2019年七年级上期末复习《第三章一元一次方程》知识点、易错题(有答案)

七年级数学上册期末复习一元一次方程
知识点+易错题
一元一次方程知识点总结
一、等式与方程
1．等式：
（1）定义：含有等号的式子叫做等式．
（2）性质：
①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．
若a b
=那么a c b c
+=+
②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．
若a b
=那么有ac bc
=或a c b c
÷=÷（0
c≠）
③对称性：若a b
=，则b a
=．
④传递性：若a b
=，b c
=则a c
=．
（3）拓展：
①等式两边取相反数，结果仍相等．
如果a b
=，那么a b
-=-
②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．
如果0
a b
=≠，那么11 a b =
③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．
如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．
④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．2．方程：
（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．
（2）说明：
①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．
②未知数：通常设、y、为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．
未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．
一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！
③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．
指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．
未知数次数最高是几就叫几次方程．
④方程有整式方程和分式方程．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
二、一元一次方程
1．一元一次方程的概念：
（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．（2）一般形式：0
ax b
+=（a，b为常数，为未知数，且0
a≠）．
（3）注意：
①该方程为整式方程．
②该方程有且只含有一个未知数．
③该方程中未知数的最高次数是1．
④化简后未知数的系数不为0．如：212
x x
-=，它不是一元一次方程．
⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如1
3x
x
+=，它不是一元一次方程．
2．一元一次方程的解法：
（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?
x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．
（3）移项：
①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．
②说明：
Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．
Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．
（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：
①去分母——等式的性质②
②去括号——分配律
③移项——等式的性质①
④合并——合并同类项法则
⑤系数化为1——等式的性质②
⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）
（5）一般方法：
①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．
②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．
③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变
号．（一般都是把未知数移到一起）
④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b
a≠）的形式．
=（0
⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．
⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．
（6）注意：
（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）
①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；
②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，
Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘
Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；
③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；
⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；
⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．
（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．
分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．3．一元一次方程的应用：
（1）解决实际应用题的策略：
①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，
要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．
②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．
③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．
（2）分析问题方法：
①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系
②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系
③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系
（3）设未知量方法：
一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程解应用题，我们总是设其中一个未知量为，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．
①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；
②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．
（4）找等量关系的方法：
“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．
①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．
②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）
③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．
④借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化．对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系．
（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：
①“审”要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关
系．
②“设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号．
③“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统
一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一
个条件会得到恒等式，解不出．
④“解”解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算．
⑤“验”检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况．
⑥“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位．
（6）解应用题关键与核心：
根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）．就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程．核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程．
（7）实际问题的常见题目类型：基本量、基本关系、等量关系：
①“和、差、倍、分类问题”：弄清和谁比，比谁多，比谁少
增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量．
②“等积变形问题”：锻造前的体积=锻造后的体积
长方体的体积=长×宽×高，圆柱的体积=底面积×高．
③“打折利润问题”：利润是和成本比的
利润进价，售价=标价×折扣．
利润=售价-进价，利润率=÷
④“行程问题”：（相遇问题和追及问题）
路程=时间×速度，时间=÷
路程时间．
路程速度，速度=÷
（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
⑤“销售问题”总价=单价×数量，总钱数=各部分钱数和．
⑥“利率（息）问题”本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间（期数）．
⑦“工程问题”工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和．
⑧数字问题（包括日历中数字规律）⑨比例分配问题⑩调配问题
注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法．
一元一次方程错题精选
一、选择题
1.今年“五一”当天，从早晨8：00开始每小时进入云阳山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走
出景区的游客人数约为600人，已知云阳山上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知“五一”
当天该景区游客人数饱和的时间约为（）
A．10：00 B．12：00 C．13：00 D．16：00
2.某班级劳动时，将全班同学分成个小组，若每小组11人，则余下1人；若每小组12人，则有一组少4
人. 按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？ ( )
A．3组B．5组C．6组D．7组
某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200元，其中一个盈利50%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商场（）
A．不赔不赚B．赔100元C．赚100元D．赚360元
3.某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为( ) A．240元B．250元C．280元D．300元
4.已知方程与方程的解相同，则的值为（）
A．0 B．2 C．1 D．-1
5.关于的方程a+3=4+1的解为正整数, 则整数a的值为( )
A ． 2
B ． 3
C ． 1或2
D ． 2或3
6.方程|+1|+|-3|=4的整数解有( ) A ．2个
B ．3个
C ．5个
D ．无穷多个
7.球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其中黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六
边形，黑、白皮块的数目比为3∶5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为，则列出的方程正确的是（ ） A ．3=32－
B ．3=5(32－)
C ．5=3(32－)
D ．6=32－
8.已知面包店的面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就
可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？（ ） A ．38
B ．39
C ．40
D ． 41
9.某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按
1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（ ） A ．5.5公里
B ．6.9公里
C ．7.5公里
D ． 8.1公里
10.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解 密）．已
知加密规则为：明文 a ，b ，c 对应的密文 a+1，2b+4，3c+9．例如明文 1，2，3 对应的密文 2，8，18．如果接收方收到密文 7，18，15，则解密得到的明文为（ ） A ．4，5，6
B ．6，7，2
C ．2，6，7
D ．7，2，6
11.设一列数a 1，a 2，a 3，…a 2016中任意三个相邻数之和都是35,已知a 3=2,a 20=15,a 99=3-,那么a 2016=（ ） A ．2 B ．5
C ．15
D ．18
二、填空题 12.已知t 满足方程
，则
的值为 .
13.已知关于的方程=7－有正整数解，则整数的值为 . 14.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将转化为分数时，可设
=，则=0.3+
，
解得=，即
=.仿此方法，将
化成分数是 .
15.有m 辆校车及n 个学生，若每辆校车乘坐40名学生，则还有10名学生不能上车；若每辆校车乘坐43
名学生，则只有1名学生不能上车.现有下列四个方程：
①40m ＋10=43m －1；②1014043n n ++=；③1014043n n --=；④40m ＋10=43m ＋1.
其中正确的是 (请填写相应的序号)
16.某超市举办促销活动，全场商品一律打八折，小强买了一件商品比标价少付了22元，那么他购买这件
商品花了 元．
17.如果关的方程与的解相同，那么m的值是．
三、解答题
18.解方程：=.
19.解方程：
20.某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
（3）若所购商品标价超过500元，其中500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价是多少元？
21.为了落实水资管理制度，大力促进水资节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
居民用水阶梯水价表单位：元/立方米
_______元；
（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为_______立方米；（3）随着夏天的到，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
22.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？•应交电费是多少元？
23.某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？
24.一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立.例如：m=n=0时，我们称使得
成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为(m，n)。

