第二类完全椭圆积分的平均值不等式

Ｅ（ ｎ， ｂ ）一
Ｉ ４ ６
ｌ ７ ｃ
且 证得 ： 当 口， ｂ＞ ０ 且 口≠ ｂ时 ， 有 Ｈ（ ｎ， ｂ ） ＜ Ｅ（ 口， ｂ ） ＜ Ｃ（ ａ， ｂ ）， 其 中Ｈ（ ｎ ， ｂ ） ＝２ ａ ｂ ／ （ ｎ＋ｂ ） 、 Ｃ一 （ 口 ＋ｂ ） ／ （ 口＋ ｂ ） 分别 表示 两个 正数 ａ和 ｂ的 调和平 均 和反 调和 平均 ． 近 年来 ， 各类平均值 成 为不等 式研 究 的热点 ， 许 多 重 要 的平 均 值 不 等 式 被 证 明［ ８ － １ ２ ３ ． 本 文 证 明 了 Ｅ（ ｎ， ｂ ）关 于 调 和平均 和 反调 和平 均 的算 术 凸组 合 与 几何 凸组 合 的 两个 最 佳 双边 不 等 式 ， 进 而 给 出 了第 二类 完 全椭 圆积 分 的两个 不 等式 ． 主要 结果 如下 ：
第 ２期
袁琴 ， 等： 第 二 类 完 全 椭 圆 积 分 的 平 均 值 不 等 式
１ ３
ｔ 一￣ ／ １ 一ｔ （ ￡∈ （ Ｏ ， １ ） ） ．
推 论 １ 对 ｔ∈ （ ０ ， １ ）， 不等式
２
＾ ／ 、 ／ 瑶 １ ￣ ｔ ｑ 焉２ ｔ ＂ ＜ ＜ ２ ／ √ 瑶 １ － ｝ － ｔ ＇ ４ 焉 ＜ ＜
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６— １ ２ —２ ３ 基金项 目： 浙 江 省 教 育 厅 科 研 计 划 项 目（ Ｙ２ ０ １ ６ ３ ５ ３ ２ ５ ） ； 湖 州 师 范 学 院“ 大学生创新训练计划” 项 目（ ２ ０ １ ６ —１ ０ ｏ ） ． 通信作者 ： 王淼坤 ， 博士， 讲师 ， 研究方 向： 特殊 函 数 、 拟共形 映射． Ｅ—ｍａ ｉ ｌ ： ｗａ ｎ ｇ ｍｉ ａ ｏ ｋ ｕ ｎ ＠ｚ ｊ ｈ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
第３ ９卷
第 ２期
湖 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ９ Ｎｏ ． ２
Ｆｅ ｂ． ， ２ Ｏｌ７
２ ０ １ ７年 ２月
第二类完全椭 圆积分 的平均值不等 式
圆积 分 的基本 性质 及其 应用 见文 献 ［ １ —６ ］ ．
１ ９ ９ ８年 ， Ｔｏ ａ ｄ ｅ ｒ Ｅ 介绍 了一 个与第 二 类完 全椭 圆积 分相 关 的对称 平均 值 Ｅ（ ｎ， ｂ ），
Ｉ ４ 口
『 ｌ ２
７ ｃ
（ ２ ）
自上 世纪 ９ ０年代 以来 ， 完全 椭 圆积分 被 广泛研 究 ， 并应 用 于拟共 形 映射偏 差 定理 的估 计 ． 关 于 完 全椭
ＭＳ Ｃ ２ ０ １ ０： ３３ ＥＯ ５；２ ６Ｅ６ ０
文献标志码 ： Ａ
