人教版高中数学必修第二册第三单元《立体几何初步》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（ ）
A ．10
B ．1025+
C ．1625+
D ．1325+
2．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）
A ．[2,3]
B ．5,22⎡⎤
⎢⎥⎣ C ．325,42⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦ D ．51,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）
A ．1//BD GH
B ．//BD EF
C ．平面//EFGH 平面ABC
D D ．平面//EFGH 平面11A BCD
4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面
11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）
A ．,,A M O 三点共线
B ．1,,,A M O A 不共面
C ．,,,A M C O 不共面
D ．1,,,B B O M 共面
5．直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点在球O 的球面上.若3AB =，4AC =.AB AC ⊥，
112AA =，则球O 的表面积为（ ）
A ．
1694
π
B ．169π
C ．288π
D ．676π
6．三棱锥A －BCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．
13
B ．
24
C ．
33
D ．
23
7．3P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（ ） A 77
B 287
C 1919
D 7619
8．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）
A ．[17,5]
B ．[4,5]
C ．[3,5]
D ．[3,17]
9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，Q 为棱1AA 的中点，P 为棱1CC 的动点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，直线n 为平面ABCD 与平面11B D Q 的交线，下列结论中错误的是( )
A ．//m 平面11
B D Q
B ．平面PBD 与平面11B D P 不垂直
C ．平面PB
D 与平面11B D Q 可能平行 D ．直线m 与直线n 可能不平行 10．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
11．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A ．
34
17
B ．
234
17
C ．
517
17
D ．
317
17
12．下列命题中正确的个数有（ ）个 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线
②依次首位相接的四条线段必共面
③若点,,,A B C D 共面，点,,,A B C E 共面，则点,,,,A B C D E 共面 ④若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
13．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是
( ) A ．1 B ．2 C ．1或7
D ．2或6
14．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球的球面上，且侧棱长都相等，高为4，底面是边长为32的正方形，则该球的表面积为（ ） A ．
75518
π
B ．
62516
π
C ．36π
D ．34π
二、解答题
15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==
，
2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11
A C 于点M 、F 、N ．
（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．
（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为
1
3
（请说明理由）． 16．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ＝5AB ＝2，∠BAC ＝60°.
（1）求三棱锥A 1－ABC 的表面积；
（2）证明：在线段A 1C 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求1A M
MC
的值. 17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233
AB =，12
A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C
B 的中点.
（1）证明：//EF 平面ABC ；
（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.
18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.
（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；
（2）若点E 为11B C 的中点，求证：平面1//A EB 平面1ADC .
19．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，平面11AA C C ⊥平面ABC ，
1
60AAC ∠=︒，点D 为线段AC 的中点，点E 在线段AB 上.
（1）求证：平面1A DE ⊥平面ABC ； （2）若2AB =，求点C 到平面1ABC 的距离.
20．如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
90//22ADE AF DE DE DA AF ∠====，，.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求证：//AC 平面BEF ；
（3）若AC 与BD 相交于点O ，求四面体BOEF 的体积.
21．如图1，矩形ABCD ，1,2,AB BC ==点E 为AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM .
（1）求证：2MP DM =； （2）求二面角B PE C --的大小；
（3）若在棱,PB PE 分别取中点,F G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由. 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．
求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．
23．如图，在梯形ABCD 中，//BC AD ，E 在AD 上，且2BC BE ED ===．沿BE 将ABE △折起，使得AB
CE ．
（1）证明：AD CE ⊥；
（2）若在梯形ABCD 中，π3
ADC ∠=
，折起后π
3ABD ∠=，点A 在平面BCDE 内的射
影H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），求三棱锥D ABC -的体积．
24．如图，ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，1ED =，//EF BD .
（1）设EF BD λ=，是否存在实数λ，使//BF 平面ACE ； （2）证明：平面EAC ⊥平面BDEF ；
（3）当1
2
EF BD =
时，求几何体ABCDEF 的体积. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PB PA ⊥，PB PA =，
90DAB ABC ∠=∠=，435AB BC CD ===，，，M 是PA 的中点.
（1）求证：BM //平面PCD ； （2）求三棱锥B CDM -的体积.
26．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形,,60,PA PD BAD E =∠=是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．
（1）求证：AD ⊥平面PBE ；
（2）若Q 是PC 的中点，求证：//PA 平面BDQ ； （3）若2P BCDE Q ABCD V V --=，试求
CP
CQ
的值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出
该几何体的侧面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示
2211125AD A D ==+=
∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.
