高考数学一轮复习课时作业(二十六) 函数y=A sin (ωx+φ)的图象

课时作业(二十六) 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象
及三角函数模型的简单应用
1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π 上的简图是( )
A [令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－3
2 ，排除B ，D. 由f ⎝⎛⎭⎫－π
3 ＝0，f ⎝⎛⎭
⎫π
6 ＝0，排除C.] 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
3 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12 个单位长度
B ．向右平移π
12 个单位长度
C ．向左平移π
3 个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
A [∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12 ，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
3 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π
12
个单位长度．]
3．(多选)(2020·湖北恩施月考)将曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
5 上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴的方程为( )
A ．x ＝3π
80
B ．x ＝－3π
80
C ．x ＝3π
20
D ．x ＝13π
20
CD [由题意，得变换后的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5 .令2x ＋π5 ＝π
2
＋k π(k ∈Z )，解得x ＝
3π20 ＋kπ2 (k ∈Z )，所以得到的曲线的一条对称轴的方程为x ＝3π20 或x ＝13π
20
.故选CD.] 4．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，||φ ＜π)的图象如图所示，则( )
A ．ω＝3，φ＝π
4
B ．ω＝3，φ＝－π
4
C ．ω＝6，φ＝－π
2
D ．ω＝6，φ＝π
2
A [由题图可得A ＝1，14 ·2πω ＝5π12 －π
4 ，解得ω＝3.所以f (x )＝sin (3x ＋φ)，因为f (x )＝sin (3x ＋
φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0 ，所以φ＝π4 ＋2k π，因为||φ ＜π，所以φ＝π4
.故选A ．] 5．(多选)(2020·玄武区校级月考)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π
6
个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中正确的是( )
A ．φ＝π
3
B ．⎝⎛⎭⎫5π6，0 是f (x )图象的一个对称中心
C ．x ＝π
12 是f (x )图象的一条对称轴
D ．f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－5π12，π
12 上单调递减 ABC [∵函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π
6 个单位长度后，得
到函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋φ－π
3 的图象． 再根据所得图象关于原点对称，可得φ－π
3 ＝k π，k ∈Z ，
∴φ＝π
3
，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ，故A 正确； 令x ＝5π
6 ，求得f (x )＝0，故⎝⎛⎭⎫5π6，0 是f (x )图象的一个对称中心，故B 正确； 令x ＝π12 ，求得f (x )＝2，为最大值，故x ＝π
12
是f (x )图象的一条对称轴，故C 正确；
当x ∈⎝⎛⎭⎫－5π12，π12 时，2x ＋π
3 ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2 ，故f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，π12 上单调递增，D 不正确，故选ABC.]
6．若函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π
2 ，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝
3 ，则ω＝________，φ＝________．
解析： 由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)， 又由f (0)＝ 3 且|φ|<π2 得到φ＝π
3 .
答案： 2；π
3
7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π
10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________．
解析： y ＝
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x －π10 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 .
答案： y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π10 8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)
6
7
6
5
． 解析： 设y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2π
ω ，
所以ω＝π2
，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ ＋6， 结合表中数据得π
2 ＋φ＝2k π，k ∈Z ，
可取k ＝0，则φ＝－π
2
，
所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2 ＋6＝6－cos π2 x . 答案： y ＝6－cos π
2
x
9.函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π
2 的部分图象如图所
示．求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心．
解析： 由图象可得A ＝2，T 2 ＝2π3 －π6 ＝π
2 ，
所以T ＝π，所以ω＝2.
由x ＝π
6 时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ ＝2， 所以φ＝π3 ＝π2 ＋2k π，φ＝π
6 ＋2k π.
因为|φ|<π2 ，所以φ＝π
6
.
所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6 . 令2x ＋π6 ＝k π(k ∈Z )，得x ＝kπ2 －π
12 (k ∈Z )，
所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭
⎫kπ2－π
12，0 (k ∈Z ). 10．(2020·济宁模拟)已知函数f (x )＝2 3 sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω＞0)，且f (x )的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
6 个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，函数g (x )的最大值．
解析： (1)由题意知f (x )＝ 3 sin2ωx ＋1＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π
6 ＋1， ∵周期T ＝π，2π
2ω ＝π，∴ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6 ＋1， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6 ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6 ＋1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，－π6 ≤2x －π6 ≤5π
6
， ∴当2x －π6 ＝π2 ，即x ＝π
3
时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.
11．(多选)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4 －1，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π
B ．函数f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π8，3π
8 上单调递增 C ．将函数f (x )图象的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π
6 个单位后关于y 轴对称
D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π
8 上的最小值为－2 2 －1 AB [对于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4 －1， 它的最小正周期为2π
2
＝π，故A 正确；
当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 时，2x －π
4 ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 ，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 －1单调递增，故B 正确； 将函数f (x )图象的横坐标缩短为原来的一半，可得y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
4 －1的图象， 再向左平移π
6 个单位后，可得y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3－π4 －1＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋5π12 －1的图象， 故所得图象不关于y 轴对称，故C 错误；
当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π8 时，2x －π
4 ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，0 ，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 －1的最小值为－4－1＝－5，故D 错误，
故选AB.]
12．函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，||φ＜π
2 的图象如图所示，则f (x )在区间[－π，π]上的零点之和为________．
解析： 由题图可得3T 4 ＝34 ·2πω ＝11π12 －π
6 ，解得ω＝2.
