2017-2018年河南省商丘一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年河南省商丘一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={2，3，4}，则A∪B=（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}
2．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
3．（5分）设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）
A．B．C．D．
4．（5分）三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
5．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）
A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2
6．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）
7．（5分）若0＜a＜1，b＞0，且，则a b﹣a﹣b等于（）A．B．2或﹣2 C．﹣2 D．2
8．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．（5分）f（x）=e x﹣x﹣2在下列那个区间必有零点（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
10．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I （I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f （x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）
A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
11．（5分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x 0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）
A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]
12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）=4﹣log2x，x∈[4，8]，则f（x）的值域是．14．（5分）已知函数y=4a x﹣9﹣1（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），则log m n=．
15．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．
16．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数
是奇函数，给出以下四个结论：
①函数y=f（x）是周期函数；②函数y=f（x）在R上是单调函数；
③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称．
在上述四个结论中，正确结论的序号是（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}
（1）求A∩B：
（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．
18．（12分）求值：
（1）（2）﹣（9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）．
19．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且．（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）=1，解不等式．
20．（12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）21．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2
（1）求证：f（x+4）=f（x）；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．
22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（1）求a、c的值：
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年河南省商丘一中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={2，3，4}，则A∪B=（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={2，3，4}，
则A∪B={1，2，3，4}．
故选：A．
2．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解；对于A，f（x）==|x|（∈R），与g（x）=x（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数；
对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==﹣x（x＞0）的定义域不同，对应法则也不同，不是同一函数；
对于C，f（x）=（x≤﹣2或x≥2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，不是同一函数；
对于D，f（x）=|x|，与g（x）==|x|的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：D．
3．（5分）设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意=
故选：C．
4．（5分）三个数a=70.3，b=0.37，c=ln0.3大小的顺序是（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：
70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0，
所以ln0.3＜0.37＜70.3
故选：A．
5．（5分）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）
A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2
【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，
则，
解得：m=2．
故选：B．
6．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
7．（5分）若0＜a＜1，b＞0，且，则a b﹣a﹣b等于（）
A．B．2或﹣2 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵，
∴a2b+a﹣2b=8﹣2=6．
∴（a b﹣a﹣b）2=a2b+a﹣2b﹣2=4．
∵0＜a＜1，b＞0，
∴a b＜a﹣b，
则a b﹣a﹣b=﹣2．
故选：C．
8．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．
即图象变换规律是：①→②．
故选：A．
9．（5分）f（x）=e x﹣x﹣2在下列那个区间必有零点（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：∵f（x）=e x﹣x﹣2，∴f′（x）=e x﹣1，
∵f′（x）=e x﹣1＞0，x＞0，
f′（x）=e x﹣1=0，x=0，
f′（x）=e x﹣1＜0，x＜0
∴f（x）=e x﹣x﹣2在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0，
∴f（x）在（1，2）内存在零点，
故选：C．
10．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I （I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f （x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）
A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
【解答】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选：B．
11．（5分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）
A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]
【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，
∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．
∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．
又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．
故选：C．
12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
【解答】解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log 2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知函数f（x）=4﹣log2x，x∈[4，8]，则f（x）的值域是[1，2] ．【解答】解：∵x∈[4，8]，
∴log2x∈[2，3]，则4﹣log2x∈[1，2]，
∴函数f（x）=4﹣log2x，x∈[4，8]的值域是[1，2]．
故答案为：[1，2]．
14．（5分）已知函数y=4a x﹣9﹣1（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），则log m n=
．
【解答】解：令x﹣9=0，解得x=9，
则y=4﹣1=3，
即恒过定点A（9，3），
∴m=9，n=3，
∴log m n=log93=，
故答案为：
15．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．
【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，
f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，
∴x2+a＞﹣ax，
∴x2+ax+a＞0，
∴△=a2﹣4a＜0
∴0＜a＜4，
故答案为0＜a＜4．
16．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数
是奇函数，给出以下四个结论：
①函数y=f（x）是周期函数；②函数y=f（x）在R上是单调函数；
③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称．
在上述四个结论中，正确结论的序号是①③④（写出所有正确命题的序号）【解答】解：根据题意，分析题目所给的四个结论：
对于①，若，则f（x+3）=f[（x+）+]=﹣f（x+）=f（x），
则函数y=f（x）是周期为3的周期函数，①正确；
对于④，函数是奇函数，则函数关于点（0，0）对称，
而函数的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位得到的，
则函数y=f（x）的图象关于点（，0）对称，④正确；
对于③，函数y=f（x）满足条件，
则有f（x﹣+）=﹣f（x﹣），即f（x﹣）=﹣f（x﹣），
又f（x）的周期为3，则f（x﹣）=f（x﹣+3）=f（x+），
又由函数是奇函数，
则有f（x﹣）=﹣f（﹣x+），
而f（x﹣）=f（﹣x+），令t=x﹣，
则有f（t）=f（﹣t），
f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故③正确；
对于②，由③知f（x）是偶函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反，
∴f（x）在R上不单调，故②错误；
则①③④正确；
故答案为：①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}
（1）求A∩B：
（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，
∴A∩B={x|2≤x＜3}．
（2）∵集合C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，
B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，
满足B∪C=C．
∴B⊆C，
∴﹣≤2，解得a≥﹣4．
∴实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．
18．（12分）求值：
（1）（2）﹣（9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；
（2）．
【解答】解：（1））（2）﹣（9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2
=+
=．
（2）
=lg[14÷×7÷18]
=lg1
=0．
19．（12分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且．（1）求f（1）的值；
（2）若f（2）=1，解不等式．
【解答】解：（1）令x=y＞0，由．可得f（1）=f（x）﹣f（x），则f（1）=0；
（2）∵f（2）=1，令x=4，y=2，∴f（2）=f（4）﹣f（2），即f（4）=2，
故原不等式为：，即f（x（x+3））＜f（4）
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，故原不等式等价于：得x∈（0，1）．
20．（12分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的
表达式；
（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）
【解答】解：（1）当0＜x≤100时，P=60，
当100＜x＜550时，P=60﹣0.02（x﹣100）=62﹣，
当x≥550时，P=51．
所以…（6分）．
（2）设工厂获得的利润为L元，
当订购500个时，L=（62﹣﹣40）×500=6000元；
当订购1000个时，L=（51﹣40）×1000=11000元
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元…（12分）．
21．（12分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2
（1）求证：f（x+4）=f（x）；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．
【解答】证明：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期为4的周期函数，
即f（x+4）=f（x）．…（3分）．
解：（2）∵x∈[2，4]，∴﹣x∈[﹣4，﹣2]，∴4﹣x∈[0，2]，
∴f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，
又f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，
即f（x）=x2﹣6x+8，x∈[2，4]…（7分）．
（3）∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=﹣1
又f（x）是周期为4的周期函数，
f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2012）+f（2013）
+f（2014）+f（2015）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）
=f（2016）+f（2017）=f（0）+f（1）=1．…（12分）．
22．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．
（1）求a、c的值：
（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得：，即，∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．
∴a≠0，函数是二次函数．…（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
即（*）…（4分）
由f（1）=0得，即，代入（*）得．
整理得，即．
而，∴．
将代入（*）得，，
∴
．…（7分）
另解：（Ⅰ）当a=0时，．
由f（1）=0得，即，
∴．
显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，
∴a≠0，因而函数是二次函数．…（2分）
由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得
即…（4分）
由此可知a＞0，c＞0，
∴．
由f（1）=0，得，代入上式得．
但前面已推得，
∴．
由解得．…（7分）（Ⅱ）∵，∴．
∴．
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．…（8分）
假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．
①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，
∴g（m）=﹣5，
即，
解得m=﹣3或m=．
∵＞﹣1，∴m=舍去．…（10分）②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=﹣5，
即．
解得m=或m=，均应舍去．…（12分）
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，
∴g（m+2）=﹣5，
即．
解得m=或m=，其中m=应舍去．
综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．
…（14分）。