APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用

APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用
摘要：在概念教学中运用APOS理论有助于数学概念综合心理图式的形成及知识系统的意义构建，增强在具体问题情境中主动应用数学概念图式系统分析问题和解决问题的能力。

APOS理论在教学概念探究式教学中的应用，要注重概念背景设计、概念的概括表述、概念的深入剖析以及概念的模型的形成。

关键词：APOS理论；高等数学；概念学习；探究式教学
高等数学在培养学生的运算能力、抽象思维能力、概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、实践能力等方面具有自身独特的优势，能为后续的专业、技能和理论学习提供必要的基础知识和思维方法，为终身学习提供必要的知识积累，其重要性随着科学技术的发展进步而日益凸显。

国内外很多高校在文科类’专业都全面开设了大学数学课程。

高等数学的学习过程中，概念的教与学是最重要的教学环节之一，概念的理解与掌握是学好高等数学课程的基本要求和先决条件，探索APOS理论在探究式概念教学中的应用具有一定的理论意义和实践价值。

一、APOS学习理论和探究式教学
1.APOS学习理论
APOS理论是一种以建构主义为基础的数学学习理论，是杜宾斯基对皮亚杰的“自反抽象”理论的一种扩展。

其核心是引导学习者在社会线索中开展学习活动，分析问题情境，学习数学知识，从而建构他们自己的数学概念和思想。

APOS 理论集中对数学概念这个特定内容的学习过程的研究，认为高等数学概念的学习过程是建构的，其建构的基本顺序层级为：个体依次构建心理活动（Actions）、过程（Processes）和对象（0bject），也可以叫做数学概念的三个阶段或者三种中间状态。

最终形成可以理解问题情境的图式结构（Schemas），即形成数学概念的认知结构。

但是在实际学习过程中，学习个体对于某一高等数学概念的理解并不只是线性的，而往往是循环的、渐进的，通过不断的内化、压缩与解压缩，再内化，再压缩与解压缩，最终实现高等数学概念的意义构建。

APOS理论指出，特殊数学思想下的不同概念建构更多是辩证的螺旋上升的而不是线性的结果。

2.探究式教学
探究式教学方法又叫做发现法、研究法，是指让学生通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径独立探究、自行发现并掌握相应的原理和结论的教学方法。

最早提出在教学中使用探究法的是美国著名教育思想家杜威。

探究式教学的核心与载体是问题，从教学的角度，教师要围绕教学目的和内容，精心设计出难度适中、逻辑合理、基于学生最近发展区且利于发掘学生自主探究潜能的问题。

探究式教学要求教师作为一个组织者，提供一定的条件或者必要的资料，学生自
己动手寻求答案或者提出假设，教师指导、规范学生的探索过程；整个过程可以由学习者一个人完成或者由教师分组安排完成，不同的学生或者团队可以就同一问题提出不同的解释或者看法并进行讨论。

探究式教学可以有效增强学生的自主学习能力以及培养学生寻求合作的团队精神。

高等数学概念的特点决定了探究式教学模式的适用性和有效性。

通过探究式教学，结合多媒体教学技术等手段，能有效再现概念从产生到形成的思维过程，符合学生的认知规律。

探究式教学的基本过程可以归纳为“问题引入一问题探究一问题解决—知识构建”四个阶段。

二、APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用
APOS学习理论和探究式教学方法都认为，教师在教学中是组织者和参与者，而不是一个讲授者或者灌输者。

但这并不是弱化教师的作用，反倒是对教师的综合素养提出了更高的要求。

基于高等数学概念的特点及学习心理的研究，根据多年的高等数学实际教学和改革实验的经验，笔者认为，可以把APOS学习理论应用于高等数学概念的探究式教学，并通过实际教学对象和过程进行实践探索，取得实际效果。

1.概念的背景设计：“问题引入一活动”（Action）阶段
APOS理论和探究式教学和学习方法都认为，教师要充分体现参与者、组织者、引导者的角色。

概念的引入背景设计要充分考虑学生的学情和认知规律，应该通过几何、物理甚至人文背景设计问题引入；通过“活动”让学生亲身体验，引起探究的兴趣，为成功开展具体的探究活动打下良好的基础。

活动的开展要注意防止两种倾向：一种是不关心学生的认知规律和原有知识结构，一味强调知识的原始来龙去脉，导致学生因为难度过大而逐渐失去信心；另一种是所谓的“去数学化”活动，就是只注重动手、讨论等外部探究活动而忽略了数学的内在本质特点，导致探究活动和数学二者不相融合，无法形成有效的知识结构，更谈不上灵活运用。

例如导数的概念，现行高等数学教材中有两个经典引例，一个是切线的斜率，一个是变速质点的瞬时速度，这两个引例对于物理专业的学生来说，很有针对性。

但是对于经济、生物、地理等专业的学习者来说，与专业的结合就显得不是那么紧密了。

因此，教师可以增加选取一些与专业背景更紧密的问题或者与学生日常兴趣爱好更相关的一些问题来引入。

例如针对导数的概念，可以选取伦敦奥运会牙买加运动员博尔特的100米比赛为切入点，设置如下问题：速度的最高点在什么地方出现？怎么计算其最大速度？就能引起学生极大的好奇心和兴趣，从而产生去解决问题的心理内驱力。

针对地理专业的学生在学习定积分的概念时，可以设计课外阅读有限元法的资料等活动，了解其在矿产资源勘探、石油勘测数据分析等方面的应用，既可以强化“无限分割求和求极限”的定积分思想，也能让学生切实了解数学在实际专业工作中的应用，从而增强学生学好数学的决心和动力。

针对极限的概念，可以以我国唐代著名诗人李白在《黄鹤楼送孟浩然之广陵》中脍炙人口的诗句“孤帆远影碧空尽”为切入点，这不正是所表达的真实意境吗？通过数学活动，了解中国古代历史，还能渗透爱国主义教育，传播数学文化，增强民族自豪感，可谓一举多得。

在数学概念的教学活动中，这样的活动
背景比比皆是，教师只要做一个有心人，就一定能设计出很有吸引力和针对性的引入问题并通过问题驱动有效高效地开展探究活动。