广东省北大附中深圳南山分校高三上学期期末试题数学(文)

广东省北大附中深圳南山分校高三上学期期末试题
数学 (文科)
参考公式：锥体的体积公式1
V =Sh 3
，其中S 为锥体的底面积，和h 为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1， 3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁U M)∩N= A. {4} B. {2，3，4，5} C. {1， 3，4，5} D.Φ 2.若复数z 1=3+i ，z 2=2－i ，则
1
2
z z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在下列函数中，是奇函数的有几个 ①f(x)=sin(π－x)； ②|x |
f(x)=
x
； ③f(x)=x 3－x ； ④f(x)=2x +2-x . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.设x ，y 满足约束条件y 0x y x +y 1≥⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩
，则z=2x+y 的最大值等于
A.1
B.2
C.0
D.1.5 5.为了解地震灾区高三学生的身体发 育状况，抽查了该地区100名年龄为 17岁～18岁的男生体重(kg)，得 到如图频率分布直方图. 根据右图可 知体重在[56.5，64.5)的学生人数有 A.20人 B.30人 C.40人 D.50人
6.设m 、n 是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是 A.若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β B.若α⊥β，m ⊥α， n ∥β，则m ⊥n
C.若α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，则n ⊥β
D.若α∥β，m ⊥α， n ∥β，则m ⊥n
7.为了解“广州亚残会开幕式”电视直播节目的
收视情况，某机构在深圳市随机抽查了10000
人，把抽查结果输入如图所示的程序框图中， 其输出的数值是3800，则该节目的收视率为
A.3800
B.6200
C.0.62
D.0.38
8.“x(x －3)≤0”是“| x －2|≤2”成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
开始
输出S
N T≤10000 Y T=T+1 S=0 T=1
N S=S+1 Y
观看直播 第5题图
9. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，
则△PBC 的面积不小于
S
3
的概率是 A.13 B.32 C.41 D.4
3 10.若x 、y 是正数．x 、a 、b 、y 四个数成等差数列，
x 、m 、n 、y 四个数成等比数列. 则2(a +b)mn
的取值范围是
A.[2，+∞)
B.(0，+∞)
C.(0，4]
D. [4，+∞)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分，共20分．把答案填在答题卡上． (一)必做题(11～13题)
11.在平面直角坐标系中，已知AB =(13)-，，AC =(21)-，，则|BC |= .
12.已知抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线2
2
y
x =13
-的右焦点重合，则p 的值为 . 13.设f 0(x)=cosx ，f 1(x)= f 0＇(x)，f 2(x)= f 1＇(x)，…，f n+1(x)= f n ＇(x)，n ∈N*，则 f (x)= .
(二)选做题(14 ~ 15题，考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：x =1+cos θ
y =sin θ
⎧⎨
⎩(θ为参数)的圆心到直线
l ：x =223t y =13t ⎧-⎪⎨-⎪⎩
(t 为参数)的距离为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图，PC 切⊙O 于点 C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，
PC=4，PB=8，则CD=___________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知函数πf(x)=2sin(x +)2cosx 6
-. (Ⅰ)若4sin x 5=，π
x [π]2
∈，
，求函数f(x)的值； (Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.
D C
O B P
E A 第15题图
17.(本小题满分12分)
关于x 的方程x 2+Bx+C=0的系数B 、C 分别是一枚骰子先后掷两次出现的点数. (Ⅰ) 求该方程有实根的概率；
(Ⅱ)求－2是该方程的一个根的概率.
18.(本小题满分14分)
如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动． (Ⅰ) 证明：BC 1//平面ACD 1； (Ⅱ)证明：A 1D ⊥D 1E ；
(Ⅲ) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面 ACD 1的距离.
