高考数学二轮复习目标范围与最值,函数处理最相宜学案(全国通用)

【题型综述】
圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数
的取值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式
的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.@
【典例指引】
类型一 角的最值问题
例1 【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为2
2
，焦
距为2.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：13
2
y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122
4
k k =
，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 圆的半径为MC ，,OS OT 是M 圆的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.
【解析】（I ）由题意知 2c e a =
，22c =，所以 2,1a b ==， 因此 椭圆E 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2
211,2
3,
2
x y y k
x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得()
2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()
11212
221231
,21221k x x x x k k +=
=-++， 所以 22
112
112211812
21
k k AB k
x x k ++=+-=+.
由题意可知圆M 的半径r 为22
11
2
11822321
k k r k ++=+ 由题设知1224
k k =
，所以224k k =因此直线OC 的方程为2
4y x k =.
因此
22212221121119224
OC r t t t t t =
==≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，
当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时12k =，所以 1sin 22SOT ∠≤，因此26
SOT π
∠≤，
所以 SOT ∠最大值为
3
π
.综上所述：SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l 的斜率为12
k =. 类型二 距离的最值问题
例2.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2
x y =，点A 11()24-，，39()24
B ，，抛物线上的点)2
3
21)(,(<<-
x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．
【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则212
141
2-=+-
=
x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．
令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2
)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21
,1(-上单调递增，)1,2
1(上
单调递减，因此当k =
12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716
． 类型三 几何图形的面积的范围问题
例3【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2
2
2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .* （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边
形MPNQ 面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
13
4
2
2=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .
可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.
当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.
类型四 面积的最值问题
例4.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()2
2
2210x y a b a b
+=＞＞ 的
离心率是
32
，抛物线E ：2
2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .# （i ）求证：点M 在定直线上;
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求1
2S S
的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
【解析】（Ⅰ）由题意知2
3
22=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以2
1,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为142
2
=+y x .
（Ⅱ）（i ）设)0)(2
,(2
>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线l 的斜率为m ，
因此直线l 的方程为)(22m x m
m y -=-，即2
2
m mx y -
=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程2
22241m y mx x y ⎧=-
⎪⎨⎪+=⎩
得014)14(4
3
2
2
=-+-+m x m x m ，
由0>∆，得520+<<m 且1
442
3
21+=+m m x x ，
（ii ）由（i ）知直线l 方程为22
m mx y -=，
令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2
m G -，
又21
(,),(0,),22m P m F D ))
14(2,142(222
3+-+m m m m ， 所以)1(4
1
||2121+==
m m m GF S ， )
14(8)12(||||2122
202++=-⋅=m m m x m PM S ，
所以2
22221)
12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122
+=m t ，则
21
1)1)(12(2221++-=+-=t t
t t t S S ， 当
211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时2
2
=m ，满足0>∆，
所以点P 的坐标为)41,22(
，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)4
1,22(.
【扩展链接】
1.过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则
直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =（常数）. 2.若椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)与直线m kx y l +=:交于),(),,(2211y x B y x A ，则
（1）02222>-+=∆m k a b
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+2222222212222212k a b b a a m x x k a b kma x x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=+2222
2222212
222212k a b b a k b m x x k a b mb y y ， （3）2
2222222))(1(2||k
a b m k a b k ab AB +-++=，2222
222||k a b m k a b m ab S OAB +-+=∆.。