2023-2024学年北京交通大学附属中学高三上学期10月诊断性练习数学试卷含详解

交大附中高三数学10月诊断性练习
2023.10.07
一､选择题（每小题4分，共40分）
1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{|1B x x =<-或}4x >，则
U A B =I ð（）
A.{}
|24x x -≤< B.{|3x x ≤或}
4x ≥C.
{}
|21x x --<≤ D.
{}
|13x x -≤≤2.已知向量(),2a m = ，()2,1b =-r ，若//a b r r
，则m 的值为（
）
A.4
B.1
C.4
- D.1
-3.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（）
A.2x ∀>，210x -≤
B.2x ∀≤，210x ->
C.2x ∃>，210
x -≤ D.2x ∃≤，210
x -≤4.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A .
（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
5.为了得到函数π
sin()3
y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点A.向左平移
2π
3个单位长度 B.向左平移π
3个单位长度
C.向右平移π
3
个单位长度
D.向右平移5π
3
个单位长度
6.在ABC 中，π,4
B A
C ==“BC =”是“π
3A =”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C .
充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 031,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（
）
A.y ＝sin 30
6t π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭ B.y ＝sin 606t π
π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭C.y ＝sin 30
6t π
π⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭ D.y ＝sin 30
3t π
π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭8.要制作一个面积为2平方米，形状为直角三角形的铁架框，现有下列四种长度的铁管，最合理（够用，又浪费最少）的是（）
A.4.6
B.4.8米
C.6.8米
D.7米
9.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意的实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A.(0,2)
B.(0,8)
C.(2,8)
D.(,0)
-∞10.已知函数()122,2,x x a
f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩，如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得
()()
21f x f x =，则称实数a 为函数()f x 的包容数.在①1
2-；②12；③1；⑤32
中，函数()f x 的包容数是（）
A.①③
B.②③
C.②③④
D.②④⑤
二､填空题（每小题5分，共25分）
11.已知tan 24πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，则tan α=________.12.函数()()πcos π02f x x ϕϕ⎛⎫
=+<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示.则ϕ=__________，图中
0x =__________.
13.如图，扇形AOB 中，半径为1， AB 的长为2，则 AB 所对的圆心角的大小为_____弧度；若点P 是 AB 上的
一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅
取得最大值时，,OA OP = _____.
14.已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，
则实数m 的最大值是____.
15.对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00 f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，现新定义：若0x 满足()00 f x x =-，则称0x 为()0f x 的次不动点，有下面四个结论①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当312
a ≤≤
时，函数()
2()log 421x x
f x a =-⋅+在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m ，使得函数1
()e 2
x f x x m =
--在区间[0,1]上存在不动点，
其中，正确结论的序号为__________．三､解答题（共85分）
16.已知函数()π2sin 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1）求()f x 的单调递增区间与对称轴方程；（2）设()()π3g x f x f x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
.当[]0,x m ∈时，()g x 的取值范围为[]0,3，求m 的取值范围.
17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，请在以下四个条件中选择三个：①1cos 7
C =；②2
cos 22cos
102
B
B +-=；③5a =；④7b =.（1）求角B 和边c 的值.（2）求AB
C 的面积.
18.已知函数3211()32m f x x x +=
-,1()3
g x mx =-,m 是实数.（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值,求m 的值;
（Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围.
19.某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE 区域为球类活动场
所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），
120BCD CDE ∠=∠=︒，60=︒∠BAE ，226DE BC CD ===千米．
（1）求小道BE 的长度；
（2）设ABE x ∠=，试用x 表示ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所ABE 的面积最大值，并求出最大值．
20.已知函数2
1()ln (0)2
f x x x a x a =
-+>.（1）若1a =，求()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；
（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 2
4
f x f x --+>
.21.设集合{}()12,,,3n S a a a n =≥ ，其中*
N ,1,2,,i a i n ∈= .若集合S 满足对于任意的两个非空集合
交大附中高三数学10月诊断性练习
2023.10.07
一､选择题（每小题4分，共40分）
1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{|1B x x =<-或}4x >，则
U A B =I ð（）
A.{}
|24x x -≤< B.{|3x x ≤或}
4x ≥C.
{}
|21x x --<≤ D.
