淮安市阳光学校高二数学调查测试试卷

江苏省淮安市阳光学校2007-2008学年度高二年级第三次调查测试
数学试卷
命题人：曹正立 审核人：朱建华 曹正立 2007.12.24
注意事项：
本试卷共4页，满分160分．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置。

答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。

在试卷或草稿纸上作答一律无效。

一、填空题：本大题满分70分,每小题5分.
1．已知命题:1sin ,:<∈∀x R x p ,则:p ⌝ ▲ .
2．已知两条直线2-=ax y 和1)2(++=x a y 互相垂直,则a 等于 ▲ .
3．曲线x
x e e
x y -=2ln 在点2=x 处的切线的斜率为 ▲ .
4．若)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则=)4('f ▲ . 5．下面的程序语句执行后输出的结果是 ▲ .
6．已知
与y 之间的一组数据:
则y 与x 的线性回归方程a bx y +=必过点 ▲ . 7．向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ,则PBC ∆的面积小于
2
S
的概率为 ▲
. 8．某人5次上班途中所花时间分别为9,11
,10,,y x ,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则y x -的值是 ▲ .
9．圆8)2()1(22=+++y x 上的点到直线01=++y x 的距离为2的点共有 ▲ 个. 10．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离和最小距离之差为 ▲ .
11．抛物线x y 42=被直线b x y +=2截得的弦长为53,则=b ▲ . 12．如图，函数2
5
1)()(x x f x g +
=的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则=+)5(')5(f f ▲ .
第12题图
第14题图
13．已知椭圆13
42
2=+y x ,椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称,则m 的取值范围是 ▲ .
14．已知函数()f x 的定义域为(],2-∞，部分对应值如下表．()f x '为()f x 的导数，函数
()y f x '=的图像如上图所示:
若两正实数,a b 满足()1f a b +<，则1
a -的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题满分90分.15、16题14分，17、18题15分，19、20题16分. 15
.(本题满分14分)
已知3
11:--
x p ≤2,2
212:m x x q -+-≤0)0(>m ,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件, 求实数m 的取值范围.
16.(本题满分14分)
右图是解决某个问题而绘制的程序框图,仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系,回答下列问题：
(1)图框①中2=x 的含义是什么？
(2)图框②中b ax y +=1的含义是什么？
(3)图框④中b
ax y +=2的含义是什么？
(4)该程序框图解决的是一个什么样的问题？
(5)若最终输出的结果为2,321-==y y ,当5=x
(6)在(5)的前提下,输入x 的值越大,输出的值是否越大？为什么？
(7)在(5)的前提下,输入x 的值为多大时,输出的结果为0？
17.(本题满分15分)
(1)若]2
,2[,cos sin )(π
π-
∈+=x x x x f ,求)(x f 的最大值和最小值；
(2)过原点作x y ln =的切线,求切线方程.
18.(本题满分15分)
已知曲线C:02020242
2
=-++-+m my mx y x . (1).求证:不论m 取何值时,曲线C 恒过一定点;
(2).证明:当2≠m 时,曲线C 是一个圆,且圆心在一条定直线上; (3).若曲线C 与y 轴相切,求m 的值.
19.(本题满分16分)
椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为22,相应于焦点)0,(c F )0(>c 的准线与x 轴的交点为A ,FA OF 2=. (1).求椭圆方程及离心率;
(2).若过点A 的直线交椭圆于Q P ,两点,且0=⋅,求PQ 直线方程.
20.(本题满分16分)
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式)(t f y =;
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,治疗疾病有效; ①求服药一次治疗疾病有效的时间; ②当5=t 时,第二次服药,问]16
1
5,5[∈t 时,药效是否连续?并说明理由.
江苏省淮安市阳光学校2007-2008学年度高二年级第三次调查测试
卷
数学试卷答案及评分标准
2007.12.24
一、填空题：
1.x R x sin ,∈∃≥1
2. -1
3.2
e - 4. 6 5. 10 6.)4,23
(
7. 4
3 8.
4 9. 3 10. 26 11. 4- 12. 5- 13.)13
13
2,13132(- 14.),1()1,(+∞--∞ 二、解答题： 15.解：由3
1
1:--
x p ≤2得:2-≤x ≤10,则10>x 或2-<x …………………………4分 由2212:m x x q -+-≤0得:m -1≤x ≤m +1,则m x +>1或m x -<1)0(>m …4分
又∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件
∴⎪⎩⎪
⎨⎧+->m m m 110≤2-……………………………………………………………………12分
∴m ≥9……………………………………………………………………………14分