19.(本小题满分14分) 若函数321a +1f(x)=
x x +bx +a 32
(a ，b ∈R)，且其导函数f ′ (x)的图象过原点． (Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程；
(Ⅱ)若存在x<0使得f ′ (x)=－9，求实数a 的最大值．
D C
B
A 1
E
A B 1
C 1
D 1
20.(本小题满分14分)
已知等差数列{a n }中，a 1=－1，前12项和S 12=186． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n }满足n a
n 1b =()2
，记数列{b n }的前n 项和为T n , 求证：n 16
T <
7
(n ∈N*).
21.(本小题满分14分)
椭圆中心是原点O ，它的短轴长为22，右焦点F(c ，0) (c>0)，它的长轴长为2a(a>c>0)，直线l ：
2a x =c
与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．
(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；
(Ⅱ)若OP OQ =0⋅，求直线PQ 的方程；
(Ⅲ)设AP =λAQ (λ>1)，过点P 且平行于直线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明：FM =λFQ -．
(命题人：南头中学 万秉生 审题人：区教研室 罗诚)
广东省北大附中深圳南山分校高三上学期期末试题
高三数学(文科) 参考答案及评分标准 .1.13
一、题 号 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A
A
C
B
C
D
C
A
B
D
二、11、5； 12、4 ； 13、sinx ； 14、2； 15、4.8. 三、解答题：（80＇）
16.解：(Ⅰ)∵
4
sin x
5
=，
π
x[π]
2
∈，，∴
3
cos x
5
=-，……2分
又
31
f(x)=sinx+cosx)2cosx
22
-……3分
=3sinx cosx
-，……4分
∴
43
f(x)=3
55
. ……6分
(Ⅱ)
π
f(x)=3sinx cosx=2sin(x)
6
--，……8分
∴
2π
T==2π
|ω|
，……10分
∵x∈R，∴
π
22sin(x)2
6
-≤-≤，……11分
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．……12分
17.解：用(B，C)表示将一枚骰子先后掷两次出现的点数(B是第一次出现的点数，C是第二次出现的点数)，则将一枚骰子先后掷两次出现的点数的情况共有下列36种：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，……，……，……，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，……4分
(Ⅰ)要使方程x2+Bx+C=0有实数根，当且仅当△=B2－4C≥0. ……5分
在上述36种基本情况中，适合B2－4C≥0的情况有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，……7分
共计19种，所以该方程有实根的概率为19
36
. ……8分
(Ⅱ)当－2是该方程的根时，有(－2)2+B(－2)+C=0，
，即2B=C+4. ……9分
在上述36种基本情况中，适合2B=C+4的情况只有
(3，2)，(4，4)，(5，6)，……10分
∴
31
p==
3612
，……11分
所以－2是该方程的一个根的概率为
1
12
. ……12分
(注：用数表等其他形式列出基本事件一样给分) 18.(Ⅰ)证明：∵AB//A1B1，AB=A1B1，
A1B1// D1C1，A1B1= D1C1，
∴AB// D1C1，AB=D1C1，……1分
∴AB C1 D1为平行四边形，……2分
∴B C1 // AD1，……3分
又B C1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，……4分所以BC1//平面ACD1. ……5分
D C
B
A1
E
A
B1
C1 D1
(Ⅱ) 证明：∵ AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊂平面AA 1D 1D ， ∴ A 1D ⊥AE ， ……6分
AA 1D 1D 为正方形，∴A 1D ⊥A D 1 ， ……7分 又A 1D∩AE =A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ， ……9分 A 1D ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ， ……10分 (Ⅲ) 解：设点E 到面 ACD 1的距离为h ， 在△ACD 1中，1AC =CD =51AD =2 ……11分