2．C
解析：C 【分析】
分别取111,BB B C 的中点,N M ,可得平面1//A MN 平面AEF ，从而点P 的轨迹为线段
MN ，然后计算出线段1A P 的范围.
【详解】
分别取111,BB B C 的中点,N M ,
则1//A M AE ,1A M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，则1//A M 平面AEF .
//EF NM ,MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则//MN 平面AEF
又1MN A M M ⋂=,所以平面1//A MN 平面AEF 又平面1A MN ⋂面11BCC B MN = 所以点P 的轨迹为线段MN
当P 为线段MN 的端点M （或N ）时，1A P 最长，此时
112
211152P M A B A BB A ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
当P 为线段MN 的中点时，1A P 最短，此时2
2
1113224P A N MN A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
所以32542AP ⎡∈⎢
⎣⎦
，
故选：C ．
【点睛】
本题考查利用向量法解决线面平面的探索问题，本题也可以构造面面平面得出动点的轨迹，从而求解，属于中档题.
3．D
解析：D 【分析】
根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性. 【详解】
选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的； 选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的； 选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ， 而直线1A B 与平面ABCD 相交， 故直线EF 与平面ABCD 也相交，
故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的； 选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，
EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，
EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,
所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ， 而EF
EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.
故本选：D
【点睛】
本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.
4．A
解析：A
【分析】
连接11,A C AC ，利用两个平面的公共点在一条直线上可判断点共线.
【详解】
连接11,A C AC ，则11//A C AC ，
11,,,A C C A ∴四点共面，
1A C ∴⊂平面11ACC A ，
1M AC ∈，M ∴∈平面11ACC A ，
M ∈平面11AB D ，
∴点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，
同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，
,,A M O ∴三点共线，故A 正确；
,,A M O 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，
1,,,A M O A ∴四点共面，,,,A M C O 四点共面，故B ，C 错误；
1BB 平面11AB D ，OM ⊂平面11AB D ，1B ∈平面11AB D 且1B OM ，
1BB ∴和OM 是异面直线，
1,,,B B O M ∴四点不共面，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查空间中点的共线问题，此类题一般证明这些点同在两个不同的平面内，根据两平面的公共点在一条直线上即可判断.
5．B
解析：B
【分析】
由于直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为直角三角形，我们可以把直三棱柱
111ABC A B C -补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.
【详解】
解：将直三棱柱补形为长方体1111ABEC A B E C -，则球O 是长方体1111ABEC A B E C -的外接球.所以体对角线1BC 的长为球O 的直径.因此球O 的外接圆直径为2222341213R =++=，故球O 的表面积24169R ππ=.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.
6．D
解析：D
【分析】
连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，得出BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角，根据长度关系求出BMO ∠（或其补角）的余弦值即可.
【详解】
连接DN ，取DN 的中点O ，连接MO ，BO ，
∵M 是AD 的中点，
∴MO ∥AN ，
∴BMO ∠（或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角.
设三棱锥A －BCD 的所有棱长为2，
则2213AN BM DN ===-
则131222MO AN NO DN ====， 则223714BO BN NO =+=+=， 在BMO ∠中，由余弦定理得
222373244cos 233232
BM MO BO BMO BM MO +-+-∠===⋅⨯⨯， ∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为23
. 【点睛】
本题主要考查异面直线的夹角，解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，属于中档题.
7．B
解析：B
【分析】
根据三棱锥的体积求出S △ABC ＝33，在三角形ABC 中，根据余弦定理和正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r 的最小值，从而可求出外接球半径的最小值和外接球体积的最小值.
【详解】
设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得3＝
13×S △ABC ×2，解得S △ABC ＝33. 因为∠ABC ＝120°，S △ABC ＝332
＝12ac sin 120°，所以ac ＝6， 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min ＝32.
设△ABC 外接圆的半径为r ，则sin120
b ＝2r (b 最小，则外接圆半径最小)，故3232
＝2r min ，所以r min ＝6. 如图，设O 1为△ABC 外接圆的圆心，D 为PA 的中点，R 为球的半径，连接O 1A ，O 1O ，OA ，OD ，PO ，易得OO 1＝1，R 2＝r 2＋OO ＝r 2＋1，当r min 6时，2
min R ＝6＋1＝7，R min 7
故球O 体积的最小值为
43π3min R ＝437)3287. 故选：B
【点睛】 本题考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，考查了正弦定理，考查了余弦定理，属于中档题.