16.解：(1) 图框①中2=x 表示把2赋给变量x 或使2=x ; …………………………2分
(2) 图框②中b ax y +=1的含义:该图框在执行①的前提下,即当2=x 时计算
b ax +的值,并把该值赋给1y ; …………………………………………………4分 (3)图框④中b ax y +=2的含义:该图框在执行③的前提下,即当3-=x 时计算b ax +的值,并把该值赋给2y ; …………………………………………………6分 (4)该程序框图解决的是求函数b ax x f +=)(的函数值的问题.其中输入的是自变量
x 的值,输出的是x 对应的函数值; ……………………………………………8分 (5)31=y 即32=+b a . ① 22-=y 即23-=+-b a . ②
由①②得1,1==b a ∴1)(+=x x f
∴x 取5时,6115)5(5=+⨯==+f b a ; ……………………………………10分 (6)输入x 的值越大,输出的函数值b ax +越大,因为1)(+=x x f 是R 上的增函数;
……………………………………………………………………………………12分 (7)令01)(=+=x x f ,得1-=x ,因而当输入的值为1-时,输出的函数值为0. ……………………………………………………………………………………14分
17.解：(1)若,0sin cos )('=-=x x x f 即1tan =x ,4
π
π+=k x , …………………2分
而]2,2[π
π-
∈x ,当42ππ<<-x 时, 0)('>x f ,当2
4π
π<<x 时, 0)('<x f . ≥10
∴)4(πf 是极大值,1)2
(,1)2(,2)4(=-=-=
π
ππf f f ,
∴此函数最大值是2,最小值是1-. ………………………………………7分
(2)设切点为),(00y x P ,∵x y 1'= ∴切线的斜率为0
1
x ……………………9分
∴切线方程为x x y ⋅=0
1
, 又∵P 在切线上, ∴11000=⋅=x x y ………11分
而P 又在x y ln =上, ∴1ln 00==x y ,∴e x =0. ………………………13分
∴所求切线方程为: x e
y ⋅=1
. ……………………………………………14分
18.解：曲线C 方程可化为:0)2024()20(22=++-+-+y x m y x
由⎩⎨⎧=++-=-+0
202402022y x y x 得:⎩⎨⎧-==24y x
∴不论m 取何值曲线C 恒过点)2,4(-. ………………………………………4分 (2)2020,2,4-==-=m F m E m D
∴)2(0)2(204222≠>-=-+m m F E D
∴曲线C 表示一个圆. ………………………………………………………………6分 设圆心的坐标为),(y x ,
则⎩
⎨
⎧-==m y m
x 2 得:02=+y x
∴曲线C 的圆心在直线02=+y x 上. ………………………………………10分
(3)若曲线C 与y 轴相切,则2≠m ,曲线C 为圆,其半径2)2(20-=m r
又圆心为),2(m m - ∴m m 2)2(202
=- ∴2
5
5±=
m . ………………14分 19.解：(1)由题意:可设椭圆的方程为)2(122
22>=+a y a
x 由已知得:⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-)(22222c c a c c a 解得:2,6==c a ……………………………4分 ∴椭圆方程为:1262
2=+y x , ……………………………………………………5分 离心率为:3
6
=e ………………………………………………………………6分
(2)设),(),,(1111y x Q y x P ,由(1)可知)0,3(A ,可设直线PQ 方程为)3(-=x k y
由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)
3(12
622x k y y x 得:062718)13(2222=-+-+k x k x k ………8分
∴13182221+=+k k x x ① 1
36
272
221+-=k k x x ② 而]9)(3[)3()3(21212
1121++-=-⋅-=x x x x k x k x k y y ③
又∵0=⋅ ∴02121=+y y x x ④ ……………………………………12分
由①②③④得152
=k ∴5
5
±
=k ……………………………………14分 又由0)32(122>-=∆k 得3
6
36<
<-k ,而)36,36(55-∈±=k ∴直线PQ 方程为)3(5
5
-±=x y
即035=--y x 或035=-+y x …………………………………………16分
20.解：(1)当0≤1<t 时,t y 4=.
当t ≥1时,a
t y -=)2
1(,此时)4,1(M 在曲线上,
∴a
-=1)2
1(4,
∴3=a ,这时3
)2
1(-=t y
∴⎪⎩⎪
⎨⎧==-3)21(4)(t t t f y ……………………………………………………6分
(2)①由)(t f ≥25.0,解得16
1
≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为
16
1541615=-个小时. …………………………………………………………10分
②设]161
5,5[∈t ,血液含药量)(t g 为:第二次的含药量)5(4-t 毫克加上第一次的
剩余量3)21(-t 毫克,即3
)2
1()5(4)(-+-=t t t g .………………………………12分
由题意,只要证明:当]16
1
5,5[∈t 时,)(t g ≥25.0即可.
∵2ln )21(421ln )21(4)('3
3---=+=t t t g ,并注意到)('t g 在R 是增函数,从而
)('t g 在]1615,5[上有)('t g ≥02ln )2
1
(4)5('2>-=g ,∴)(t g 在]1615,5[上是
增函数,故)(t g ≥25.0)5(=g .
∴5=t 时,第二次服药,]16
1
5,5[∈t 时,药效连续. ……………………………16分
,t ≥1.
,0≤1<t。