温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试(三)数学(理)试题

温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 一.选择题：
1.设{}1,4,2,A x ={}21,B x =，若B A ⊆，则x = ( ) A ．0 B ． 2- C ．0或2- D ．0或2±
2.设复数 z ＝(1－i)n （其中i 为虚数单位，n ∈N *）．若z ∈R ，则n 的最小值为（ ） A. 2 B.4 C. 6 D. 8
3.＂数列n n a aq =为递增数列＂的一个充分不必要条件是 （ ） A. 0,1a q << B. 0,0a q << C. 0,0a q >>
D.
1
0,02
a q <<<
4.设a 是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 过a 一定存在平面β,使得αβ// B. 过a 一定存在平面β,使得αβ⊥
C. 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a ⊥
D. 在平面α内一定不存在直线b ，使得b a //
5.某三棱锥的三视图如图所示，已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角
形，侧视图为如图所示的直角三角形，则该三棱锥的体积为
（ ） A. 1 B. 3
C. 4
D. 5
6.设实数x ，y 满足不等式组2y x x y x a ≥+≤≥⎧⎪
⎨⎪⎩
．若z ＝3x ＋y 的最大值是最小值的2倍，则a 的
值
为
（ ） A.
31 B. 3 C. 2
1
D.2 7. 已知21F F 、分别是双曲线:C 122
22=-b
y a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点
恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ） A.3 B. 3 C. 2 D. 2
8. 若),2,0(π
∈x ),2
,0(π
∈y 且)tan(32tan y x x -＝，则y x +的可能取值．．．．是（ ） A.
12π B. 4π C. 3
π
D. 127π 9.某校周四下午第五、六两节是选修课时间，现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。

已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课，丙、丁教师各自最多可以开设一节课。

现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课（不必考虑教师所开课的班级和内容），则不同的开课方案共有 种。

（ ）
A. 15
B.16
C. 19
D.20
10.如图，已知四边形ABCD 中CD AB //，AB AD ⊥，AC BP ⊥，PC BP =，AB CD >，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是： （ ）
A.D AB A 与
B.BC AB 与
C.BC BD 与
D.AP AD 与
非选择题部分（100分）
二、填空题：本大题共7小题每小题4分，共28分 11.等差数列{}n a 满足：131,2a a ==，则9S = ．
12.已知3230123(23)x a a x a x a x -=+++，则220213()()a a a a +-+＝ ． 13.某程序框图如图所示,
则该程序运行后输出的值
是 ．
14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=对任意x R ∈成立，
当(1,0)x ∈-时()2x f x =，则2(log 5)f = ． 15.在ABC ∆中，若4=BC ，4
1
cos =
B ，则⋅的最小值为： ． 16.已知F 为抛物线)0(2>=a ay x 的焦点，O 为坐标原点。

点M 为抛物线上的任一点，过点M 作抛物线的切线交x 轴于点N ，设21,k k 分别为直线MO 与直线NF 的斜率，则
=21k k ．
17.集合2{|0,}A x mx x m =-≤为常数，
2{|22(1)10,}B x mx m m x m =--+≥为常数，若A B R =U ，则实数m 的取值范围
是： ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 且满足=-B A 2cos 2cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+π⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA A 6cos 6cos 2 （1）求角B 的值；
（2）若3=b 且a b ≤，求c a 2
1
-的取值范围． 19．（本小题满分14分）
已知长方体的长、宽、高分别为3、3、4，从长方体的12条棱中任取两条。

设ξ为随机变量，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，3=ξ． （1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列及数学期望)(ξE ． 20．（本题满分14分）
已知四棱锥ABCD P -，⊥PA 底面ABCD ，AD AB BC AD ⊥，∥，AC 与BD 交于点O ，又3=PA ，
6,32,2===BC AB AD ．
(1)求证： ⊥BD 平面PAC ;
(2)求二面角A PB O --的余弦值．
21．(本小题满分15分)
如图，已知椭圆13
4:2
2=+y x C ，直线的方程为4=x ，过右焦点F 的直线'l 与椭圆交于异于左顶点A 的Q P ,两点，直线AP 、AQ 交直线分别于点M 、N ． (Ⅰ）当2
9
=
⋅时，求此时直线'l 的方程； (Ⅱ）试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？ 若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．（本小题满分15分）
已知函数()()1,2+-==ax x x g e x f x ．
(Ⅰ)若函数()()x g x f y +=在区间[)+∞,1上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 记()()()x g x f x h =
，若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,0a ，则当[]1,0+∈a x 时，函数()x h 的图象是否总在不等式x y >所表示的平面区域内，请写出判断过程．
浙江省高考模拟冲刺卷《提优卷》
数学(理科)测试卷(三)
答案
一.选择题：
6. C
解析:作图可知，若可行区域存在，则必有1≤a ，故排除BD;结合图像易得当1,1==y x 时：4z max =，当a y a x ==,时：a 4z min =，由442=⨯a ，解得2
1
=a ，故选C 。