8．A
解析：A
【分析】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，证明平面//CMN 平面1C EF 后即可得P ∈线段EF ，找到取最值的情况求解即可得解.
【详解】
取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，
由//EF MN ，1//C E CM ，1EF C E E =可得平面//CMN 平面1C EF ， P 是侧面四边形
11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，
∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值1C O ，
当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值1C E 或1C F ，
在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，
点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点， ∴221max 11345C P C E C F ===+=，42EF =
2221min 1125(22)17C P C O C E EO ==-=-=.
∴线段1C P 长度的取值范围是17,5].
故选：A.
【点睛】
本题考查了长方体的特征及面面平行的性质与判定，考查了空间思维能力，属于中档题. 9．D
解析：D
【分析】
在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//BD B D ，根据线面平行的判定定理和性质定理可得11////m BD B D ，可判断选项A 结论；分别取11,BD B D 中点1,O O ，连1,OP O P ，则1OPO ∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，判断1OPO ∠是否为直角，即可判断选项B 的结论；若P 为1CC 中点时，可证平面PBD 与平面11B D Q 平行，即可判断选项C 的结论；根据面面平行的性质定理可得11//n B D ，即可判断选项D 的结论.
【详解】
在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BB D D 为矩形，
11//,BD B D BD ∴⊂平面PBD ，11B D ⊄平面PBD ，
11//B D 平面PBD ，11B D ⊂平面11B D P ，
平面BDP 与平面1111////P B D m m B D BD =∴，
选项A ，11//,m B D m ⊄平面11B D Q ，11B D ⊂平面11B D Q ，
//m 平面11B D Q ，选项A 结论正确；
选项B ，分别取11,BD B D 中点1,O O ，连11,,OP O P OO ，
设正方体的边长为2，设CP h =， 则22114,4(2)BP DP h B P D P h ==+==+-，
,PO BD PO m ∴⊥⊥，同理1PO m ⊥，
1OPO ∴∠为平面PBD 与平面11B D P 的平面角，
在1OO P △中，22222112,2(2),4OP h O P h OO =+=+-=，
22211OP O P OO +>，1OPO ∴∠不是直角，
所以平面PBD 与平面11B D P 不垂直，选项B 结论正确；
选项C ，若P 为1CC 中点，取1BB 中点E 连1,C E QE ，
则1//C E BP ，又Q 为棱1AA 的中点，
1111//,QE C D QE C D ∴=，四边形11C D QE 为平行四边形，
1111//,//,D Q C E D Q BP D Q ∴∴⊄面PBD ，BP ⊂平面PBD ，
1//D Q ∴平面PBD ，同理11//B D 平面PBD ，
1111111,,B D D Q D B D D Q =⊂平面11B D Q ，
∴平面//PBD 平面11B D Q ，选项C 结论正确；
选项D ，在正方体中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，
平面ABCD 平面11B D Q n =，平面1111A B C D 平面1111B Q D B D =
11//,//n B D n m ∴∴，选项D 结论不正确.
故选：D .
【点睛】
本题考查空间线、面位置关系，涉及到线线平行、线面平行、面面平行、面面垂直的判定，掌握平行、垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，属于中档题.
10．D
解析：D
【分析】
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，
//m α，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.
即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．
11．D
解析：D
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.
【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1222
HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯， 则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅3172317
==⨯⨯. 故选：D
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
12．A
解析：A
【分析】
假设存在三点共线，则四个点必共面，可判断①；借助空间四边形可判断②；当A ，B ，C 共线时，可判断③；由共面不具有传递性可判断④
【详解】
①正确，可以用反证法证明，假设存在三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；
②不正确，例如空间四边形的四个顶点就不共面；
③不正确，A ，B ，C 共线时，这两平面有三个公共点A ，B ，C ；
④不正确，共面不具有传递性，若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 可能异面.
【点睛】
本题考查了空间中点线面的位置关系判断，考查了学生综合分析，空间想象，逻辑推理能力，属于中档题
13．C
解析：C
【分析】
求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.
【详解】
设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.
∴球心到两个截面的距离分别为124,3d d ====.
当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=；
当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=.
故选：C .
【点睛】
本题考查球的截面间的距离，属于基础题.
