河南省漯河市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

河南省漯河市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()
3
22213
f x x bx a c ac x =
+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）
A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
C ．,3ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知可得()()
2
2
2
'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根
(
)
2222
22
222
1
440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()
2
2
2
'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得
(
)
2222
22
222
1
440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
2．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】 【分析】
根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】
由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，
且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，
故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.
由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】
本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.
3．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c b
C ．a c ＜b c
D ．
11
c c b a
--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数单调性逐项判断即可 【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故
11
c c b a
--> ，错误 故选B ． 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．
4．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1
AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r
相等的向量是（ ）
A ．1122
a b c ++r r r
B ．1122a b c --+r r r
C ．1122a b c -+r r r
D ．1122
-++r r r
a b c
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r
即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r
11112
AA B D =+u u u r u u u u r
(
)1111112
AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r
()112
AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r
因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u
r r ，
则(
)
112
AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r
1122a b c =-++r r r
即1122
BM a b c =-++u u u u r r r r ，
故选：D. 【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
5．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A ．247.79m
B ．254.07m
C ．257.21m
D ．2114.43m
【答案】B 【解析】 【分析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的1
8
，两面积作差即可求解. 【详解】
由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458
=o
o ，
设三角形的腰为a ，
由正弦定理可得10
135sin 45sin 2
a =o o
，解得1351022
a =o ， 所以三角形的面积为：
)
2
11351cos135102sin 455022521222
S ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭o o o ，
所以每块八卦田的面积约为：)
21
2521454.078
π-⨯⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题. 6．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||
||
MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--
B ．1122y x =
+或1122
y x =-- C ．22y x =+或
22y x =-- D ．22y x =-+
【答案】A 【解析】 【分析】
过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得
11
cos cos MA MA MF MP AMP MAF
===∠∠，要使
||
||
MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】
过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11
cos cos MA MA MF MP AMP MAF
===∠∠， 则当
||
||
MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切， 易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，
则2
(1)
4y k x y x
=+⎧⎨
=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x
=?.
故选：A. 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 7．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为
A ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定
为2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}6,7,8
C ．{}1,2,3,4,5
D ．{}6,7,8,9,10
【答案】C 【解析】 【分析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】
设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，
1224S =⇒11211
12242
a d ⨯+
=， 解得19a =-，2d =，
所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题. 9．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．
34
B ．
43
C ．-
43
D ．-
34
【答案】A 【解析】
分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,
2z a i =-.
所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3a 4
=. 故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.
10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是
随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
A ．08
B ．07
C ．02
D ．01
【答案】D 【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
11．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2
375150a a a +-+=，则9S =（ ）
A ．35
B ．36
C ．45
D ．54
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列{}n a 通项公式得2
375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S .
【详解】
Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，
2
375150a a a +-+=，
2552150a a ∴-
-=，
解得55a =或53
a =-（舍），
()919
59
995452
S a a a ∴
=
+==⨯=，故选C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
12．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．B C ． D 【答案】D
【解析】 【分析】
倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】
解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫
⋅-
=- ⎪⎝⎭
，tan 2θ=. 又θ为直线倾斜角，解得25
sin =5
θ. 故选：D. 【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，
E ，
F 分别为AC ，PB 的中点，3
2
EF =，则球O 的体积为______. 【答案】43π 【解析】 【分析】
可证90ABC ∠=︒，则E 为ABC ∆的外心，又PA PB PC ==则PE ⊥平面ABC 即可求出PB ，PE 的值，再由勾股定理求出外接球的半径，最后根据体积公式计算可得. 【详解】
解：2AB =Q ，5BC =
，3AC =
222AB BC AC ∴+=
90ABC ∴∠=︒，因为E 为AC 的中点，所以E 为ABC ∆的外心，
1322
BE AC ∴=
=
因为PA PB PC ==，所以点P 在ABC ∆内的投影为ABC ∆的外心E ，
所以PE ⊥平面ABC ，
BE ⊂Q 平面ABC PE BE ∴⊥，
所以23PB EF ==，
所以PE =
=
， 又球心O 在PE 上，设PO r =
，则2
2
2
322r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以r =O
体积，34
3
V r π==.
故答案为： 【点睛】
本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题． 14．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()2
2
4x a y b -+-=
所得的弦长为1
a ab
+的最小值为__________.
