2019届人教A版高中数学 高三一轮(文) 第二章 2.8函数与方程

1.函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解. 2.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a>0)的
图象
与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点
零点个数210
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.()
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.()
1.函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
2.若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x 的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( ) A.y ＝f (－x )e x －1 B.y ＝f (x )e －
x ＋1
C.y ＝f (x )e x －1
D.y ＝f (x )e x ＋1
3.函数f (x )＝log 2x －1
x 的零点所在的区间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
5.已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1
x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )
题型一 函数零点的确定 命题点1 函数零点所在的区间
例1 已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
D.(3,4)
命题点2 函数零点个数的判断
例2 (1)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.
(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A.多于4 B.4 C.3
D.2
命题点3 求函数的零点
例3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3}
D.{－2－7，1,3} 思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
(1)已知函数f (x )＝6
x
－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4，＋∞)
(2)函数f (x )＝12
x －x
⎪⎭
⎫
⎝⎛21的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型二 函数零点的应用
例4 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.
思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数.
(1)函数f (x )＝2x －2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
|2x
－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(0,3)
C.(0,2)
D.(0,1)
题型三 二次函数的零点问题
例5 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.
思维升华 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.
若关于x 的方程x 2＋ax －4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.(－3，＋∞)
B.[－3,0]
C.(0，＋∞)
D.[0,3]
3.忽视定义域导致零点个数错误
典例 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 016x ＋log 2 016x ，则在R 上函数f (x )的零点个数为________.
温馨提醒 (1)讨论x >0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视.
[方法与技巧]
1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理；
(2)数形结合：函数y ＝f (x )－g (x )的零点，就是函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的横坐标. (3)解方程.
2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组).
3.利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. [失误与防范]
1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确.
A 组 专项基础训练
3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
－1， x ≤1，
1＋log 2x ， x >1，
则函数f (x )的零点为( )
A.1
2，0 B.－2,0 C.12
D.0
2.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c
D.c <a <b
4.方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x ＋a ，x ≤0，
2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，0)
C.(－1,0)
D.[－1,0)
6.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________.
7.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是_________.
8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是____________.
9.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1
x (x >0). (1)作出函数f (x )的图象；
(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1
b
的值；
(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.
10.关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围.
B 组 专项能力提升
11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(－∞，－2]
C.(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.(－∞，1]∪[2，＋∞)
12.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.。