7. D
解析:方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x a
b
y l =
:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （,解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=222
2222
)
(b a abc y b a b a c x ， 由PO PF ⋅1=0可得:022
2=++y cx x ,将上式代入化简可得：
0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==
a
c
e ，故选Ｄ. 方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P,连接PO ﹑
1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，
故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，
01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，
即
3600==tan a b ，即2==a
c
e .故选D. 8. A
解析:)(2y x x y x --+＝，设t y x =-)tan(，故2
312)](2tan[)tan(t t
y x x y x +=
--+＝， 由题可知0≠t ，通过求导或基本不等式可得：]3
3
,0()0,33[)tan(⋃-
∈+y x ，即y x + 5(0,][,)66
ππ
π∈U ,故选A
9. C
解析: 以丙、丁教师是否开课来讨论：（1）若丙、丁教师均不开课，情况有1种，（2）
若丙、丁教师中恰有一人开课，情况有8C 121212=C C 种，
（3）若丙、丁教师均开课，则①若丙、丁教师在相同节次开课，情况有2C 12=种，②若丙、丁教师在不同节次开课，情况有
8)(C C 1212=+22A 种，综上，一共有1＋8＋2＋8＝19种，故选C
10.Ｄ
解析:设a AB =，θ=∠CAB ，则θcos a AP =，θsin a BP PC ==，
)sin (cos θθ+=a AC ，θθθθsin )sin (cos sin +==a AC AD ，
θθθθcos )sin (cos cos +==a AC CD ，因为AB CD >，故1cos sin cos 2>+θθθ
即22)4
2sin(>
+
π
θ，即43424ππθπ<+<，故4
0πθ<<。

A 选项：假设D AB A =，则有：1cos sin sin 2=+θθθ，即2
2
)4
2sin(=
-
π
θ，无解. Ｂ选项：假设BC AB =，则有：1sin 2=θ，即2
2
sin =
θ，无解. C 选项：假设BC BD =，则有：22)cos (sin sin 1sin 2θθθθ++=，即
θθθ23sin cos sin 21=+，无解.
D
选项：假设AP AD =，则有：θθθθcos cos sin sin 2=+，令
θθ
θθθθθθcos 2
2sin 22cos 1cos cos sin sin )(2-+-=
-+=f ，则 0sin 2cos 2sin )(/>++=θθθθf ，又01)0(<-=f ，02
2
1)4(>-=πf ，故必存在
0θ使得：0)(0=θf ，故AP AD 与可能重合。

D 选项正确
二.填空题
15. 4
1－
解析：方法一：: =⋅)4
1(4)(2-⨯+=+⋅c c BC AB AB
41
41)21(22-≥--=-=c c c ，
方法二：由余弦定理c c b 4
1
421622⨯⨯-+=1622+-=c c ,
所以216cos 22-+==⋅c b A bc 4141)21(22-≥--=-=c c c ，故最小值为4
1
－
方法三：==
=⋅A A C A bc 2sin cos sin 154cos A
A
B A 2sin cos )sin(154+
41cot 15cot 15sin cos 15cos sin 152
2
2-≥+=+=A A A
A A A ，故最小值为41－ 16.2
1
－
解析：设),(200a x x M ，则过点M 的抛物线的切线方程为：a
x x x a x y 2
00)(2+-=，令
0=y 得：021x x N =
，故)0,2(0x N ，)4
,0(a
F ，即：022x a k k NF -==，又a
x x a x k k MO
002
1===，故21
21-
=k k 17. [0,2]
解析：（1）当0=m 时，R B =，满足A B R =U .故0=m 符合 （2）当0>m 时，1
{|0}A x x m
=≤≤
，对于集合B ,考虑： 22[2(1)]84(1)(2)m m m m m m ∆=--=+-
①若0∆≤，即20≤<m 时，R B =，满足A B R =U .故20≤<m 符合 ②若0∆>，即2>m 时，考虑函数2()22(1)1f x mx m m x =--+，由于其对称轴
02
10<-=
m
x ，结合图像可知：A B R =U 不可能成立.故2>m 舍去. （3）当0<m ，1
{|0}A x x x m
=≤≥或，考虑函数2()22(1)1f x mx m m x =--+，结合
图像可知：要使A B R =U 成立，则必有(0)0f ≥且1
()0f m
≥，但是由于
12
()210f m m m =+-<，矛盾！故0<m 舍去。

