福建省莆田一中高二数学下学期期中考试 理 新人教版【会员独享】

莆田一中2009-2010学年度下学期第一学段考试高二数学（理
科）
选修2-1 2-2 2010.5
一．选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共50分） 1．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
2．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）
A ．（1
-e ，+∞） B ．（0，1
-e ）C ．（－∞，1
-e ） D ．（e ，+∞）
3．函数cos 2y x =在点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程是（ ） A ．420x y π++= B ．420x y π-+= C ．420x y π--= D ．420x y π+-= 4．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, D A =11，A =1，则下列向量中与B 1相等的向量是 （ ）
A ．++-2
1
21 B ．++
2121 C ．+-2121 D ．+--2
1
21 5．已知函数
32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．-1＜a ＜2
B ．-3＜a ＜6
C ．a ＜-3或a ＞6
D ．a ＜-1或a ＞2 6．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）
A
B
C
D
7．设⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈=]2,1( ,2]
1,0[ ,)(2x x x x x f ，函数图像与x 轴围成封闭区域的面积为（ ）
A.
43 B.54 C. 65 D ．7
6 8．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式
()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+∞） B ．（－1，0）∪（0，1）
C ．（－∞，－1）∪（1，+∞）
D ．（－∞，－1）∪（0，1）
9．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m α
γ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
10．定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x Ax B =+(A,B 为常数)，使得
()()f x g x ≥ 对一切实数x 都成立，那么称为 ()g x 为函数 ()f x 的一个承托函
数，给出如下命题：
（1）定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数； （2）()2g x x = 为函数()2x f x =的一个承托函数； （3）()g x ex = 为函数()x f x e =的一个承托函数； （4）函数21()5411f x x x =-
-+，若函数()g x 的图象恰为()f x 在点
1
(1,)12
P -处的切线，则()g x 为函数()f x 的一个承托函数。

其中正确的命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题（每题4分，共20分） 11．
2
20
(3)10,x k dx k +==⎰
则。

12．如图2，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1
AB D =，在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α= 。

13.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是 。

3cm。

14. 在曲线
106323-++=x x x y 的切线中斜率最小的切线方程是____________。

15. 已知函数f(x)的定义域为),2[+∞-，部分对应值如下表
()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如图所示，若两正数a ，b 满足f (2a +b )<1，
则
3
3
++a b 的取值范围是 。

三．解答题（要求写出必要的解题过程）
16.（13分）已知函数f(x)=4x 3
+ax 2
+bx ＋5在x=－1与x=
3
2
处有极值。

（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）求出函数的单调区间与极值； （Ⅲ）求f(x)在[-3,2]上的最值。

17．（13分）已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=2，
E 、
F 分别是AB 、PD 的中点。

（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC
；
（Ⅱ）求
PC 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求二面角P 一EC 一D 的正切值。

（第13题）A
18. (13分)某厂生产某种产品x 件的总成本3
75
21200)(x x c +
=（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
19．(13分)如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2， ∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。

（Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1；
（Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，
求出点P 的位置；若不存在，说明理由。

20．（14）已知函数f (x )=x 2
－x ＋a ln x
（Ⅰ）当x ≥1时，f(x)≤x 2
恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）讨论f(x)在定义域上的单调性；
21. （14）已知函数
()2ln ,f x ax x a R =-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点111222(,),(,)P x y P x y ，如果存在曲线上的点00(,)Q x y ，且
102x x x <<，使得曲线在点Q 处的切线12//l PP ，则称l 为弦12PP 的伴随切线．当
2a =时，已知两点()()()()
1,1,,A f B e f e ，试求弦AB 的伴随切线l 的方程；
（Ⅲ）设()2()0a e
g x a x
+=
>，若在[]1,e 上至少存在一个0x ,使得()()00f x g x >成
立，求实数a 的取值范围。

附加题（10分）：函数ln ()ln ln(1)1x
f x x x x
=
-+++。

（Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由。

莆田一中2009-2010学年度下学期第一学段考试答案
高二数学（理科） 选修2-1 2-2 2010.5
一．选择题
二．填空题
11. 1 12.
13. 9 14. 3110x y --= 15. 37(,)53
三．解答题
16. （Ⅰ） a=－3,b=－18,f(x)=4x 3-3x 2
-18x+5
（Ⅱ）区间为(-∞，-1)，(
32，+∞)，减区间为(-1，3
2)，极大值为16，极小值为614
- （Ⅲ）(x)max = 16 、 f(x)min = -76
17解：（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OF 、 OE ．∴FO∥DC，且FO=
1
2
DC ∴FO∥AE 又E 是AB 的中点．且AB=DC ．∴FO=AE ．
∴四边形AEOF 是平行四边形．∴A F∥O E 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ∴AF ∥平面PEC
（Ⅱ）连结AC
∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平 面ABCD 所成的角
在Rt△PA C 中，tan
5PA PCA AC ∠=
==即直线PC 与平面ABCD 所成的角正切为
（Ⅲ）作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得PM ⊥CE ∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角
由△AME ∽△CBE ，可得AM =
，∴tan PA PMA AM ∠==
∴二面角P 一EC 一D
解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系， 则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0）， D （0，1，0），F （0，12，1
2
），E （1，0，0）， P （0，0，1）
（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，
12，12
）， 1111
(0,,),(0,,)2222
AF EO ==
∴AF EO
又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF ∥平面PEC
（Ⅱ）由题意可得(2,1,1)PC =-，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-
cos ,6||||6
PA PC PA
PC PA PC ⋅<>=
== 即直线PC 与平面ABCD 所成的角正切大小为
5。