【答案】3+【解析】 【分析】
先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得10a b +-=，代入
1
a ab
+整理得()11
2131
a a
b a a +=
-+-++，利用基本不等式求得最值. 【详解】
解：圆()()2
2
4x a y b -+-=的圆心为(),a b ，
则(),a b 到直线10x y ++=
，
由直线10x y ++=截圆()()2
2
4x a y b -+-=
所得的弦长为
2
2
2+=，整理得()214a b ++=， 解得10a b +-=或30++=a b (舍去)，令1
(0,0)a m a b ab
+=
>> ()()()()
21111211312131
a a a m a
b a a a a a a +++∴====
--+++--+-++，
又(
)2
11a a ++
≥+
1a +=,等号成立, 则(
)2
1331a a -+-
+≤-+ (
)132131
m a a ∴=≥=+-+-++
故答案为：3+【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.
15．12
32e 2
(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】
先求f （1），再根据f （1）值所在区间求f （f （1））. 【详解】
由题意，f （1）=log 3（11–1）=1，故f （f （1））=f （1）=1×e 1–1=1，故答案为：1． 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知,2,3
B a b π
===ABC V 的面积为
___________．
【答案】2
【解析】 【分析】
由余弦定理先算出c ，再利用面积公式1
sin 2
S ac B =计算即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =， 故ABC ∆
的面积1sin 22
S ac B =
=
.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，1
12{|,n n T x x x x q x q -==+++…
,1,2,}i x M i n ∈=…．
（Ⅰ）当2q =，2n =时，用列举法表示集合T ；
（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…Ü，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；
②
100
1
12020i
i a
==∑．
证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）
100
2
1
i
i a
=∑为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，1
12n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，
1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．
【答案】（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）当2q =，2n =时，{1M =，2}，12{|2T x x x x ===+，i x M ∈，1i =，2}．即可得出T ．
（Ⅱ）（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i
a A ∀∈，201i a M -∈，必然有201i a A -∈，否则得出矛盾．
（ii ）由2
2
(201)40240401i
i i a a a --=-．可得100
100
100
22
1
1
1
(201)4024040100i
i i i i i a a a ===--=-∑∑∑．又
100100
22
222
1
1
(201)
12200i
i
i i a a ==+-=++⋯⋯+∑∑，即可得出
100
21
i
i a
=∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，可得
2121112211()()()()(1)(1)(1)n n n n n n n n s t a b a b q a b q a b q q q q q q q -------=-+-+⋯+-+--+-+⋯+--…，通过求和
即可证明结论． 【详解】
（Ⅰ）解：当2q =，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．
{}3,4,5,6T =．
（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i a A ∀∈，201i a M -∈，
必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <剟
，201i j a a +≠矛盾．
因此有201i a A -∈．
（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-Q ．
∴100100100
2
2
1
1
1
(201)4024040100791940i
i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．
100100
22
2221
1
200201(4001)
(201)
122006
i
i
i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=
∑∑，
∴100
21
1200201(4001)
(
791940)26
i i a =⨯⨯+=+∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，
21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+--… 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+- 1
11(1)1n n q q q q
---=---
10=-<．
s t ∴<．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 18．已知正项数列{}n a 的前n 项和22,*n n S a n N +=-∈. （1）若数列{}n a 为等比数列，求数列{}n a 的公比q 的值；
（2）设正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，若11b =，且2
121n n T b n +=--.
①求数列{}n b 的通项公式； ②求证：
123
1
22i
n
i b i a a a a =++<∑.
【答案】（1
）12
q +=；（2）①n b n =；②详见解析. 【解析】 【分析】
（1）依题意可表示1S ，2S ，相减得243a a a =-，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；
（2）①由题意可表示2n T ，12n T +，两式相减得22
12121n n n b b b +++=--，由其都是正项并整理可得递推关
系211n n b b ++-=，由等差数列的通项公式即可得答案；
②由已知22,*n n S a n N +=-∈关系，表示132n n S a ++=-并相减即可表示递推关系21++=+n n n a a a ，显然当1,2,3n =时，123
2
n a a a P ++<
成立，当4n …
，*n ∈N 时，表示12323343221
234512222222n n n n n n n
a a a a a a a a a a a P -----++++=+++++⋯++，由分组求和与正项数列性质放缩
不等式得证. 【详解】
解：（1）依题意可得132S a =-，242S a =-，两式相减，得243a a a =-，所以2
222a a q a q =-，
因为0n a >，所以2
10q q --=，且0q >
，解得q =
（2）①因为2
121n n T b n +=--，所以21222n n T b n ++=--，
两式相减，得2212121n n n b b b +++=--，即()2
2
211n n b b ++=+.
因为0n b >，所以211n n b b ++=+，即211n n b b ++-=.
