直线y=1”的一部分.
探究1.利用《几何画板》实验，证实了上述推断，下面我们来证明这一推断.
AN 的方程为222
2y y x x --=
，MB 的方程为11
+2+2y y x x =， 由2211
22+2+2y y x x y y x x -⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得212
2+26y k x x y k x x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
∴21212
24(1)4114162(+)2()0+223332433y k x x y k k k y k x x x x
x -⎧=+⎪-⎪
⇒=+=+-=⎨
⎪=+⎪⎩
故所求轨迹方程为1(0y x x =<≠）,如图1.
同样地可证明，直线AM 和BN 的交点轨迹方程为y=1在椭圆外的部分. 反思2.问题的一般化，对一般的椭圆，如果直线PM 过定点（0，y 0），直线AN 和直线BM 交点的轨迹如何呢？
探究2. 利用《几何画板》实验，得到轨迹为在椭圆内部的线段或椭圆外部的射线.
证明：设椭圆方程为22
22+1(0)x y a b a b
=>>，直线00(0)y kx y y b =+≠±，
与椭圆交于M 、N,
由222222
0b x a y a b y kx y ⎧+=⎨=+⎩
消去y 得2222222
2200
(+)20b a k x ka y x a y a b ++-=（*） 2222
00+0a k b y ∆>->由得
设11(,)M x y , 22(,)N x y ,则012
2212120211ky x x x x x x y b
++==--（1） 则AN ：22y b y b x x --=
，BM ：11
++y b y b x x = 由22
11++y b y b x x y b y b x x -⎧
-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得020
1++y b y b k x x y b y b k x
x --⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（2） 两式分别相加减得0121201212211112++21111++y
k y b x x x x x b b y x x x x x ⎧-=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
（）（）（）（）
消去12
11x x -得22200
012111
()(+)2y y b y k y b x x x -=+- 将（1）代入上式得
2
00y y b x
-=，即2
0b y y =（3）. 当00y b <<时，（3）表示椭圆外部的平行于x 轴的直线2
0(0)b y x y =≠；
当0y b >时，（3）表示椭圆内部的平行于x 轴的线段2
(0)b y x y =≠.
在直线PM 的运动过程中，我们引导学生进一步思考，提出如下问题. 反思3.如果把过定点的直线系变成平行直线系，直线AN 和直线BM 交点的轨迹如何呢？
探究3. 利用《几何画板》实验，得到轨迹为在双曲线.
将直线0y kx y =+中的k 视为常数，0y 作为参变数，在探究2中，由（2）变
形消去0y 即可.
002
20011++++y b
y b y b
y b k k x x x x y b y b
y b y b k k x
x x x ----⎧⎧=+-=⎪⎪⎪⎪
⇒⎨
⎨⎪⎪=+-=⎪⎪⎩⎩
两式相乘得2
222
0212+()()y b y b y b b k k k x x x x a
----==+ 整理得22222220b x a kxy a y a b +-+=,轨迹为双曲线的一部分（如图2）. 反思4：如果设点M 在点N 的上方，点P 分有向线段MN 的比MP PN
λ=的取值
范围如何？
探究4.由图形上直观的看，当M 趋近于N 时，1λ→-；当M 与A 重合时，1
3
λ=-，
所以1(1,)3
λ∈--.
你能否对上述范围给出证明呢？ 由对称性，不妨设210x x <<，∵1
2
x x λ=-
，则1λ>-. ∴ 22
12122
2112()1
32()223(21)x x x x k x x x x k λλ++=-+=-+=-++（1） 由232
k >得10123λλ-
<+<-，解得1
33λ-<<- 所以1
13
λ-<<-
由（1）式可由定比λ的值确定k 的值，从而确定直线的位置.
反思5：当直线PN 绕点P 转动时，四边形AMNB 面积在变化，你能否求出其最大值.
探究5. 利用《几何画板》实验，对0k >的情形，发现当 1.51k ≈时，max 6.89S ≈.下面计算该四边形面积的最大值.
由对称性，不妨设0k >,所以23
2
k >
，则120,0x x << 图2
四边形AMNB 面积12122AMO BNO MNO S S S S x x x x ∆∆∆=++=++-
12122x x x x =++
-2216212
k k k =
+++
令0S '=得4213704k k --=，解得276
k +=
max
S =
以上反思、实验、探究过程，不仅是学生从直观想象到运算推理的求证过程，也是从直觉思维到理性思维的提升过程，其中蕴含着如下几种核心素养.
1.逻辑推理：逻辑推理是得到数学结论的重要方式，是数学严谨性的基本保证，反思1由三点共线推断MB 和AN 的交点轨迹，反思2对结论的一般化推广都是逻辑推理的结果.
