高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》分类汇编附解析

新数学《集合与常用逻辑用语》期末复习知识要点
一、选择题
1．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即21x a
=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a
=-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
2．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】 Q 点P 不在直线l 、m 上，
∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行成立，反证法证明如下：
若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．
【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-， 所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，
则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
4．已知p ，q 是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的( )
A ．既不充分也不必要条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由充分必要条件及命题的真假可得：“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，得解.
【详解】
解：因为“p q ∧是真命题”则命题p ，q 均为真命题，所以p ⌝是假命题，
由“p ⌝是假命题”，可得p 为真命题，但不能推出“p q ∧是真命题”，
即“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的充分不必要条件，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题．
5．下列命题为真命题的个数是（ ）
①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；
②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r ；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误； 对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-， 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，
所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.
故选：B.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
6．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22
212x y -++=”相切的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】
由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，
当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，
即d ==12c +=，解得1c =或3c =，
所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7．下列说法正确的是( )
A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…
”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -…” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v v ”及它的逆命题均为真命题
C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题
D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误． 对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r 的夹角为锐角”，
由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，所以该命题错误，所以B 错误．
对于C 选项，0222A B A B πππ+>
⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误．
故选D
【详解】
命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r ”的逆命题为假命题，故B 错误；
锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>
⇒>>->， ∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．
8．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【解析】
【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④.
【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故 22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分条
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误.
故选：C
【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
9．已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （）
A ．(]1,2
B ．()1,+∞
C ．()1,2
D ．[
)1,+∞ 【答案】D
【解析】
【分析】
解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果.
【详解】 由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[
)1,A B ∞=+U ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.
10．下面说法正确的是（ ）
A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题
B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件
C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∧⌝”也为假命题
D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”
【答案】A
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；
B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；
C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ⌝∧⌝”为真命题，所以该选项错误；
D. 命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++<”，所以该
选项错误.
故选：A
【点睛】
本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．
A ．{|20}x x -<<
B ．{|20}x x -≤≤
C ．{|20}x x x <->或
D ．{|20}x x x ≤-≥或
【答案】C
【解析】
【分析】
解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．
【详解】
∵全集U=R ，2
{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}，
故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．
12．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
13．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
14．已知命题p ：∀x ∈R ，x+
1x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命题中为真命题的是 ( )
A ．p ∨(⌝q )
B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q 【答案】D
【解析】
【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.
【详解】 对于命题p ：当x ≤0时，x+
1x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=4
π时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题．
结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．
故答案为D.
【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
15．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，－1)
C ．(－1,1)
D ．(－3,1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.
【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，
∴A ∩B ＝(－1,1)．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题，
则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
17．“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A ．“6m =”
B ．“67m <<”
C ．“57m <<”
D ．“57m <<”且“6m ≠”
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．
【详解】 因为方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩
，解得：57m <<且6m ≠，
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”， Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，
所以“57m <<”是方程“22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”． 故选：C ．
【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
18．“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”的（） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，
由“1a <-”，可得4π
θ>，再举特例34πθ=，可得由“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π” 不能得到“1a <-”，即可得解.
【详解】
解：设直线30ax y +-=的倾斜角为θ，则tan a θ=-，若“1a <-”，则
tan 1a θ=->，即4π
θ>，即由“1a <-”能推出“直线30ax y +-=的倾斜角大于4
π”， 若“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4π”，不妨令34πθ=， 则3tan 14
a π=-=，则不能得到“1a <-”， 即“1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于
4
π”的充分而不必要条件， 故选A.
【点睛】 本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.
19．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
20．已知命题:p 函数()20.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()52x y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a ≤
B ．12a <<
C ．2a <
D ．1a ≤或2a ≥ 【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知p 为假命题，q 为真命题.
由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ∆=-≥⇒≤ . q 为真命题，即： 5212a a ->⇒<.由此便可得出答案.
【详解】
由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数()
20.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即4401a a ∆=-≥⇒≤.
由:q 函数()52x y a =--是减函数，即：()52x
y a =-是增函数，即5212a a ->⇒<. 两者取交集得：1a ≤.
故选：A
【点睛】
本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.。