江西省吉安市县立中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析

江西省吉安市县立中学2021年高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线交椭圆
E于A，B两点．若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，
．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
2. 已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
D 3. 已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )
A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7
参考答案：
C
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．
【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，
所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，
解得﹣7＜a＜24
故选C．
【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．
4. 在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2+y2﹣4x﹣6y+9=0与圆C2：x2+y2+2x+2y+1=0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|=|PB|若O为原点，则|OP|的最小值为（）
A．2 B．C．D．
参考答案：
B
【考点】圆的切线方程．
【分析】利用|PA|=|PB|，结合勾股定理，即可求得点P的轨迹方程，|OP|的最小值为O到直线的距离．
【解答】解：设P（x，y），则
∵|PA|=|PB|，
∴x2+y2﹣4x﹣6y+9=x2+y2+2x+2y+1，
∴3x+4y﹣4=0，
∴|OP|的最小值为O到直线的距离，即=
故选：B．
5. 在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC 上的射影，则
AB2=BD?BC．拓展到空间，在四面体A﹣BCD中，AD⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在
△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（）
A．S△ABC2=S△BCO?S△BCD B．S△ABD2=S△BOD?S△BOC
C．S△ADC2=S△DOC?S△BOC D．S△BDC2=S△ABD?S△ABC
参考答案：
A
【考点】F3：类比推理．
【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB2=BD?BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC
【解答】解：由已知在平面几何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，
则AB2=BD?BC，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，
则（S△ABC）2=S△BOC．S△BDC．
故选A．
6. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )．A．2 B．3 C．6 D．9
参考答案：
D
7. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有
（）
A. 34种
B. 48种
C. 96种
D. 144种参考答案：
C
试题分析：,故选C.
考点：排列组合.
8. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（）
A B C D
）
参考答案：
D
9. 函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】基本不等式．
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵，∴y=x（3﹣2x）=?2x（3﹣2x）=，
当且仅当x=时取等号．
∴函数y=x（3﹣2x）（）的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10. 在2012年3月15日那天，武汉市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
3.2x
＋a ，则a ＝( )
A ．－24
B ．35.6
C ．40.5
D ．40
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设随机变量服从正态分布,若
,则
参考答案：
略
12. 曲线y=x 3
在点（1，1）处的切线与x 轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 ．
参考答案：
【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=x 3，
∴y'=3x 2
，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3； 所以曲线在点（1，1）处的切线方程为： y ﹣1=3×（x ﹣1），即3x ﹣y ﹣2=0． 令y=o 得：x=，
∴切线与x 轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：
S=×（2﹣）×4= 故答案为：．
13. 对满足不等式组
的任意实数x ，y ，则z=x 2+y 2﹣4x
的最小值是
．
参考答案：
﹣2
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可． 【解答】解：z=x 2+y 2﹣4x=（x ﹣2）2+y 2﹣4
设m=（x ﹣2）2+y 2，则m 的几何意义为区域内的点到点（2，0）的距离的平方， 作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知，
D 到直线x ﹣y=0的距离最小，此时d==，
则m=d 2=2，则z 的最小值为z=2﹣4=﹣2，
故答案为：﹣2
14. 若函数
在区间[1,2]上单调递增，则
的最小值是__________．
参考答案：
-4 【分析】
对函数求导可得：
，函数在区间
上单调递增等价于
在区间
上大于等于零恒成立，即在区间上恒成立，利用二次函数的图像讨论出，的
关系，再结合线性规划即可得到
的最小值。

【详解】
函数在区间上单调递增，
在区间
上恒成立，即在区间上恒成
立，令
，其对称轴：
，
当，即时，在区间上恒成立等价于：，由线性规划可得：；
当，即时，在区间上恒成立等价于：，由线性规划可得：；
当，即时，在区间上恒成立等价于：
，则，由于在上的范围为，则，
综上所述的最小值是-4.
【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题。

15. 在正方体中，P为对角线的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有
_____________（个）.
参考答案：
4
16. 化简计算：
_.
参考答案：略
17. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________．
参考答案：
(0, 1)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
参考答案：
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．……………4分
联立方程组解得，．………………………………6分
（Ⅱ）由题意得，即，………………………………………………………8分当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．………………………………12分
19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
参考答案：
（1）C1的普通方程为：；C2的直角坐标方程为直线；（2）的最小值为. 【分析】
（1）消参数可得的普通方程；将的极坐标方程展开，根据，即可求得的直角坐标方程。

（2）设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线的距离，根据三角函数的性质即可求得最小值，将代入参数方程即可求得P点坐标。

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），
移项后两边平方可得，
即有椭圆；
曲线的极坐标方程为，
即有，
由，，可得，
即有的直角坐标方程为直线；
（2）设，
由到直线的距离为
当时，最小值为，
此时可取，即有.
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标与普通方程的转化，参数方程在求取值范围中的应用，属于中档题。

20. 已知在△ABC中，A=450，AB=，BC=2，求解此三角形
.
参考答案：
C=120 B=15 AC=或C=60 B=75
21. 已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为
(1)求曲线C的方程。

(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程。

参考答案：
（1）由题意得|PA|=|PB| ……2分;
故……3分;
化简得：（或）即为所求。

……5分;
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。

……8分;
当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2
由圆心到直线的距离……10分;
解得，此时直线的方程为
综上所述，满足题意的直线的方程为：或。

……12分.
略
22. 已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．
（1）当a=﹣1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f′（1）≤0，解出即可．【解答】解：（1）当a=﹣1时，
所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值
（2）易知在区间内单调递增，
所以由题意可得在内无解
即或f′（1）≤0
解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）。