例说参数应用中的三个关注点

例说参数应用中的三个关注点浙江省金华市浙江师范大学数理与信息工程学院孔胜涛321004
摘要:从关注参数的几何意义、关注参数的取值范围、关注参数的不同选择入手，结合实例,说明在解题中提高参数应用效率的一些做法和看法.
关键词:参数应用；几何意义;取值范围；不同选择
何谓参数？这里所谓的“参数”是指在解决问题的过程中，为了沟通问题条件和结论间的联系而引入的辅助元素.在解决某些问题的过程中，参数常常起着重要的转化与沟通的作用,这种作用在解题中有时是不可或缺的.因此，在参数应用中，若能关注参数的几何意义、关注参数的取值范围和关注参数的不同选择，则往往能有效地提高参数应用的效率•下面结合实例，说明在解题中提高参数应用效率的一些雌和看法,供大家参考.
1关注参数的几何意义
在解题中，引入一个直线参数方程时，学生容易忽视直线参数方程中参数t的几何意义，由此，就很容易由于没有关注其中参数t的几何意义而导致解题错误.
例1已知过点M(-l,2)且斜率为1的直线I与抛物线y=x2交于A,B两点，求|曲|的值.
错解：由tana=1,得sina=乎，
cosa=f
•把宜线参数方程<
y=2+爭为参数)代入抛物线方程，得t2-3>/2t-2=0.由根与系数的关系，得t r +t2=3yl2，所以|AB|=”i+'2|=3返.
分析:上述解法中\AB\=\t1+t2\是错误的，其根源在于没有关注直线参数方程中参数/的几何意义.经过点M(%0,y0)，倾斜角为a的直线I的参数方程为$=%：；cosa(t
I y=y04-tsma
为参数)，其中参数/的几何意义是：/表示宜线I上定点M(x o,yo)到动点N(x,y)的有向线段MN的数量.若动点N在定点M的上方，则t>0；若动点N在定点M的下方，则/<0；若动点N与定点M重合，则Q0.由此不难发现上述解法中|AB|=|t1+t2|是错误的.
正解：由tana-1，得sina=,
cosa=4^.把宜线参数方程
2is爭(/为参数)代入抛物线方程，得?-3>/2t-2=0.由根与系数的关系，得勾+仔=3返，却2=-2•由参数t的几何意义，
•17•
得|AB|=t-右|=」(片+切?_呵2=>/26.
2关注参数的取值范围
在解题中，引入一个参数时，容易忽视其取值范围.由此，就很容易由于没有关注其取值范围而导致解题错误.
例2若实数x,y满足x2+y2-xy=l(x, y>0)，求％+y的取值范围.
错解:将/+犷-矽=1配方得&-1)2+ (書y)2=l.设％-壬=(!0$0,書y=sin0，则
x=cos0+^-sinO,y=sin。

.所以％+y= cos。

+Arsine=2sin(0+芳)e[-2,2].
分析:上述解法看似无懈可击,但解题过程是有错误的.上述解法的错误原因在于忽视了参数e的取值范围,即北[0,警]，从而导致解题错误.
正解：将x2+y2-xy=l(x,y>0)配方得3-壬『+(乎界=1.设％-壬=cos0,享T= sin®，贝!j x=cos®+寻sine,y=^sin0,其中0e[O,号.所以力+y=cos&+血sin0= 2sin(0+詈)e[l,2].
3关注参数的不同选择
在参数应用中，不但要关注参数的几何意义和取值范围,而且要关注参数的不同选择•由于解题中参数往往可有多种选择，不同的选择，其解题过程的繁简程度可以迥然不同.
例3如图1,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A, B两点.求证:..为定值.
\AF\\BF
证明1：当宜线48的斜率不存在4(%1，力),B(%2〃2)，宜线AB的方程为y=做-剳.所以将宜线AB的方程代入抛物线y2=2px(p>0),得A:2%2-pQc'+2)x +学=0.所以衍+”2=气舉，密2=召•由抛物线的定义，可得|血>£+片则卜护心，所以命+由=/-+
21 1_P+3i+%2)_2
#+%2务+#(%1+%2)+%1%2卩
证明2：如图1,以尸为极点，X轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则抛
物线的极坐标方程为P=匸爲•设点&
的极角为0,则点B的极角为TT+0.因此有的=匸爲，网=匸為两=
17爲，所以由+由吟
从上面实例不难看出，在参数应用中，只有真正关注参数的几何意义、关注参数的取值范围和关注参数的不同选择，才能提高参数应用的效率.
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