(1) 若(m，1)是“相伴数对”，则m= ；
(2) (m,n)是“相伴数对”,则代数式的值为。

25.公园门票价格规定如下表：
某校初一(1)、(2)两个班共104人去游公园，其中(1)班人数较少，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：
①两班各有多少学生？
②如果初一(1)班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.B
10.B
11.B
12.A
13.答案为：2；
14.答案为：0或6；
15.答案为：.
16.答案为：③④；
17.答案为：88；
18.答案为±2．
19.答案为：=－3.4.
20.原方程可化为去分母, 得40+60=5(18－18)－3(15－30), 去括号得
40+60=90－90－45+90, 移项, 合并得40=－15, 系数化为1, 得=
21.解：由题意知，若该家电大于200元但不超过500元，优惠的钱数为300-300×0.9=30元，因为该家
电优惠330元，所以该家电一定超过500元，设该家电在商场的标价为元，则优惠钱数为(300-300×0.9)+(-500)×(1-0.8)=330.解得：=2000.所以，若某人该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为2000元.
22.解：（1）由表格中数据可得：0≤≤15时，水价为：5元/立方米，
故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）；
（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，设小明家6月份使用水量为立方米，∴75+（﹣15）×7=110，解得：=20，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米），故答案为：5；
（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：117+（a﹣21）×9≤180，解得：a≤28．
答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．
23.
24.解：因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8，
设小美第二次购物的原价为元，则(-300)×0.8+300×0.9=282.8
解得，=316，所以有两种情况.
情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小丽应付(316+94.5-300)×0.8+300×0.9=358.4（元），
情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元），所以小丽应付(316+105300)×0.8+300×0.9=366.8（元）.因此，小丽应该付款358.4元或366.8元.
25. (1）m=-；（2）-3；m=-n，代入得-3；
26.解：①设初一(1)班有人，则有13+11(104-)=1240，解得：=48．即初一(1)班48人，初一
(2)班56人；
②解：要想享受优惠，由(1)可知初一(1)班48人，只需多买3张，51×11=561，48×13=624＞561，∴48人买51人的票可以更省钱．。