{}
|13x x -≤≤【答案】D
【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为{}|23A x x =-≤≤,{|1B x x =<-或}4x >，所以{}|14U B x x =-≤≤ð，
所以U A B =I ð{
}|13x x -≤≤.故选：D ．
2.已知向量(),2a m = ，()2,1b =-r ，若//a b r r
，则m 的值为（
）
A.4
B.1
C.4
- D.1
-【答案】C
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】解：因为(),2a m = ，()2,1b =-r 且//a b r r
，
所以122m -⨯=⨯，解得4m =-；故选：C
3.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（）
A.2x ∀>，210x -≤
B.2x ∀≤，210x ->
C.2x ∃>，210x -≤
D.2x ∃≤，210
x -≤【答案】C
【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝.【详解】 命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.
【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题.4.已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（
）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
【答案】C 【分析】
判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln 2240=+-<，
f （3）ln3340=+->，
可得()()230
f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)．故选：C ．
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
5.为了得到函数π
sin()3
y x =--
的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点A.向左平移2π
3个单位长度 B.向左平移π
3个单位长度
C.向右平移π
3
个单位长度
D.向右平移5π
3
个单位长度
【答案】A
【分析】由题意利用诱导公式、函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移23
π
个单位长度，可得2sin sin sin 3
33y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
的图象，故选A ．
【点睛】本题主要考查诱导公式、函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．
6.在ABC 中，π,4
B A
C ==“BC =”是“π
3A =”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】依题意利用正弦定理可知BC =时可得π3
A =或2π3
A =
，即充分性不成立；当π3A =时，可得BC =，
可得必要性成立，即可得出结论.
【详解】根据题意，
当π,4B AC =
=
BC =时，由正弦定理sin sin AC BC B A =
可得23
sin sin 22
BC
A B AC
=⋅==
，又BC AC >，所以A B >；可得π
3A =或2π3
A =；所以充分性不成立；
当π,4B AC ==π
3A =时，利用正弦定理sin sin AC BC B A =
可得3
sin 2sin 2
2
A BC AC
B =
⋅=，即必要性成立，综上可得：
“BC =”是“π
3
A =”的必要不充分条件.
故选：B
7.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 031,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（
）
A.y ＝sin 30
6t π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭ B.y ＝sin 606t π
π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭C.y ＝sin 30
6t π
π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D.y ＝sin 30
3t π
π⎛⎫-
- ⎪⎝⎭【答案】C
【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择.
【详解】由题意可得，初始位置为P 031,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，不妨设初相为ϕ，
故可得1sin 2ϕ=
，3
cos 2
ϕ=，则6πϕ=.排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2|
|π
ω
＝60，
所以|ω|＝
30π，即ω＝－30
π.故满足题意的函数解析式为：π
πsin t 30
6y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.
故选：C .
【点睛】本题考查三角函数在生活中的应用，属基础题.
8.要制作一个面积为2平方米，形状为直角三角形的铁架框，现有下列四种长度的铁管，最合理（够用，又浪费最少）的是（）
A.4.6
B.4.8米
C.6.8米
D.7米
【答案】D
【分析】设一个直角边长为()0,4x ∈米，
可得直角三角形的周长4y x x =+
+利用基本不等式运算求解.【详解】设一个直角边长为()0,4x ∈米，则另一直角边长为
4x
米，
可得直角三角形的周长44y x x =+
++，当且仅当22416x x
x x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即2x =时，等号成立，
又因为1.4 1.5<
<
，可得6.847<+<，即直角三角形的周长大于6.8米，
所以合理（够用，又浪费最少）的是7米.故选：D.