综上可得：[0,2]∈m 18．解：（1）由已知⎪⎭
⎫
⎝⎛+π⎪⎭⎫
⎝⎛-π=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos 得 =-A B 22sin 2sin 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛-A A 2
2sin 4
1cos 4
32，----------5分
化简得23
sin =
B ，故3
23ππ=或B ．----------7分 （2）由正弦定理
2sin sin sin ===B
b C
c A a ，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2
332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-=-=-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-=6sin 3A ----------10分
因为a b ≤，所以323π<
≤πA ，2
66π
<π-≤πA ，----------12分 所以⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
π-=-
3,236sin 321A c a ． ----------14分 19.解：(1)若两条棱相交，则交点必为长方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3
条棱，所以共有2
3
8C 对相交棱，因此114
66248)0(212
23====C C P ξ.----------5分
（2）若两条棱平行则他们的距离为3，4，5，23，
3326644)4(2
12
===
=C P ξ， ---------- 7分 33
26644)5(2
12===
=C P ξ， ----------8分 3316622)23(2
12
===
=C P ξ ----------9分 33
16
6632662466242
1)0()23()5()4(1)3(2
12==---==-=-=-=-==C P P P P P ξξξξξ ----------11分 所以随机变量ξ的分布列为：
33
2366331233325332433163)(+=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ----------14分
20．证明：以AB 为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴,A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系。

则)3,0,0(),0,6,32(),0,0,0(),0,2,0(),0,0,32(P C A D B ----------2分
)0,2,32(-=BD )3,0,32(),0,6,32(-==PB AC
01212=+-=•AC BD ----------5分
AC BD ⊥∴
⊥PA Θ又底面BD PA ABCD ⊥∴，
⊥∴BD 平面PAC ; ----------7分
（2）设PBO 平面的法向量为),,,,(z y x n =
PBA 平面的法向量为),,0,1,0(= ---------9分
0332=-=•z x ，0232=+-=•y x
)3
32,3,1(=n ----------12分
4
3== 由题可知二面角A PB O --为锐角，故余弦值为
43 ----------14分 注：也可以PBD
ABP S S ∆∆=αcos 21.解：（Ⅰ）①当直线PQ 的斜率不存在时，由)0,1(F 可知PQ 方程为1=x 代入椭圆134:22=+y x C 得)2
3,1(),23,1(-Q P 又)0,2(-A ),23,3(),23,3(-==∴4
27=• 不满足-----------------2分 ②当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 方程为)0)(1(≠-=k x k y
代入椭圆13
4:2
2=+y x C 得01248)43(2222=-+-+k x k x k -----------------------4分
设),(),,(2211y x Q y x P 得2
221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+-------------------------5分
222
1212
21221439)1()1)(1(k k x x x x k x x k y y +-=++--=--= 2
943274)(2)2)(2(222
121212121=+=++++=+++=⋅k k y y x x x x y y x x AQ AP -2
6±=∴k 故直线'l 的方程； ()126-±
=x y ------------------------7分 22.解：（1）因()()12+-+=+=ax x e x g x f y x
a x e y x -+=∴2'
因函数()()x g x f y +=在[)+∞∈,1x 上单调递增
02'≥-+=∴a x e y x 在[)+∞∈,1x 上恒成立.
2+≤e a ------------------------5分
（2）22222'
)1()1)(1()1()21()(+----=+-+-+-=ax x a x x e ax x a x ax x e x h x x
①当0a =时，0)1()1()1()21()(222
222'
≥+-=+-+=x x e x x x e x h x x ，所以函数)(x h 在[]0,1单调递增，所以其最小值为1)0(=h ，而x 在[]0,1的最大值为1，所以函数)(x h 图象总在不等式y x >所表示的平面区域内 …………….8分
②当102a ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
，时，
（ⅱ）当[]a x +∈1,1，函数)(x h 在[]a x +∈1,1单调递减，所以其最小值为
2
)1(1
+=++a e a h a 所以下面判断)1(a h +与a +1的大小，即判断x e 与x x )1(+的大小，其中
⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+=23,11a x 令x x e x m x )1()(+-=，12)('--=x e x m x ，2)(''-=x e x m
因⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=23,11a x 所以02)('
'>-=x e x ，)('x m 单调递增； 所以03)1('<-=e m ，04)23(23
'>-=e m 故存在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,10x 使得012)(00'0=--=x e x m x
所以)(x m 在()0,1x 上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,0x 单调递增
所以112)()(020*********++-=--+=--=≥x x x x x x x e
x m x m x
01)(0200>++-=x x x 即x x e x )1(+>也即>+)1(a h a +1
所以函数)(x h 图象总在不等式x y >所表示的平面区域内 ……………..15分。