第七章 正交试验设计与分析

例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳
定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。 A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因 素是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度， 设C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各
因素的水平之间全部可能组合有27种 。
1.3.2 正交表的基本性质
1.3.2.1 正交性 （1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次 。
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（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组 合都出现，且出现的次数相等
（2） 选因素、定水平，列因素水平表
根据专业知识、以往的研究结论和经验，从影响试验指标的
诸多因素中，通过因果分析筛选出需要考察的试验因素。一般确
定试验因素时，应以对试验指标影响大的因素、尚未考察过的因
素、尚未完全掌握其规律的因素为先。试验因素选定后，根据所
掌握的信息资料和相关知识，确定每个因素的水平，一般以2-4
素自由度+交互作用自由度+误差自由度。
此例有4个3水平因素，可以选用L9(34)或
L27(313) ；因本试验仅考察四个因素对液化率的影
响效果，不考察因素间的交互作用，故宜选用 L 9
（ 3 4 ）正交表。若要考察交互作用，则应选用
4-3 因素水平表
试验因素
水平
加水量 （mL/100g） A
10 50 90
加酶量 （mL/100g） B
1 4 7
酶解温度 （℃） C
20 35 50
酶解时间 （h） D
1.5 2.5 3.5
1 2 3
（3） 选择合适的正交表
正交表的选择是正交试验设计的首要问题。确定了因 素及其水平后，根据因素、水平及需要考察的交互作用 的多少来选择合适的正交表。正交表的选择原则是在能 够安排下试验因素和交互作用的前提下，尽可能选用较 小的正交表，以减少试验次数。 一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水 平数；因素个数（包括交互作用）应不大于正交表的列 数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表
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整齐可比是指每一个因素的各水平间
具有可比性。因为正交表中每一因素的任 一水平下都均衡地包含着另外因素的各个 水平，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、 A3条件下各有B、C的3个不同水平，即：
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了 B 、 C 因素的 3 个水平，虽然搭配方式不同，但 B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平 时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不 同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平 间具有综合可比性。同样， B 、 C 因素 3 个水平 间亦具有综合可比性。
试验结果极差分析 计 算 K 值
试验结果方差分析
绘 制 因 素 指 标 趋 势 图
计 算 k 值
计 算 极 差 R
计算各列偏差平方和、 自由度 列方差分析表， 进行F 检验 分析检验结果， 写出结论
优水平 优组合
因素主次顺序
结 论
实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺 制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最 佳工艺条件。
对于多因素试验，正交试验设计是简 单常用的一种试验设计方法，其设计基 本程序如图所示。正交试验设计的基本 程序包括试验方案设计及试验结果分析 两部分。
试验目的与要求
试验方案设计：
试验指标
选因素、定水平 因素、水平确定 选择合适正交表 表头设计 列试验方案 试验结果分析
试验结果分析：
进行试验，记录试验结果
个水平为宜。对主要考察的试验因素，可以多取水平，但不宜过
多（≤6），否则试验次数骤增。因素的水平间距，应根据专业
知识和已有的资料，尽可能把水平值取在理想区域。
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对本试验分析，影响山楂液化率的因素很多， 如山楂品种、山楂果肉的破碎度、果肉加水量、原 料pH 值、果胶酶种类、加酶量、酶解温度、酶解 时间等等。经全面考虑，最后确定果肉加水量、加 酶量、酶解温度和酶解时间为本试验的试验因素， 分别记作A、B、C和D，进行四因素正交试验，各 因素均取三个水平，因素水平表见表4-3所示。
组合，因而很受实际工作者青睐。
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如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用， 可利用正交表 L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组 合，就能反映试验方案包含 27个水平组合的全面试验 的情况，找出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理
在试验安排中，每个因素在研究的范围内选几个水 平，就好比在选优区内打上网格，如果网上的每个点 都做试验，就是全面试验。如上例中，3个因素的选优 区可以用一个立方体表示（图4-1），3个因素各取3个 水平，把立方体划分成27个格点，反映在图4-1上就是 立方体内的27个“.”。若27个网格点都试验，就是全 面试验，其试验方案如表4-1所示。
在立方体的每条线上也恰有一个试验点。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的
代表性，能够比较全面地反映选优区内的基本情况。
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1.3 正交表及其基本性质
1.3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正交
表，因此，我们先对正交表作一介绍。
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表4-2是一张正交表，记号为L8(27)，其中“L”代
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1.3.2.2 代表性
一方面：（1）任一列的各水平都出现，使得部分 试验中包括了所有因素的所有水平； （2）任两列的所有水平组合都出现，使任意两因 素间的试验组合为全面试验。 另一方面：由于正交表的正交性，正交试验的试 验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强 的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全 面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
1.3.2.3 综合可比性
（1）任一列的各水平出现的次数相等；（2）任 两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因 素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因 素各水平的效果中，最大限度地排除了其他因素 的干扰。从而可以综合比较该因素不同水平对试 验指标的影响情况。
