【2020赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题07开放型问题-原卷.doc

【2018赢在中考】数学二轮专题解读与强化训练专题
07 开放型问题
开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．
常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；
1.特点是：（1）条件多余需选择，条件不足需补充.（2）答案不固定.（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法
2.类型：（1）条件开放型；（2）结论开放型；
解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．
对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．
(一)条件开放题
条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．
（二）结论开放题
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
考向一条件开放性问题
例1．（2018年浙江省衢州市）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】全等三角形的判定．
【思路点拨】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED 可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解题过程】解：添加AB=ED，
∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AB=ED．
【名师点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
考向二结论开放性问题
例2．（2018年四川省德阳市）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．
【考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形
【思路点拨】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．
【解题过程】解：∵D是AB中点
∴AD=BD
∵△ACD是等边三角形，E是AD中点
∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°
∴CD=BD
∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB
∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=
故①③正确，②错误
∵∠DCB=30°，∠ACD=60°
∴∠ACB=90°
若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，
∴四边形PMCN是矩形
∴MN=CP
∵d12+d22=MN2=CP2
∴当CP为最小值，d12+d22的值最小
∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小
此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB
∴CP=
∴d12+d22=MN2=CP2=3
即d12+d22的最小值为3
故④正确
故答案为①③④
【名师点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．
例3.（2018年浙江省绍兴市）小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ=∠B，求证：AP=AQ．
（1）小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化；把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2．此时她证明了AE=AF，请你证明．
（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F．请你继续完成原题的证明．
（3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．
【考点】四边形综合题
【思路点拨】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF⊥CD，证明△AEB≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；
（3）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D，AB=AD，
∵∠EAF=∠B，
∴∠EAF+∠C=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵AE⊥BC，
∴AF⊥CD，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF；
（2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B，AE=AF，
∴∠EAP=∠FAQ，
在△AEP和△AFQ中，
，
∴△AEP≌△AFQ，
∴AP=AQ；
（3）解：已知：AB=4，∠B=60°，
求四边形APCQ的面积，
解：连接AC、BD交于O，
∵∠ABC=60°，BA=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴BE=EC，
同理，CF=FD，
∴四边形AECF的面积=×四边形ABCD的面积，
由（2）得，四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积，
OA=AB=2，OB=AB=2，
∴四边形ABCD的面积=×2×2×4=8，
∴四边形APCQ的面积=4．
【名师点睛】本题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
一、选择题
1.（2018年广东省深圳市）如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的
是（）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠2+∠4=180° D．∠1+∠4=180°
2.（2018年内蒙古呼和浩特市）随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明
显变化，已知前年和去的年收入分别是60000元和80000元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出的以下四个结论正确的是（）
A．①的收入去年和前年相同
B．③的收入所占比例前年的比去年的大
C．去年②的收入为2.8万
D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入
3.（2018年山东省日照市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，
BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）
A．AB=AD B．AC=BD C．AC⊥BD D．∠ABO=∠CBO
4.（2018年青海省）若p
(x1,y1)，p2(x2,y2)是函数y=图象上的两点，当x1＞x2＞0时，下
1
列结论正确的是( )
A. 0＜y1＜y2
B. 0＜y2＜y1
C. y1＜y2＜0
D. y2＜y1＜0
5.（2018年湖北省咸宁市）已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，
下列结论正确的是（）
A．x1+x2=1 B．x1•x2=﹣1 C．|x1|＜|x2| D．x12+x1=
6.（2018年贵州省安顺市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结
论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）
A．1个B．2个 C．3个 D．4个
7.（2018年广西贵港市）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8.（2018年湖南省湘潭市）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥
AD，则可添加的条件为．（任意添加一个符合题意的条件即可）
9.（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，在平行四
边形ABCD中，添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形．
10.（2017年黑龙江龙东地区（农垦、森工用））如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，
使得△ABC≌△DEF．
11.（2018年黑龙江省牡丹江市）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使
AD=BE．你所添加的条件是．
12.（2018年山东省济宁市）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边
上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．
三、解答题
13.（2018年浙江省杭州市临安市）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）
∴c2=a2+b2（C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；
（2）错误的原因为：；
（3）本题正确的结论为：．
14.（2018年内蒙古通辽市）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作
BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
15.（2018年江苏省常州市）如图，把△ABC沿BC翻折得△DBC．
（1）连接AD，则BC与AD的位置关系是．
（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．
16.（2018年江苏省徐州市）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，
再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC=4．
（1）若M为AC的中点，求CF的长；
（2）随着点M在边AC上取不同的位置，
①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；
②求△PFM的周长的取值范围．
17.（2018年湖南省怀化市）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上一点，
AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．
18.（2017年吉林长春市）【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可
以得到：DE∥BC，且DE=BC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．
【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：．（只添加一个条件）
（2）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为．。