2.数学运算：数学运算是解决数学问题的基本手段，是计算机解决问题的基础.问题的解答依据作图顺序，设计计算程序，蕴含着算法的思想；每个探究过程中，为了利用根与系数的关系简化运算，将表达式对称化，蕴含着对称化的思想；探究4、5在求λ的范围和面积的最值过程中蕴含着函数的思想.
3.直观想象：直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索思路、数学推理的思维基础. 探究4中对λ取值范围的分析就是直观观察的结果.虽然直观观察的结果不一定可靠，但数学软件为数学证明提供了实验保证.以上探究过程中，利用《几何画板》实验验证，是进一步数学推理的基础,它为认识图形的变化形态，发现规律提供了新的途径.
4.数学抽象：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的基础，反映了数学的本质特征.从探究1到探究2，由特殊到一般，揭示了问题中条件与结
图3
论之间的内在联系，相对于本题的解决而言，对于一般情形得到直线AN 和直线BM 交点的轨迹，具有更大的普遍性，揭示了条件与结论之间的内在联系，也为我们通过特殊化编制题目提供了理论保障.
最后，我们还可以引导学生进一步思考以下更一般的问题：
反思6.如果将椭圆与y 轴的交点A 、B 变为与y 轴平行的直线x=m （-a<m<a ）与椭圆的交点P 、Q ，PN 和线段QM 交点的轨迹如何呢？
探究6：利用《几何画板》实验，当k 为定值，0y 为参变数时，轨迹双曲线；当k 为参变数时，随着定值00()y y b ≠位置的变化，轨迹分别为直线、双曲线、抛物线、椭圆.
设P(m,n),Q(m ，-n)，由方程（*）根与系数的关系得
22220122222121212022()211
()[()]
ka y m b a k x x m x m x m x x m x x m a y km n +++-+==----+++- （1） 222
2
2221212120111()[()]
b a k x m x m x x m x x m a y km n +⋅==---+++- （2） 则AN ：22()y n y n x m x m --=
--，BM ：11+n
+()y y n x m x m
=-- 由2211()()
y n y n x m x m y n y n x m x m -⎧
-=-⎪-⎪⎨+⎪+=-⎪-⎩得0201(3)+y km n y n k x m x m y km n y n k x m
x m +--⎧=+⎪--⎪⎨
++⎪=+⎪--⎩
（1）若k 为定值，0y 为参变数，将（3）两式变形得02
y km n y n
k x m x m +--⎧-=⎪--⎪
⎨，
将两式相乘并将（2）代入化简得
2222222222220b x ka xy a y mb x ka my a b +---+=，
交点的轨迹为该方程所表示双曲线的一部分（如图
（2）若当k 为参变数,将方程组（3）中两式分别相加减得
012120
1212211112()()+()(4)21111()()()
y
k y km n x m x m x m x m x m n n y km x m
x m x m x m x m ⎧-=++-⎪-----⎪⎨
⎪=+++-⎪-----⎩
消去12
11
x m x m ---得22200012()111
()[()](+)2y km y n y km k y km n x m x m x m
+-=+++----
将（1）代入上式化简整理得2
202mb y y kmy x b a
-+=+ （5）
将（4）中两式平方作差得
2222220212221(2)()4[()]=4()()()y n b k y km n k x m x m x m x m a
--=+-⋅+---- 化简得2
2
2
222()()b y ky x m n x m a
---=-（6）
由（5）、（6）消去k 得
2222222222002220mb x a y xy ma y a b x a my y ma b ++--+=（7） 1）当m=0时，（7）表示直线20
b y y =（x ≠0）在椭圆内的部分；
2）当m ≠0时， 222
220
=4()a a y b m ∆- 若00b
m y b y b a
<<>，或，0∆>，（7）表示双曲线一部分； 若 0b
y m a =，0∆=（7）表示抛物线；
若 0
b y m a
<，0∆<（7）表示椭圆 . 数学课堂应该基于“思维”教，围绕“思维”学.作为教师应挖掘数学教学内容中的思维价值，尽可能在每一节课中，设计利于放大这些思维价值的数学活动，在数学教学过程中，通过活动，让学生获得良好的思维启迪.好的问题是
活动进行的纽带，在教学中我们要选择具有开发价值的问题，从数学知识的发生发展过程，特别是如何发现和提出数学问题、获得数学对象的角度，结合具体内容发展学生的数学核心素养，使学生能自觉地用数学的思维方法去观察、分析，解决问题，由“理性思维”逐步走向理性精神.。