14．B
解析：B
【分析】
如图所示，设四棱锥P ABCD -中，球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O ，可得OP ⊥底面ABCD ．3AO '=，4PO '=，在Rt AOO ∆'中，利用勾股定理解得R ，即可得出球的表面积．
【详解】
如图所示，设球的半径为R ，底面中心为O '且球心为O .
∵四棱锥P ABCD -中，
AB =
∴3AO '=.
∵4PO '=，
∴Rt AOO ∆'中，|4|OO R '=-，222AO AO OO ''=+，
∴2223(4)R R =+-，解得258
R =， ∴该球的表面积为222562544816R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：B .
【点睛】
本题考查几何体的外接球问题，此类问题常常构造直角三角形利用勾股定理进行求解，属于中等题.
二、解答题
15．（1）证明见解析（2）1
223
AQ =,理由见解析 【分析】
（1）先根据直线与平面垂直的判定定理证明BC ⊥平面1AA ED ，再根据平面与平面垂直的判定定理证明平面BCNM ⊥平面1AA ED ；
（2）连DF ，可推得1A Q 与DF 平行且相等，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23
，连FH ，可推得HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，利用正弦值可求得DF 的值，即可得1A Q 的值.
【详解】
（1）因为AB AC =，BD DC =，所以BC AD ⊥，
又D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，所以1//DE BB ，
因为侧面11BCC B 为矩形，所以1BC BB ⊥，所以BC DE ⊥，
又AD DE D ⋂=，所以BC ⊥平面1AA ED ，
因为BC ⊂平面BCNM ，所以平面BCNM ⊥平面1AA ED .
（2）因为2AB AC ==2BC =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，
又D 为BC 的中点，112
AD BC ==，因为3AD AQ =，所以13AQ =，23QD =， 连接DF ，因为1
//AQ 平面BCNM ，平面1A ADE 平面BCNM DF =， 所以1//A Q DF ，因为1A A 与1B B 平行且相等，1B B 与DE 平行且相等，
所以1A A 与DE 平行且相等， 所以四边形1A ADE 为平行边形，所以1A F 与QD 平行且相等，
所以四边形1A QDF 为平行四边形，所以1A Q 与DF 平行且相等，因为123A F QD ==，所以13EF =，所以2233
FM BD ==， 在线段BD 上取点H ，使BH FM ==
23，则21133DH =-=，连FH ，则四边形FMBH 为平行四边形，
所以FH 与BM 平行且相等，因为BD ⊥平面1AA ED ，所以HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角，所以1sin 3HFD ∠=，即13DH HF =，所以31HF DH ==， 所以2212219DF FH DH =
-=-=122A Q DF ==. 【点睛】 关键点点睛：（1）证明面面垂直的关键是找到线面垂直，利用直线与平面垂直的判定定理可证BC ⊥平面1AA ED ；
（2）解题关键是找到直线BM 与平面1AA ED 所成角，通过计算可知，在线段BD 上取点H ，使BH FM ==23
，连FH ，则HFD ∠为直线BM 与平面1AA ED 所成角. 16．（1）6+23+26；（2）证明见解析；
13. 【分析】
（1）可先证明1A B ⊂平面1A AB 得出1BC A B ⊥，即可求出三棱锥A 1－ABC 各个面的面积，得出表面积；
（2）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ，过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，即可得出.
【详解】
（1）2,4,=60=23AB AC BAC BC BC AB ==∠∴∴⊥，，，
1A A ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，1BC AA ∴⊥，
1A A AB A =，BC ∴⊥平面1A AB ，
1A B ⊂平面1A AB ，1BC A B ∴⊥，
112223262
A BC S ∴=⨯⨯=， 1=232ABC S A
B B
C ∴⋅⋅=，111==22
A A
B S A A AB ⋅，111=42
A AC S A A AC =⋅， 则表面积=6+23+26S ； （2）证明：在平面ABC 内，过点
B 作BN A
C ⊥，垂足为N ，
过N 作1//MN A A 交1A A 于M ，连接BM ，
1A A ⊥AC ，1//MN A A ，AC MN ∴⊥，
MN BN N =，∴AC ⊥平面MBN .
又BM ⊂平面MBN ，∴AC BM ⊥.
在直角BAN 中，cos 1, 3.=∠==-=AN AB BAC NC AC AN
111//.3
，∴
==A M AN MN A A MC NC 【点睛】 本题考查三棱柱表面积的求解，解题的关键是得出1BC A B ⊥以便求出各个面的面积，考查点的存在性问题，解题关键是正确利用线面垂直关系作出辅助线.
