榆中县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

榆中县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的（）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．定义运算，例如．若已知，则
=（）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（）
A．类比推理是由特殊到一般的推理
B．演绎推理是特殊到一般的推理
C．归纳推理是个别到一般的推理
D．合情推理可以作为证明的步骤
4．对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心
5．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．或D．或
6．已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D
7．已知数列，则5是这个数列的（）
A．第12项B．第13项C．第14项D．第25项
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ）
A ．35
B ．
C ．
D ．53
10．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．34种
B ．35种
C ．120种
D ．140种
11．若函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x ，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g （x ）=log a （x+k ）的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
二、填空题
13．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
15．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，
其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．
16．过原点的直线l与函数y=的图象交于B，C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，则|+|=．
17．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．
18．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①∃m，使曲线E过坐标原点；
②对∀m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN
的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF
AC ，2AD =，
3EA ED EF ===.
（1）求证：AD BE ⊥；
（2）若5BE =，求三棱锥-F BCD 的体积.
20．（1）化简：
（2）已知tan α=3，计算 的值．
21．已知函数f （x ）=aln （x+1）+x 2﹣x ，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）若y=f （x ）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
22．已知{}{}
22
,1,3,3,31,1A a a B a a a =+-=--+,若{}3A
B =-，求实数的值.
23．已知函数f （x ）=lnx ﹣ax+（a ∈R ）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f （x ）在定义域内存在两个极值点，求a 的取值范围．
24．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．
（1）若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求m 的取值范围； （2）对于x ∈[1，3]，f （x ）＜﹣m+5恒成立，求m 的取值范围．
榆中县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：若方程y2=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．
∴“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．2．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
====．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
3．【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，
故选C．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在
∵（0，1）在圆x2+y2=2内
∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心
故选C．
5．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．6．【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，
矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，
正方形是矩形，所以C⊆B．
故选B．
7．【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令得，故选B
答案：B
8．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53
，
故选：D ．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有
种，所以既有男生又有女生的选法有﹣
=34种． 故选：A ．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
11．【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f （﹣x ）+f （x ）=0
即（k ﹣1）（a x ﹣a ﹣x
）=0
则k=1
又∵函数f （x ）=ka x
﹣a ﹣x
，（a ＞0，a ≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a ＞1
则g （x ）=log a （x+k ）=log a （x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f （﹣x ）﹣f （x ）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用.
二、填空题
13．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=
532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
. 15．【答案】
②
【解析】解：由MP ，OM 分别为角的正弦线、余弦线，如图，
∵
，
∴OM ＜0＜MP ． 故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意可得点B 和点C 关于原点对称，∴|
+|=2||，
再根据A 为抛物线x 2
=﹣8y 的焦点，可得A （0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．
17．【答案】4+．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
18．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足||•||=m（m≥4），
∴•=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；
③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；
④若P、M、N三点不共线，||+||≥2=2，所以△PMN周长的最小值为2+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为
2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确．
故答案为：①④⑤．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．
（2）在EAD △中，EA ED =，2AD =，
20．【答案】
【解析】解：（1）
=
=cos αtan α=sin α．
（2）已知tan α=3，∴
=
=
=．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
．
当a ﹣1≥0时，即a ≥1时，f'（x ）≥0，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a ＜1时，由f'（x ）=0得，，
故f （x ）在上单调递增，在
上单调递减，在
上单
调递增；
当a ＜0时，由f'（x ）=0得，，
f （x ）在
上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I ）知，0＜a ＜1，且
，
所以α+β=0，αβ=a ﹣1．
．
由0＜a ＜1得，0＜β＜1．
构造函数
．
，
设h （x ）=2（x 2+1）ln （x+1）﹣2x+x 2
，x ∈（0，1），
则
，
因为0＜x ＜1， 所以，h'（x ）＞0，
故h （x ）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
22．【答案】
2
3 a=-．
【解析】
考点：集合的运算.
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
24．【答案】
【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，
当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，
则
解得﹣4＜m＜0
综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，
即恒成立．
令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣
当m＞0时，g（x）是增函数，
所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，
解得．所以
当m=0时，﹣6＜0恒成立．
当m＜0时，g（x）是减函数．
所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，
解得m＜6．
所以m＜0．
综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．。