而当1n =时，2
1222T b =-，可得22b =，故211b b -=，
所以11n n b b +-=对任意的正整数n 都成立， 所以数列{}n b 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =.
②因为22n n S a +=-，所以132n n S a ++=-，两式相减，得132n n n a a a +++=-，即312n n n a a a +++=+，
所以对任意的正整数2n …
，都有21++=+n n n a a a . 令12345123451122222222
i n
i n n
n b n n i a a a a a a a a P --===+++++⋯++∑
，
而当1,2,3n =时，123
2
n a a a P ++<
显然成立，
所以当4n …
，*n ∈N 时，12323343221
234512222222n n n n n n n
a a a a a a a a a a a P -----++++=+++++⋯++ 1232332342123451451
22
222222222n n n n n n n n a a
a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 123233212123421234512323451
222222222222222n n n n n n n n a a
a a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫=+++++++--+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 123121123321231212323334512345122222222222222222n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫=
++---+++++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L L 12312312321333
11113
24224224n n n n n a a a a a a a a a P P P P P --++++++=
++<++=+， 所以1233
324n n a a a P P ++<+，即123
2n a a a P ++<， 所以
123
1
2
2
i
n
i
b i a a a a =++<
∑，得证.
【点睛】
本题考查由前n 项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式，属于难题. 19．已知函数()()()1
1ln 2f x ax a x a x
=-+-+∈R . （1）讨论函数()f x 单调性；
（2）当2a =-时，求证：()12x
f x e x x
<--
. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据()f x 的导函数进行分类讨论()f x 单调性 （2）欲证()12x
f x e x x
<--
，只需证ln 2x x e +<，构造函数()ln 2x
g x x e =-+，证明()max 0g x <，这时需研究()g x 的单调性，求其最大值即可 【详解】
解：（1）()()1
1ln 2f x ax a x x
=-+-
+的定义域为()0,∞+， ()()()()2
222
111111ax a x ax x a f x a x x x x -++--+'=-+==， ① 当0a ≤时，由()0f x '<得1x >，由()0f x '>，得1x <，
所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减； ②当01a <<时，由()0f x '<得1
1x a <<
，由()0f x '>，得1x <，或1x a
>， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增； ③当1a =时，()
()2
2
10x f x x
-'=
≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
④当1a >时，由()0f x '<，得11x a
<<，由()0f x '>，得1
x a <，或1x >，
所以()f x 在10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减，在()1,+∞单调递增. （2）当2a =-时，欲证()1
2x
f x e x x
<--，只需证ln 2x x e +<， 令()ln 2x g x x e =-+，()0,x ∈+∞，则()1x
g x e x
'=-，
因存在()00,1x ∈，使得
00
1
x e x =成立，即有00ln x x =-，使得()00g x '=成立. 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化如下：
所以()()00000max 0011ln e 222x
g x g x x x x x x ⎛⎫==-+=--
+=-++ ⎪⎝
⎭. 因为()00,1x ∈，所以00
1
2x x +
>，所以()max 220g x <-+=.
即()()max ln 20x
g x x e g x =-+≤<， 所以当2a =-时，()1
2x
f x e x x
<--
成立. 【点睛】
考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.
20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，
得到如图2所示的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点
.
（1）证明：MN ⊥平面ABCD .
（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）2
3
【解析】 【分析】
(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN u u u r
，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解. 【详解】
（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒， 所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥， 所以EF ⊥平面CDN .
又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .
易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）可知3CN =
2MN =ABCD 为正方形.设AB 的中点为G ，
以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -， 则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，(2N ，(2F ，
所以()0,2,0AB =u u u r
，(2AF =-u u u r ，(0,2CN =-u u u r .
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =r
，
由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u v v u u u v v 得20,20,y x y z =⎧⎪⎨
-++=⎪⎩ 取()
2,0,1n =r
.
设直线CN与平面ABF所成的角为θ，
所以
22 sin
33
CN n
CN n
θ
⋅
===
⨯
u u u r r
u u u r r，
所以直线CN与平面ABF所成角的正弦值为
2
3
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
21．如图，平面四边形ABCD中，//,90
,120
BC AD ADC ABC
︒︒
∠=∠=，E是AD上的一点，2,
AB BC DE F
==是EC的中点，以EC为折痕把EDC
△折起，使点D到达点P的位置，且PC BF
⊥.