据以上特性，我们用正交表安排的试验， 具有均衡分散和整齐可比的特点。 所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的 各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均 匀的。由图4-1可以看出，在立方体中，任一 平面内都包含3个“(· )”，任一直线上都包含 1个“(· )”，因此，这些点代表性强，能够较 好地反映全面试验的情况。
的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用
的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重 复正交试验来估计试验误差。
等水平正交表 La（bc）
因素个数，列数 正交设计
La（bc）
试验总次数，行数 因素水平数
正交表选择依据：
列：正交表的列数c≥因素所占列数+交
互作用所占列数+空列。
自由度：正交表的总自由度（a-1）≥因
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上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因
素的各个水平在试验中各搭配一次。对于A、B、C3
个因素来说，是在27个全面试验点中选择9个试验点， 仅是全面试验的三分之一。 从图4-1中可以看到，9个试验点在选优区中分布是 均衡的，在立方体的每个平面上，都恰是3个试验点；
图四 图 4 -1 10-1
3因素3水平的全面试验水平组合数为33=27，4因素 3水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素3水平的 全面试验水平组合数为35=243，这在科学试验中是有 可能做不到的。
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表4-1
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正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中
全面试验：可以分析各因素的效应 ，交互作用，也可 选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多， 工作量大 ，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则 可利用
正交表来设计安排试验。
正交试验设计的基本特点是:用部分试验来 代替全面试验,通过对部分试验结果的分析，了 解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试 验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、 交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可 能出现交互作用的混杂。虽然正交试验设计有 上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平
例如L8(27)中(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)各出现两次；
L9(34) 中 (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一 因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两 列各个数字之间的搭配是均匀的。
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正交表的三个基本性质中，正交 性是核心，是基础，代表性和综 合可比性是正交性的必然结果.
1.4
正交表的类别
1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称为
等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的 水平为2，称为2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列 水平为3，称为3水平正交表。
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1 正交试验设计的概念及原理
1.1 正交试验设计的基本概念
正交试验设计是利用正交表来安排与分 析多因素试验的一种设计方法。它是由试 验因素的全部水平组合中，挑选部分有代
表性的水平组合进行试验的，通过对这部
分试验结果的分析了解全面试验的情况，
找出最优的水平组合。
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2、混合水平正交表 各列水平数不完全相同的正
交表称为混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列的
水平数为 4 ，有 4 列水平数为 2 。也就是说该表可以安
排一个4水平因素和4个2水平因素。再如L16(44×23)， L16(4×212)等都混合水平正交表。
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2
正交试验设计的基本程序
第四章 正交试验设计
对于单因素或两因素试验，因其因素少，试 验的设计、实施与分析都比较简单。但在实际 工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试 验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很 大，往往因试验条件的限制而难于实施。正交 试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平 组合的一种高效率试验设计方法。
表正交表；L右下角的数字“8”表示有8行，用这张 正交表安排试验包含8个处理(水平组合)；括号内的底 数“2” 表示因素的水平数，括号内2的指数“7”表 示有7列，用这张正交表最多可以安排7个2水平因素。
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表4-2
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常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行正 交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、 L 16 (2 15 ) 等； 3 水平正交表有 L 9 (3 4 ) 、 L 27 (3 13 ) …… 等 （详见附表6及有关参考书）。
挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试
验。图 4-1中标有试验号的九个“ (· ) ”，就是利用正
交表 L 9 (3 4 ) 从 27 个试验点中挑选出来的 9 个试验点。 即 (1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
2.1 试验方案设计
（1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解 对本试验而言，试验目的是为了提高山楂原料的 决什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量， 利用率。所以可以以液化率{液化率=[(果肉重量即需要确定出试验指标。试验指标可为定量指标，如 液化后残渣重量)/果肉重量]×100%}为试验指 强度、硬度、产量、出品率、成本等；也可为定性指 标，来评价液化工艺条件的好坏。液化率越高，山 标如颜色、口感、光泽等。一般为了便于试验结果的 分析，定性指标可按相关的标准打分或模糊数学处理 楂原料利用率就越高。 进行数量化，将定性指标定量化。