直角三角形全等的判定

变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
E P D C
根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角； 根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角。
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗? 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直 角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他 就肯定“两个直角三角形是全等的”。 是直角三角形全等最易选择的判定方法
作业：
• 课本P79 练习第2题、习题第6题.
A
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等.（斜边、直角边）或（HL）
A A' B B' C'
几何语言：
∵∠C=∠C′=90
∴在Rt△ABC和Rt△ABC 中
C

AB=AB
BC= BC （或 A C= A´C´ ）
∴Rt△ABC≌ Rt△ABC (HL)
例：
“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝， 他用量角器测 ∠B=∠D=90°，并且侧得BC=CD，不用再测 量，他就知道AB=AD，请你用所学知识加以 说明。 证明：∵∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０° Ａ
∴ ∆ABC 与∆ADC都是直角三角形。 在Ｒt∆ABC 与Ｒt ∆ADC中 ∵ＢＣ＝ＤＣ ＡＣ＝ＣＡ Ｄ∴Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆ADC（Ｈ.Ｌ.). ∴ＡＢ＝ＡＤ
Q
F
小结
一般三角 形全等的 判定
“ SSS ” “SAS” “ ASA ” “ AAS ”
直角三角 形全等的 “ 判定
SSS ” “ SAS ” “ ASA ” “ AAS ” “ HL ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人 员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三 角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量。 (1) 你能帮他想个办法吗？
忆一忆
相等 ，对应 1.全等三角形的对应边 ---------, 相等 角----------2.判定三角形全等的方法有：
SSS 、SAS、ASA、AAS
3.认识直角三角形 Rt△ABC
A
直 b角 边 斜边
C
直角边
C
a
B
直角三角形全等的判定 (斜边直角边)
做一做
已知线段a,c(a<c)和一个直角α，利用 尺规作一个Rt△ABC，∠C=∠α, c a AB=c, CB=a. 设计作图步骤 作法： （1）作∠MCN=∠α =90°; （2)在射线CM上作线段CB=a; （3)以B为圆心,c为半径 画弧,交射线CN于点A; （4）连接AB. △ABC就是所求作的图形 B
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B
P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC, 求证： △ABC≌△BAD.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中
D
C
AB BA BC AD
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) A
B
例3 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别
练习
２、如图，ＡＣ＝ＡＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０° ， 求证：ＢＣ＝ＢＤ
证明：∵∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０° ∴△ＡＢＣ和△ＡＢＤ是直角三角形 在Ｒt △ＡＢＣ和Ｒt △ＡＢＤ中 ∵ＡＢ＝ＡＢ ＡＣ＝ＡＤ ∴Ｒt △ＡＢＣ≌Ｒt △ＡＢＤ ∴ＢＣ＝ＢＤ
Ｃ
Ａ
Ｄ
Ｂ
小结：
• 1、应用斜边直角边（H.L.）公理判定两个 三角形全等，要按照公理的条件，准确地 找出“对应相等”的边和角； • 2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注 意充分利用图形中的隐含条件，如“公共 边、公共角、对顶角等等”； • 3、要认真掌握证明两个三角形全等的推理 模式。
是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
A
分析： △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Qபைடு நூலகம்
F
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E ∴△ABC≌△DEF (ASA)
A
{
B
P D
C
{
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
B P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
例1
已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC
AD=AD ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
{
A
B
D
C
例2 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,
Ｂ
Ｃ
练习
１、如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＤ，ＤＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ＡＣ，Ｅ、Ｆ为垂足，ＤＥ＝ＤＦ， 求证：△ＢＥＤ≌ △ＣＦＤ
Ａ
Ｅ Ｂ Ｄ
Ｆ Ｃ
证明：∵ＤＥ⊥ＡＢ ＤＦ⊥ＡＣ ∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＦＣ＝９０° ∴△ＤＥＢ和△ＤＦＣ是直角三角形 在Ｒt △ＤＥＢ和Ｒt △ＤＦＣ中 ∵ＤＢ＝ＣＤ ＤＥ＝ＤＦ ∴Ｒt △ＤＥＢ≌Ｒt △ＤＦＣ