17．（1）证明见解析；（233.
【分析】
（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，易得四边形AEFG 是平行四边形，从而//EF AG ，然后利用线面平行的判定定理证明.
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得1BC 的坐标和平面BDE 的一个法向量(),,n a b c =，再由111sin cos ,n BC n BC n BC θ⋅=<>=
⋅求解.
【详解】
（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG .
在1BCC 中，因为F 为1C B 的中点，
所以1//FG C C ，112
FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，11//A A C C ，11A A C C =，且E 为1A A 的中点，
所以//FG EA ，FG EA =.
所以四边形AEFG 是平行四边形.
所以//EF AG .
因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，
所以//EF 平面ABC .
（2）以D 为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，
因为23AB =1BD =,
所以()0,0,0D ，()0,1,0B
，1C ⎫⎪⎝⎭
，E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 所以131,2BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
()0,1,0DB =，DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 设平面BDE 的一个法向量为(),,n a b c =，
则00DB n DE n ⎧⋅=
⎨⋅=⎩，即003b a c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩
, 取3a =，则1c =，
所以(3,0,1)n =，
所以1111cos ,||||4n BC n BC n BC ⋅<>===， 直线1C B 与平面BDE 所成角为θ，则θ与1,n BC <>或它的补角互余， 所以1
1133sin cos ,8n BC n BC n BC θ⋅=<>=
=⋅. 【点睛】
方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由正三棱柱，CC 1⊥平面ABC ，得AD ⊥CC 1又已知AD ⊥C 1D ，利用线面垂直的判定定理得到结论．
（2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，推导出OD //A 1B ，由点E 是B 1C 1的中点，可得BD //EC 1，且BD =EC 1，即BE //DC 1，由BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，即可证明平面A 1EB //平面ADC 1．
【详解】
（1）在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ，AD ⊆平面ABC ，∴AD ⊥CC 1．
又AD ⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1，且CC 1和C 1D 都在面BCC 1B 1内，∴AD ⊥平面BCC 1B 1． （2）连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 在棱BC 上，AD ⊥C 1D ，且AD ⊂平面C 1AD ，
∴平面C 1AD ⊥平面B 1BCC 1，∴D 是BC 中点，O 是A 1C 中点，∴OD //A 1B ，
∵点E 是B 1C 1的中点，D 是BC 中点，∴BD //EC 1，且BD =EC 1，
∴四边形BDEC 1 为平行四边形，BE //DC 1，∵BE ∩A 1B ＝B ，DC 1∩OD ＝D ，
且A 1B ，BE ⊂平面A 1EB ，DC 1，OD ⊂平面ADC 1，∴平面A 1EB //平面ADC 1．
【点睛】
方法点睛：
（1）证线面垂直的常用方法：判定定理，向量法，面面垂直的性质定理；
（2）证面面平行的常用方法：判定定理，向量法，面面平行的性质定理.
19．（1）证明见解析；（2239 【分析】
（1）根据题意可得1A D AC ⊥，由面面垂直的性质定理可得1A D ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，利用等体积法11113
C ABC A ABC ABC V V S A
D --∴==⋅△，即可求出点C 到平面1ABC 的距离. 【详解】
（1）证明：1AA AC =，1
60AAC ∠=︒， 1ACA ∴△是等边三角形， D 为线段AC 的中点，
1A D AC ∴⊥，
平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，
1A D ∴⊥平面ABC ，
1A D ⊂平面1A DE ，
∴平面1A DE ⊥平面ABC ；
（2）解：过点1C 作1C F AC ⊥的延长线于点F ，连接BF ，
可得1C F ⊥平面ABC ，且13C F =
11113
C ABC A ABC ABC V V S A
D --∴==⋅△ 1132231322
=⨯⨯⨯⨯=， 在1ABC 中，2AB =，()2222113323C F AF AC +=+==
21122221BF C F BD DF C F BC +=++=()()
22232310=++= 22
212102310cos 2210ABC +-∠∠==⨯⨯
1390sin ABC ∴∠= 1390392102202
ABC S ∴=⨯=△. 记点C 到平面1ABC 的距离为h ，则1
13ABC S h ⋅⋅=△，解得239h =， 即点C 到平面1ABC 239 【点睛】 关键点点睛：本题考查了面面垂直的证明、求点到面的距离，解题的关键“等体积法”解题方法的应用，考查了计算能力.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【分析】 （1）证明DE AC ⊥，AC BD ⊥，AC ⊥平面BDE 即得证；
（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ，证明//AO 平面BEF ，即证//AC 平面BEF ；
（3）先求出四面体BDEF 的体积43V =
，再根据12
BOEF BDEF V V =求解. 【详解】
（1）证明：平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=︒， DE ∴⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥．
ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，
因为,BD DE ⊂平面BDE ,BD DE D ⋂=,
AC ∴⊥平面BDE .