（1）证明：平面PEC⊥平面ABCE；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2
5
【解析】
【分析】
（1）要证平面PEC⊥平面ABCE，只需证BF⊥平面PEC，而PC BF
⊥，所以只需证BF EC
⊥，而由已知的数据可证得BCE
∆为等边三角形，又由于F是EC的中点，所以BF EC
⊥，从而可证得结论；（2）由于在Rt PEC
∆中，
1
2
2
PE DE PF EC a
====，而平面PEC⊥平面ABCE，所以点P在平面ABCE的投影恰好为EF的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】
（1）由//,90,2BC AD ADC AB BC DE ︒
∠===，所以平面四边形ABCD 为直角梯形，设
24AB BC DE a ===，因为120ABC ︒∠=.
所以在Rt CDE △中，3
23,4,tan DE CD a EC a ECD CD ==∠=
=
，则30ECD ︒∠=，又90ADC BCD ︒∠=∠=，所以60BCE ︒∠=，由4EC BC AB a ===，
所以BCE ∆为等边三角形，
又F 是EC 的中点，所以BF EC ⊥，又,,BF PC EC PC ⊥⊂平面,PEC EC PC C ⋂=， 则有BF ⊥平面PEC ，
而BF ⊂平面ABCE ，故平面PEC ⊥平面ABCE . （2）解法一：在Rt PEC ∆中，1
22
PE DE PF EC a ===
=，取EF 中点O ，所以PO EF ⊥， 由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC I 平面ABCE EC =， 所以PO ⊥平面ABCE ，
以O 为坐标原点，OC u u u r
方向为y 轴方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0,0,3),(23,3,0),(23,,0),(0,3,0)P a A a a B a a C a -，
(23,3,3),(23,,3),(0,3,3)PA a a a PB a a a PC a a =--=-=-u u u v u u u v u u u v
，
设平面PAB 的法向量(,,)m x y z =u r ，由0,0m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得23330,2330,
ax ay az ax ay az ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩取1x =，则(1,0,2)m =v 设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ，
则2222235
sin 512(3)(3)
m PC a m PC a a θ⋅===+⋅+-u u u
v v u u u v v ，
故直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
5
.
解法二：在Rt PEC V 中，1
22
PE DE PF EC a ===
=，取EF 中点O ，所以PO EF
⊥，由（1）可知平面PEC ⊥平面ABCE ，平面PEC I 平面ABCE EC =， 所以PO ⊥平面ABCE ，
过O 作OH AB ⊥于H ，连PH ，则由PO ⊥平面,ABCE AB ⊂平面ABCE ，所以AB PO ⊥，又AB OH PO OH O ⊥⋂=，，
则AB ⊥平面POH ，又PH ⊂平面POH 所以AB PH ⊥，在Rt POH V 中，3,23PO a OH BF a ===，所以15PH a =，设C 到平面PAB 的距离为d ，由C PAB P ABC V V --=，
即1
133PAB BEC S d S OP ⨯⨯=⨯⨯V V ，即1111
41542333232
a ad a a a ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 可得15
d a =
， 设直线PC 与平面PAB 所成角大小为θ，则515sin 5
23a
d PC a θ===. 故直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为
5.
【点睛】
此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：2114
3n
k k
a =<∑．
【答案】（Ⅰ）1
2n n a -=，*n N ∈．（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】 （1）由11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）由题，得1
21211111()(2)44
n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】
（Ⅰ）解：由题，得
当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；
当2n …
时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=． ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
11122n n n a --∴==g ，n *∈N ； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，1
21211111()(2)44
n n n n a ---===， 故22221121111
n
k k
n a a a a ==++⋯+∑
121111
1()()()444
n -=+++⋯+
11()4114n
-=
- 4414()3343
n =
-<g ． 故得证． 【点睛】
本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.
23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin α
α
=+⎧⎨
=⎩（α为参数）．以平面直角坐标系
的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C
的极坐标方程为sin ρθ=
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）设1C 和2C 交点的交点为,A B ，求AOB ∆ 的面积． 【答案】（1）4cos ρθ=；（2
【解析】 【分析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可.
（2）将1C 和2C 的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AOB ∆的面积.
【详解】
（1）曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）， 消去参数的1C 的直角坐标方程为2240x x y -+=．
所以1C 的极坐标方程为 4cos ρθ=
（2
）解方程组4cos sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
得到4sin cos θθ=
所以sin 22θ=
， 则6k πθπ=+或3k πθπ=+（k Z ∈）． 当6k πθπ=+
（k Z ∈
）时，ρ= 当3
k π
θπ=+（k Z ∈）时，2ρ=． 所以1C 和2C 的交点极坐标为：
6A k ππ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭,2,3B k ππ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
.
所以12
ABC S OA OB sin AOB ∆=⋅∠=． 故AOB ∆
．
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.。