∴f (x )＝sin (2x ＋φ).把⎝⎛⎭⎫π6，1 代入得1＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ ， ∵||φ ＜π2 ，∴φ＝π
6
，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 .
∵x ∈[－π，π]，∴2x ＋π
6 ∈⎣
⎡⎦⎤－11π6，13π6 ， 则f (x )共有4个零点，不防设为a ，b ，c ，d ，且a ＜b ＜c ＜d ，则2a ＋π6 ＋2b ＋π
6 ＝2×⎝⎛⎭⎫－π2 ，2c ＋π6 ＋2d ＋π6 ＝2×3π2 ，两式相加，整理得2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝4
3 π，故f (x )的所有零点之和为a ＋b
＋c ＋d ＝2π3
.
答案：
2π3
13．(开放型)在①函数f (x )的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，②函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝－1，③函数f (x )的一个对称中心的横坐标为1
2 这三个条件中任选一个，补充在
下面题目的横线处，并解决问题．
已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<π2，|φ|<π
2 ，且________，点A (2，2)在该函数的图象上，求函数f (x )在区间(－3，3)上的单调递减区间．
解析： 若选①，设函数f (x )的最小正周期为T ，则
42＋⎝⎛⎭⎫T 22
＝5，得T ＝6＝2π
ω
，则ω＝π3 ，因为点A (2，2)在该函数的图象上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋ω ＝2，得2π3 ＋ω＝π
2 ＋k π，k ∈Z ，则ω＝－π6 ＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2 ，所以φ<－π6 ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π6 ，令π2 ＋2k π≤π
3 x －π6 ≤3π
2 ＋2k π，k ∈Z ，解得2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z ，因为(－3，3)∩{x |2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z ＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f (x )在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1)和[2，3).若选②，则sin (－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝π
2 ＋k 1 π，k 1∈Z ，因为点A (2，2)在该函数的图像上，所以2sin (2ω＋φ)
＝2，得2ω＋φ＝π
2
＋2k 2π，k 2∈Z ，
则φ＝π2 ＋2（k1＋k2）π3 ，k 1，k 2∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π6 ，ω＝π
3 ＋k 2π，k 2∈Z ，又
0<ω<π2 ，所以ω＝π3 ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π6 ，令π2 ＋2k π≤π3 x －π6 ≤3π
2 ＋2k π，k ∈Z ，解得2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z ，因为(－3，3)∩{x |2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z ＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f (x )在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3).若选③，则2sin ⎝⎛⎭⎫12ω＋φ ＝0，得1
2
ω＋φ＝k 1π，k ∈Z ，因为点A (2，2)在该函数的图象上，所以2sin (2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝π
2 ＋2k 2
π，k ∈Z ，则φ＝－π6 ＋2（2k1－k2π）3 ，k 1，k 2∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π6 ，ω＝π
3 ＋k 2π，k 2∈
Z ，又0<ω<π2 ，所以ω<π3 ，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π6 ，令π2 ＋2k π≤π3 x －π6 ≤3π
2 ＋2k π，k ∈Z ，解得2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z ，因为(－3，3)∩{x |2＋6k ≤x ≤5＋6k ，k ∈Z }＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f (x )在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3).
14．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x ＋ 3 cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2 上有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解析： (1)f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x ＋ 3 cos 2x
＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋ 3 cos 2x ＝1＋sin 2x ＋ 3 cos 2x ＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3 ， 则由2k π－π2 ≤2x ＋π3 ≤2k π＋π
2 ，k ∈Z ，
得k π－5π12 ≤x ≤k π＋π
12
，k ∈Z .
所以函数的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤kπ－5π12，kπ＋π
12 ，k ∈Z .
(2)由f (x )－m ＝2，得f (x )＝m ＋2， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，2x ＋π
3 ∈⎣⎡⎦
⎤π3，4π3 ， 由图象得f (0)＝1＋2sin π
3
＝1＋ 3 ，函数f (x )的最大值为1＋2＝3，
∴要使方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 上有两个不同的解，则f (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2 上有两个
不同的解，
即函数f (x )和y ＝m ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2 上有两个不同的交点，即1＋
3 ≤m ＋2<3， 即m 的取值范围为[ 3 －1，1).
15．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为(1，1)，(2，2)，函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，0＜ω＜π2 ，||φ ＜π
2 )的图象经过该三角形的三个顶点，则f (x )＝
________________．
解析： 等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如图中的点A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中点A ，B ，C ，D 与已有的两个顶点的横坐标重复，舍去；若为点E ，则点E 与点(2，2)的中间位置的点不可能为(1，1)，因此点E 也舍去，只有点F 满足题意．此时点(2，2)为最大值点，所以f (x )＝2sin (ωx ＋φ)，又0＜ω＜π2 ，则T 4 ＝π
2ω ＞1，所以点(1，1)，(2，2)之间的图象单调，将(1，1)，
(2，2)代入f (x )的表达式有⎩⎪⎨⎪⎧sin （ω＋φ）＝12，
sin （2ω＋φ）＝1，
∴⎩⎨⎧ω＋φ＝π
6＋2kπ，2ω＋φ＝π2＋2kπ， k ∈Z ，∴⎩⎨⎧
ω＝π
3
，φ＝－π
6＋2kπ，k ∈Z ，
由||φ ＜π2 知φ＝－π
6
，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π6 .
答案： 2sin ⎝⎛⎭⎫
π3x －π6。