（2）证明：
设AC BD O =，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， OG 为BDE 的中位线
1//2
OG DE ∴ //AF DE ，2DE AF =，//AF OG ∴，
∴四边形AFGO 是平行四边形，
//FG AO ∴．
FG ⊂平面BEF ，AO ⊂/平面BEF ，
//AO ∴平面BEF ，即//AC 平面BEF ．
3（）平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，
AB ∴⊥平面.ADEF 因为//9022AF DE ADE DE DA AF ∠=︒===，，，
DEF ∴的面积为122
DEF S ED AD =⨯⨯=， ∴四面体BDEF 的体积1433
DEF V S AB =⋅⨯=
又因为O 是BD 中点，所以1223BOEF BDEF V V == 2.3
BOEF V ∴= 【点睛】
方法点睛：求几何体的体积的方法：方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法.方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 21．（1）证明见解析；（2）90；（3）M ∈平面CFG ，理由见解析.
【分析】
（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，由线面平行的性质可得//PB MO ，可得
MD OD MP OB =，由//ED BC 可得12
OD ED OB BC ==，即可证明； （2）取BE 中点Q ，连接PQ ，通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ，进而可得PQ EC ⊥，再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ，即平面PBE ⊥平面PEC ，即得出结果；
（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，证明//FG CN ，可得,,,F C N G 确定平面FCNG ，判断M 是PEN △的重心，可得M ∈平面CFG .
【详解】
（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，
//PB 平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面CEM MO =，
//PB MO ∴，MD OD MP OB ∴
=， //ED BC ，12
OD ED OB BC ∴==， 12
MD MP ∴=，即2MP DM =； （2）取BE 中点Q ，连接PQ ，
PB PE =，PQ BE ∴⊥，又平面PBE ⊥平面BCDE ，PQ ∴⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，PQ EC ∴⊥， 2BE EC ==，2BC =，满足222BE EC BC +=，EC BE ∴⊥，
PQ BE Q ⋂=，EC ∴⊥平面PBE ，
EC ⊂平面PEC ，
∴平面PBE ⊥平面PEC ，
∴二面角B PE C --的大小为90；
（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，
,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，
2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，
∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，
//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ，
PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =，
M ∴是PEN △的重心，
又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，
∴M ∈平面CFG .
【点睛】
关键点睛：
（1）本问考查线段比例关系的证明，解题的关键是由平行得出比例关系，利用等量替换求解；
（2）本问考查二面角的求解，解题的关键是证明平面PBE ⊥平面PEC ，从而得出二面角为90；
（3）本问考查平面的性质，解题的关键是作出恰当的辅助线，延长ED 到N ，使ED DN =，通过//FG CN 得出,,,F C N G 确定平面FCNG ，再通过M 是PEN △的重心得出M 在GN 上.
22．（1）证明见解析； （2）证明见解析.
【分析】
（1）推导出DE //AB ，AB //A 1B 1，从而DE //A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1． （2）推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E ．
【详解】
（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，
∴DE //AB ，AB //A 1B 1，∴DE //A 1B 1，
∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，
∴A 1B 1//平面DEC 1．
（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB ＝BC ．
∴BE ⊥AC ，
∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，
∴BE ⊥AA 1，
又AA 1∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，
∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E ．
【点睛】
本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．
23．（1）证明见解析；（2）3V =
. 【分析】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ，由四边形BCDE 为菱形，可得BD EC ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明.
（2）求出四棱锥A BCDE -的高为
32
，即三棱锥A BCD -的高，再利用等体积法即可求解.