故1ΔACD 113S =
25=222-，而ΔACE 11
S =AE BC =22
⨯⨯， ……12分 ∴11D -AEC ΔAEC 1ΔACD 11
V =
S DD =S h 33
⨯⨯， ……13分 即 131=h 22⨯⨯，从而1
h =3
，
所以点E 到面 ACD 1的距离为1
3
． ……14分
19.解：32
1a +1f(x)=x x +bx +a 32
-，f ′ (x)=x 2－(a+1)x+b ， ……1分
由f ′ (0)=0得 b=0，f ′ (x)=x(x －a －1). ……3分
(Ⅰ)当a=1时, 32
1f(x)=x x +13
-，f ′ (x)=x(x －2)，f(3)=1，f ′ (3)=3. ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y －1=3(x －3)， ……6分 即3x －y －8=0. ……7分 (Ⅱ)存在，使x<0得f ′ (x)=x(x －a －1)=－9，
999
a 1=x =(x)+()2(x)()=6x x x
----
--≥-⨯-，a≤－7， ……10分 当且仅当x=－3时，a=－7． ……12分
所以a 的最大值为－7． ……14分 (Ⅱ)另解：由题意“存在x<0，使得f ′ (x)=x(x －a －1)=－9”有 方程x 2－(a+1)x+9=0有负数根． ……8分
又因为两根之积等于9>0，所以两根均为负数． ……10分 则2
a +1<0
Δ=(a +1)4190
⎧⎨
-⨯⨯≥⎩ ……12分 解得a≤－7， ……13分
所以a 的最大值为7-． ……14分
20.解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 1=－1，S 12=186， ∴ 1211211
122
S a d ⨯=+
， ……2分 即 186=－12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分
所以数列{a n }的通项公式 a n =－1+(n －1)×3=3n －4. ……7分 (Ⅱ)∵n a
n 1
b =()2
，a n =3n －4，∴3n 4
n 1b =()2
-. ……8分
∵ 当n≥2时，
3n n 1b 11
=()=b 28
-， ……9分 ∴ 数列{b n }是等比数列，首项1
11
b ()
22
-==，公比1
q 8
=. ……10分
∴n n n 12[1()]
1618T =
=[1()]17818-⨯--. ……12分 ∵10<<18，∴n *
10<()<1(n N )8∈，
∴n *
11()<1(n N )8-∈. ……13分
所以n n 16116
T =[1()]<787
⨯-. ……14分
(Ⅰ)解：由题意，可知椭圆的方程为22
2x y +
=1 (a >2)a 2
. ……1分 由已知得222
a c =2a c =2(c)
c ⎧-⎪
⎨-⎪⎩
……2分 解得a 6=c=2， ……3分
所以椭圆的方程为22
x y +=1 62
，离心率6e =3. ……5分
(Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ 的方程为y=k(x －3).
联立方程组22
x y +=1
62
y =k(x 3)⎧⎪⎨⎪-⎩
，得(3k 2+1)x 2－18k 2x+27k 2－6=0， ……6分 依题意△=12(2－3k 2)>0，得66<k <. ……7分 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则
212218k x +x =3k +1， ① 2122
27k 6
x x =3k +1
-． ② ……8分 由直线PQ 的方程得为y 1=k(x 1－3)，y 2=k(x 2－3)，于是，
y 1y 2=k 2(x 1－3) (x 2－3)= k 2[x 1x 2－3(x 1+ x 2)+9]. ③
∵OP OQ =0⋅，∴x 1x 2+y 1y 2=0． ④ ……9分 由①②③④得5k 2=1，从而566k =()533
±
-，．
所以直线PQ 的方程为x 5y 3=0--或x 5y 3=0-． ……10分 (Ⅲ)证明：∵P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， A(3，0)，
∴11AP =(x 3,y )-，22AQ =(x 3y )-，．由已知得方程组
121
22211
22
22x 3=λ(x 3)y =λy
x y +=16
2x y +=1
6
2--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，注意λ>1，解得2
5λ1x =2λ-， ……12分 因为F(2，0)， M(x 1，－y 1)，故
1121FM =(x 2,y )=(λ(x 3)+1,y )----121λλ1
=(y )=λ(y )22λ
----，，. ……13分 而222λ1
FQ =(x 2y )=(y )2λ
--，，，所以FM =λFQ -. ……14分。