9.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意的实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A.(0,2) B.(0,8)
C.(2,8)
D.(,0)
-∞【答案】B
【详解】当0m ≤时，若x 接近+∞时，函数2()22(4)1f x mx m x =--+与()g x mx =均为负值，显然不成立，当0x =时，因(0)10.f =>当0m >时，若40.22b m a m --
=≥即04m <<时，结论显然成立．若40.22b m
a m
--=<时只要24(4)84(8)(2)0m m m m ∆=--=--<即28m <<，综上所述，08.
m <<故选：B
考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．
【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当
时，因为
所以仅对对称轴进行分类讨论即可．
10.已知函数()122,2,x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩，如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得
()()
21f x f x =，则称实数a 为函数()f x 的包容数.在①1
2-；②12；③1；⑤32
中，函数()f x 的包容数是（）
A.①③
B.②③
C.②③④
D.②④⑤
【答案】B
【分析】找出实数a 为函数()f x 的包容数的充要条件()1
22
20a F a a a -=+-≤且0a >，然后逐一验证对于实数
a
分别为：①12-
；②1
2；③1；⑤32
根据求导来说明当1a >时，()1222a F a a a -=+-单调递增，从而即可验证.
【详解】设()()1
22
,,2,x g x x a h x x a x a -=<=-+≥，它们的值域分别为,A B ，
由题意如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得()()21f x f x =，则当且仅当A B ⊆，因为当x a <时，()1
2x g x -=单调递增，
所以(
)1
0,2
a A -=，
若0a ≤，则()2
220h x x a a =-+≤≤，此时A B ⊆不成立，故只能0a >，
因为当0x a ≥>时，()h x 单调递减，
所以此时()()2
2
22h x x a h a a a =-+≤=-+，
即此时(
)
2
,2A a a =-∞-+，因此若要A B ⊆，只需2122a a a --+≥，不妨设()1
22
2,0a F a a a a -=+->，
则实数a 为函数()f x 的包容数当且仅当()1
2220a F a a a -=+-≤且0a >，
因此1
2
-
不是函数()f x 的包容数，注意到()123890,111200224
4F F -⎛⎫
=-=≤=+-=≤
⎪⎝⎭，因此12
，1是函数()f x 的包容数，对()1
222a F a a a -=+-求导得()()12ln 221a F a a -'=+-，
所以当1a >时，()()1
12ln 2212ln 20a a F a a --'=+->>，
所以当1a >时，()1
222a F a a a -=+-单调递增，且注意到()11120F =+-=，
所以()10F
F >=，()3102F F ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
，
3
2
不是函数()f x 的包容数；
综上所述：在①12-；②1
2；③1；⑤32
中，函数()f x 的包容数是②③.
故选：B.
【点睛】关键点点睛:本题的关键是找出实数a 为函数()f x 的包容数的充要条件()1
2220a F a a a -=+-≤且0a >，
然后设法逐一去分析验证即可.
二､填空题（每小题5分，共25分）
11.已知tan 24πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则tan α=________.【答案】-3.
【分析】由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程．
【详解】因为tan 24πα⎛
⎫-= ⎪
⎝⎭
，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号．12.函数()()πcos π02f x x ϕϕ⎛
⎫
=+<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示.则ϕ=__________，图中0x =__________.
【答案】①.
π6##1π6
②.
53
【分析】由图可知()3
0cos 2
f ϕ==
，结合π02ϕ<<即可求出ϕ的值，从而得出()πcos π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；观察图
象可知0x x =是方程()π3
cos π62
f x x ⎛⎫=+
= ⎪
⎝
⎭的最小正数解，解方程即可求出0x 的值.
【详解】由图可知()0cos 2
f ϕ==
，且π02ϕ<<，所以π6ϕ=；
所以()πcos π6f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
，
由图可知0x x =是方程()πcos π62
f x x ⎛⎫=+
= ⎪
⎝
⎭的最小正数解，由π3
cos π62
x ⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，可得πππ2π,Z 66x k k +=+∈，或者πππ2π,Z 66x k k +=-+∈，解得2,Z x k k =∈或12,Z 3
x k k =-∈，所以当1k =时，min 053
x x ==.故答案为：
π65,3
.13.如图，扇形AOB 中，半径为1， AB 的长为2，则 AB 所对的圆心角的大小为_____弧度；若点P 是 AB 上的
一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅
取得最大值时，,OA OP = _____.
【答案】①.2②.0
【分析】由弧长公式得：2
21
θ=
=，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：()1,0A ，()cos2,sin2B ，()()cos ,sin 02P θθθ≤≤，结合两角和差的正弦公式
则()cos cos cos2sin sin22sin1sin 1OA OP OB OP θθθθ⋅-⋅=--=-
，进而即可得解.
