法库县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

法库县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若函数则的值为（ ）
1,0,
()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩
(3)f -A ．5 B ． C ．
D ．2
1-7-2． 设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象2
()1f x x =+(,())x f x ()g x ()cos y g x x =可以为（
）
A ．
B ． C. D ．
3． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若﹣
+1=0，则角B 的度数是（
）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
4． α是第四象限角，，则sin α=（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（
）
A ．e x+1
B ．e x ﹣1
C ．e ﹣x+1
D ．e ﹣x ﹣1
6． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如
由算得2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++22
500(4027030160)9.96720030070430
K ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
附表：
参照附表，则下列结论正确的是（ ）
3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001
P K k ≥①有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 99%②有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；99%③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
7． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=
（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
﹣
D ．﹣或﹣
8． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为
（
）
A ．(1,1+
B ．(1)++∞
C. (1,3)
D ．(3,)
+∞9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β10．设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
11．若a ＞0，b
＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]A ．
B ．
C ．
D ．10512030
二、填空题
13．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
14．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式3
2
()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的
凸多面体的体积是 ．
16．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是
．
17．不等式恒成立，则实数的值是__________.
()2
110ax a x +++≥18．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
三、解答题
19．设集合A={x|0＜x ﹣m ＜3}，B={x|x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数m 的取值范围．（1）A ∩B=∅；（2）A ∪B=B ．
20．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．
21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；
（Ⅱ）若设选出男生的人数为X，求X的分布列和EX．
22．已知函数f（x）=alnx﹣x（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x∈（0，a），证明：f（a+x）＞f（a﹣x）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f（α）=f（β），且α＜β，证明：α+β＞2α
23．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．
（1）若a20=40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
24．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形中，为其中位线，且，若沿将三角形折起，使
PCD AB 2BD PC =AB PAB ，构成四棱锥，且
.PAD θ∠=P ABCD -2PC CD
PF CE
==（1）求证：平面 平面；BEF ⊥PAB （2）当 异面直线与所成的角为
时，求折起的角度.
BF PA 3
π
法库县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D111]【解析】
试题分析：.()()()311112f f f -=-==+=考点：分段函数求值．2． 【答案】A 【解析】
试题分析：，为奇函()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=A
A ()cos y g x x ∴=数，排除
B ，D ，令时，故选A. 10.1x =0y >考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.3． 【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即
﹣1=
，
整理得：2sinAcosB ﹣cosBsinC=sinBcosC ，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ），又∵A+B+C=180°，∴sin （B+C ）=sinA ，可得2sinAcosB=sinA ，∵sinA ≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A ．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
4． 【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，∴sin α=，
故选B ．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．　
5． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．　
6． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年9.967 6.635 人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．7． 【答案】B
【解析】解：当a ＞1时，f （x ）单调递增，有f （﹣1）=+b=﹣1，f （0）=1+b=0，无解；
当0＜a ＜1时，f （x ）单调递减，有f （﹣1）==0，f （0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；
故选：B
8． 【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求
m 的范围.
9．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
10．【答案】C
【解析】
二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k
当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，
当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，
当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，
当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，
当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，
故展开式中x k的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
11．【答案】C
【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴y=+=（a+b）=2+=4，当且仅当a=b=时取等号．
∴y=+的最小值是4．
故选：C．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】
试题分析：分段间隔为，故选D.5030
1500
=考点：系统抽样
二、填空题
13．【答案】必要而不充分【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即
12()()0f x f x +≤()()
()3
3
2
2
12121210x x a x x a x x ++++++≤,由于
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,令得方程,因 , 故
()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
()1a +()2
2520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出()f x ()'0f x =的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]15．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
16．【答案】　4　．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A（3，4），
显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，
此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b时“=”成立，
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
a
17．【答案】1
【解析】
试题分析：因为不等式恒成立，所以当时，不等式可化为，不符合题意；()2
110ax a x +++≥0a =10x +≥当时，应满足，即，解得.1
0a ≠20
(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩20
(1)0a a >⎧⎨-≤⎩1a =考点：不等式的恒成立问题.
18．【答案】32
【解析】试题分析：由题意得11,422
k αα==⇒=∴32k α+=考点：幂函数定义
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵A={x|0＜x ﹣m ＜3}，∴A={x|m ＜x ＜m+3}，
（1）当A ∩B=∅时；如图：
则
，
解得m=0，（2）当A ∪B=B 时，则A ⊆B ，
由上图可得，m ≥3或m+3≤0，
解得m ≥3或m ≤﹣3．
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=
，BE=3，∴EC=，∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，
∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE
解：（Ⅱ）
方法一：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ．
由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC ，
AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．
所以∠AHB 为二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角．
在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE ∥BH ，得∠BHE=90°，又在Rt △BHE 中，BE=3，
∴
由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，
所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz ．
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，3，0），F（0，4，0）．从而，
设平面AEF的法向量为，由得，，取x=1，
则，即，
不妨设平面EFCB的法向量为，
由条件，得
解得．所以当时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C74=35种情况；若4人全是男生，共有C84=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；
P（X=3）==；P（X=4）==．…
故X的分布列为
X01234
P
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．
23．【答案】
【解析】解：（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），
a 30=10，
当d ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a 30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a n ]，
其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n+1，…，a 10（n+1）是公差为d n 的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a 10（n+1）关于d 的关系式，并求a 10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a 40=a 30+10d 3=10（1+d+d 2+d 3），
依此类推可得a 10（n+1）=10（1+d+…+d n ）=
．
当d ＞0时，a 10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．
　24．【答案】（1）证明见解析；（2）．23
πθ=
【解析】试题分析：（1）可先证，从而得到平面，再证,可得BA PA ⊥BA AD ⊥BA ⊥PAD CD FE ⊥CD BE ⊥平面,由,可证明平面平面；（2）由,取的中点，连接CD ⊥BEF //CD AB BEF ⊥PAB PAD θ∠=BD G ,可得即为异面直线与所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1,FG AG PAG ∠BF PA 试题解析：
（2）因为，取的中点，连接，所以，，又，PAD θ∠=BD G ,FG AG //FG CD 12
FG CD =//AB CD ，所以，，从而四边形为平行四边形，所以，得；同时，12
AB CD =//FG AB FG AB =ABFG //BF AG 因为，，所以，故折起的角度.PA AD =PAD θ∠=PAD θ∠=23
πθ=
考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．。