【详解】
（1）设BD 与EC 交于点O ，连接AO ．
因为BC BE ED ==，//BC DE ，所以四边形BCDE 为菱形，
所以BD EC ⊥，又AB EC ⊥，AB BD B =，所以EC ⊥平面ABD ，
因为AD ⊂平面ABD ，所以EC AD ⊥． （2）因为在菱形BCDE 中，π3EDC ∠=
，2BC BE ==， 所以2CE =，23BD =
因为H 为线段BD 的一个四等分点（靠近点B ），所以134BH BD =
=． 因为AH ⊥平面BCDE ，所以AH ⊥ BD ， 又π3ABD ∠=，所以3tan 2
AH BH ABD =∠=，所以四棱锥A BCDE -的高为32． 即三棱锥D ABC -的高为32
. 易得BCD 的面积11231322
BCD S BD OC =⋅=⨯=， 所以三棱锥D ABC -的体积133332A BCD D ABC V V --==
= 【点睛】
方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直以及求三棱锥的体积，常用方法如下：
（1）证明线线垂直的常法：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质.
（2）求体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等体积法.
24．（1）存在；（2）证明见解析；（3）2.
【分析】
（1）存在12
λ=满足题意，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，由平面几何的知识可得//BF EO ，再由线面平行的判定即可得证；
（2）由线面垂直的性质与判定可得AC ⊥平面BDEF ，再由面面垂直的判定即可得证； （3）结合（2）可得AC ⊥平面BDEF 、2ABCDEF A BDEF V V -=，再由棱锥的体积公式即可得解.
【详解】
（1）存在12λ=满足题意，理由如下：
设AC 与BD 的交点为O ，则12
DO BO BD ==，连接EO ，如图，
∵//EF BD ，当12λ=时，12
EF BD BO ==， ∴四边形EFBO 是平行四边形，∴//BF EO ，
又EO ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，∴//BF 平面ACE ；
（2）证明：ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED AC ⊥，
∵ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥，
又ED BD D =，∴AC ⊥平面BDEF ，
又AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BDEF ；
（3）∵ED ⊥平面ABCD ，∴ED BD ⊥，
又∵//EF BD 且12
EF BD =，∴BDEF 是直角梯形， 又∵ABCD 是边长为2的正方形，22BD =，2EF =
∴1222
3222
BDEF S ⨯==， 由（2）知AC ⊥平面BDEF ， ∴12322222332ABCDEF A BDEF BDEF V V S AO -==⨯⋅=
⨯=. 【点睛】
本题考查了线面平行、面面垂直的判定及几何体体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.
25．（1）证明见解析；（2）2.
【分析】
（1）取PD 中点N ，证明BMNC 为平行四边形，得到//BM NC ，从而得到//BM 平
面PCD ．
（2）对三棱锥B CDM -进行等体积转化，转化为求P BCD -的体积的一半．取AB 中点O ，连PO ，可证PO 为三棱锥P BCD -的高并求出其长度，求出BCD △的面积，得到三棱锥P BCD -的体积，即可求出三棱锥B CDM -的体积．
【详解】
证明：（1）取PD 中点N ，连接MN ，NC , MN 为PAD △的中位线，//MN AD ∴，且12MN AD =， 又//BC AD ，且12
BC AD =
，//MN BC ∴，且MN BC =， 则BMNC 为平行四边形，//BM NC ∴， 又
NC ⊂平面PCD ，MB ⊂/平面PCD ，
//BM ∴平面PCD ．
（2）取AB 中点O ，连PO ，,PB PA PO AB =∴⊥， 又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
PO ⊂平面PAB ，PO ∴⊥平面ABCD ．
PO ∴为三棱锥P BCD -的高，
PA PB =，4AB =，PB PA ⊥，
PAB ∴为等腰直角三角形，2PO =，
90DAB ABC ，//AD BC ，
1134622
BCD S BC AB =⨯⨯=⨯⨯=， M 是PA 的中点，∴三棱锥B CDM -的体积为： 11162223126P B CDM M BCD BCD BCD
V V V S PO ---==⨯=⨯=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
83
. 【分析】
（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证AD 垂直平面PBE 内两条相交直线，由
，E是AD的中点，易得AD垂直于，再由底面是菱形，
得三角形为正三角形，所以AD垂直于PA，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证PC平行于平面内一条直线，根据1h是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体
积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.
【详解】
（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．
因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以
AD⊥BE．
因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．
（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．
因为O是AC中点，
Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA．
因为PA 平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ．
（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为2h，1h，所以V P-BCDE=1
3
S BCDE2h，V Q-
ABCD=1
3
S ABCD1h．
因为V P-BCDE=2V Q-ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．所以，因为，所以．。