（Ⅲ）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z PE EC ==-=
则00
m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)m =--
由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-
cos ,3||||3
m PA m PA
m PA ⋅<>=
== ∴二面角P 一EC 一D 18解：设产品的单价P 元，据已知，250000,50,100,2
=∴===
k P x x
k
P ， ,2500002x P =
∴0,500
>=∴x x
P 设利润为y 万元，则 ,1200752
500752120050033--=--⋅=
x x x x x
y
=
-='225
2250x x y x x 255225
5⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-，,0,25='=∴y x
y y x ,0),25,0(>'∈∴递增；y y x ,0),,25(<'+∞∈∴递减， y x ,25=∴极大=y 最大.
答：当产量为25万件
19解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O 在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1，∠A 1AO=60°
∴A 1O 2=AA 12+AO 2
－2AA 1·Aocos60°=3
∴AO 2+A 1O 2=A 1
2
∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 所以A 1O ⊥底面ABCD
∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A （0，－1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3） （Ⅰ）由于)0,0,32(-=BD ，)3,1,0(1=AA 则00301)32(01=⨯+⨯+-⨯=⋅
∴BD ⊥AA 1 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n 设2n ⊥平面AA 1D
则),,(2212z y x n n AA n =⎪⎩⎪⎨
⎧⊥⊥设得到)1,3,1(030
32-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+n y x z y 取 55
|
|||,cos 212121=⋅>=<∴n n n n
所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是
5
5
（Ⅲ）假设在直线CC 1上存在点P ，使BP//平面DA 1C 1 设),,(,1z y x P CC λ= 则
)3,1,0(),1,(λ=-z y x
得(0,1)()P BP λλ+=-+ 设113C DA n 平面⊥
则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥13113DA n C A n 设),,(3333z y x n = 得到)1,0,1(0
330
23333-=⎪⎩⎪⎨
⎧=+=n z x y 不妨取 又因为//平面DA 1C 1
则3n ·10330-==--=λλ得即BP
即点P 在C 1C 的延长线上且使C 1C=CP
20. 解：由 f(x)≤x 2
恒成立,得:alnx ≤x 在x ≥1时恒成立 当x ＝1时a ∈R 当x ＞1时即ln x a x ≤
，令()ln x g x x = , 2ln 1()ln x g x x
-'=
当 x>e 时，g ’(x)>0 ,g(x)在x ＞e 时为增函数，
当0<x<e 时，g ’(x)<0 g(x)在x ＜e 时为减函数
∴g min (x)＝e ∴a ≤e
(2)解：f (x )=x 2
－x ＋a ln x ，f′(x )=2x －1＋a x
=22x x a
x -+，x ＞0
（1）当△=1－8a ≤0，a ≥1
8时，f′(x )≥0恒成立，f (x )在（0，+∞）上为增函数．
（2）当a ＜1
8
时
①当0＜a ＜18时，0>>
f (x )在上为减函数，
f (x )在)+∞上为增函数． ②当a =0时，f (x )在（0，1]上为减函数，f (x )在[1，＋∞）上为增函数．
③当a ＜00<，故f (x )在（0]上为减函数，
f (x )在
21．解：（I ）2
'(),0f x a x x
=-
>． 当0a ≤时，'()0f x <，函数()f x 在(0,)+∞内是减函数， ∴函数()f x 没有极值．
当0a >时，令'()0,f x =得2
x a
=
当x 变化时，'()f x 与()f x 变化情况如下表：
∴当x a =
时，()f x 取得极小值()22ln f a a
=-． 综上，当0a ≤时，()f x 没有极值；
当0a >时，()f x 的极小值为2
22ln a
-，没有极小值
（Ⅱ）当2a =时，设切点00(,)Q x y ，则切线l 的斜率为()000
2
'()2,1,f x x e x =-∈． 弦AB 的斜率为()()()()1212102
2111
AB f e f e k e e e ----=
==----．
由已知得，//l AB ，则0
2
2x -=221e --，解得01x e =-，
所以，弦AB 的伴随切线l 的方程为：()24
22ln 11
e y x e e -=
+---． （Ⅲ）
本命题等价于()()0f x g x ->在[]1,e 上有解，
设()()()F x f x g x =-=22ln a e
ax x x
+--
， ()F x '=()2
2222222220ax a e x a e ax x a e a x x x x
++-+-++-+==>， 所以()F x 为增函数，()()max F x F e =．
依题意需()0F e >，解得241
e
a e >-． 所以a 的取值范围是24,1e e ⎛⎫
+∞ ⎪-⎝⎭
．
附加题：解：（Ⅰ）22
1ln 11ln ()(1)(1)1(1)x x
f x x x x x x x '=
--+=-++++．
故当(01)x ∈，时，()0f x '>，
(1)x ∈+，∞时，()0f x '<．
所以()f x 在(01)，单调递增，在(1)+，∞单调递减
由此知()f x 在(0)+，∞的极大值为(1)ln 2f =，没有极小值 （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时， 由于[]ln(1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ()011x x x x x x x x f x x x
+++-++-=
=>++， 故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞．
（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln 11x f x x x ⎛⎫
=++ ⎪+⎝⎭
知ln 21(2)ln 1122n n
n n f ⎛
⎫=++ ⎪+⎝⎭
，其中n 为正整数，且有 22211ln 11log (1)22
2n n
n n a e n e ⎛
⎫+<⇔<-⇔>-- ⎪⎝⎭．
又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2
(1)121(11)12
n n n
n n n n n =<=-+++-． 且2ln 24ln 2112a n n n <⇔>+-．取整数0n 满足202log (1)n
n e >--，04ln 2
1n a
>+，且02n ≥，则0000ln 21(2)ln 112222
n n n
n a a
f a ⎛
⎫=
++<+= ⎪+⎝⎭， 即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0)+，∞．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞，且a 的取值范围为(]0-∞，。