文章 编 号 ： １ ０ ０ ９—１ ７ ３ ４ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ２— ０ ０ １ ２ —０ ５
ｒ●●●Ｌ Ｌ ． ●
Ｌ
Ｅ
Ｅ
０ 引 言
对 ｔ∈ Ｅ ｏ ， １ ］ ， 第 一类 完全 椭 圆积分
２ ｔ ＇
成立 当且 仅 当 ａ≤ 口 。 一４ ／ ７ ｃ 。及 ｐ≥ 卢 。 一７ ／ １ ６ ．
推论 ２ 对 ｔ∈ （ Ｏ ， １ ）， 不 等式
成 立 当且 仅 当 ａ ≤ Ｇ ｏ一 ７ ／ １ ６ 及 一证 明
定理 １的证 明 通 过不 等式 变形 ， 定 理 １可改 写 为 ： 当 口， ｂ＞ ０且 口≠ ｂ时 ，
ａ＜
，
Ｅ（ 口， ｂ ）一 Ｈ （ 口， ｂ ） ，
＜ 卢 ，
（ ６ ）
当 且 仅 当 口≤ ４ ／ ３ 及 ≥ ７ ／ １ ６ ．
因 Ｃ（ ｎ， ｂ ）， Ｈ（ ｎ， ｂ ）， Ｅ（ ｎ ， ｂ ） 关 于 口， ｂ都是 对称 和 齐次 的 ， 所 以不 妨假 设 ｎ＞ ｂ ． 令
Ｋ ＝ ＝ ＝ 一 Ｊ － Ｋ （ ） 和 第 二 类 完 全 椭 圆 积 分 Ｅ （ ｔ ） 分 别 定 义 如 下 ：
Ｋ （ ｏ ） 一 号 ， Ｋ （ １ ） 一 ∞ ；
一
孵
（ １ ）
卫
Ｅ — Ｅ （ ￡ ） 一 ｊ Ｊ ０ ￣ ／ ｒ 二 了 面 ｄ ， Ｅ （ ｏ ） 一 号 ， Ｅ （ １ ） 一 １ ．
袁 琴 ，俞 芳婷 ，王 淼 坤
（ 湖 州师范学院 理学院 ， 浙江 湖 州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 研 究 一 个 与 第 二 类 完 全 椭 圆积 分 相 关 的平 均 值 ， 证得 它关于调 和平均 、 反 调 和 平 均 的 算 术 凸 组 合 与 几 何
凸 组 合 的两 个 最 佳 双 边 不 等式 ， 进 而 得 到 第 二 类 完 全椭 圆 积 分 在 某 种 形 式 下 的两 个 最 优 不 等 式 ． 关键词 ： 调 和 平 均 ；反调 和 平 均 ； 完 全 椭 圆 积分 ； 不 等 式 中 图分 类号 ： Ｏ１ ７ ２
定理 １ 当 ａ， ｂ＞ ０且 ａ≠ ｂ时 ， 不 等式
ａ Ｃ（ ａ， ６ ） ＋ （ １一 口） Ｈ （ 口， ｂ ）＜ Ｅ （ ｎ， ｂ） ＜ （ ｎ， ｂ） ＋ （ １一 ）Ｈ （ ｎ， ｂ） （ ４ ）
成 立 当且仅 当 ａ≤ ａ 。 一４ ／ ７ ｃ 及 ≥ 。 一７ ／ １ ６ ． 定理 ２ 当 ａ， ｂ＞ ０且 ａ≠ ｂ时 ， 不等 式
Ｃ （ 口， ｂ ） Ｈ （ 口， ｂ ） ＜ ：Ｅ （ ｎ， ｂ ）＜ ：Ｃ （ 口， ｂ ） Ｈ （ 口， ｂ ） 一 （ ５ ）
成 立 当且 仅 当 ａ ≤ Ｇ ｏ一 ７ ／ １ ６及
一ｐ ｏ＝ ＝ ＝ １ ．
若在 定理 １和定理 ２中令 ｎ一１ ， ｂ—ｔ ， 便得 第 二类 完全椭 圆积 分 的不 等式 ． 这里 及下 面均 记 ：