【详解】由弧长公式得：2
21
θ=
=，即 AB 所对的圆心角的大小为2弧度，
由三角函数定义可建立以点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴的直角坐标系，易得：()1,0A ，()cos2,sin2B ，
设,OA OP θ=
，则()()cos ,sin 02P θθθ≤≤，
则
()()2cos cos cos2sin sin21cos2cos sin sin22sin 1cos 2sin1cos1sin 2sin1sin 1OA OP OB OP θθθθθθθθ⋅-⋅=--=--=-=- ，
又02θ≤≤，所以111θ-≤-≤，
当11θ-=即0θ=时，OA OP OB OP ⋅-⋅
取得最大值22sin 1，故答案为2，0．
【点睛】
本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题．
14.已知函数()sin f x x =，若对任意的实数(,46αππ∈--，都存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，
则实数m 的最大值是____.【答案】
34
π
【分析】利用任意性与存在性原命题可转化为()1,,22f k k β⎛⎫
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
有且仅有一个解，然后根据三角函数的性质
和图像求解即可.【详解】
由()sin f x x =，(,46αππ∈--，
则()1,22f α⎛⎫
∈-
- ⎪ ⎪⎝⎭
，存在唯一的实数(0,)m β∈，使()()0f f αβ+=，即()12,,22f k k β⎛⎫
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭有且仅有一个解，
作函数图像()y f β=与直线12,,22y k k ⎛⎫
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
，
当两个图像只有一个交点时，由图可知，344
m ππ<≤，故实数m 的最大值是34
π.故答案为：
34
π
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质，属于较为基础题.
15.对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00 f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，现新定义：若0x 满足()00 f x x =-，则称0x 为()0f x 的次不动点，有下面四个结论①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当312
a ≤≤
时，函数()
2()log 421x x
f x a =-⋅+在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点．
④不存在正整数m ，使得函数()f x =在区间[0,1]上存在不动点，
其中，正确结论的序号为__________．【答案】②③
【分析】举反例偶函数2()f x x =，利用“不动点”、“次不动点”的定义即可判断①；
对于②结合奇函数定义及性质即可判断；对于③首先利用“不动点”定义得到4212x x x a -⋅+=及利用“次不动点”的定义得1
4212x
x
x
a -⋅+=
，再分离变量，利用函数单调性即可求得a 的取值范围；
对于④利用“不动点”得到x
=，分离变量后得到21e 2x
a x x =--，将问题转化为函数零点问题即可求解.
【详解】对于①:取函数2()f x x =，(0)0f =，0既是()f x 的不动点，又是()f x 的次不动点，故①错误；对于②:定义在R 上的奇函数满足(0)0f =，故②正确；
对于③:当(
)
2log 421x x
a x -⋅+=时，4212x x x a ∴-⋅+=，即1212x
x
a =+
-.令2x t =，[1,2]t ∈，11a t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，1
212
x
x a =+
-在[]0,1上单调递增，满足()
2log 421x x a x -⋅+=有唯一解；
当(
)
2log 421x x
a x -⋅+=-时，14212x x
x a ∴-⋅+=
即211222
x
x x
a =+-.令2x t =，[1,2]t ∈，211a t t t ∴=+-在区间[]1,2上单调递增，211222
x
x x a =+-在[]0,1上单调递增，满足
()
12log 421x x a x -⋅+=有唯一解；综上312
a ≤≤时函数()f x 在[0,1]上仅有一个不动点和一个次不动点，故③正
确;
对于④:假设函数()f x =
在区间[]0,1上存在不动点，则()f x x =在[]0,1上有解，即2
1e 2x a x x
=--在[]0,1上有解，令21()e 2x
m x x x =-
-，则1()e 22x m x x '=--，再令1
()e 22
x n x x =--，则()2x n x e '=-，令()0n x '=，解得ln2x =，所以()n x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,1)上单调递增，
所以3
2min 13
()(ln2)22ln22ln2lne ln4022
n x n ==--=-=-=->，
所以()0m x '>在[]0,1上恒成立，所以()m x 在[]0,1上单调递增，所以min ()(0)1m x m ==，()()max 31e 2
m x m ==-，所以实数a 满足3
1e 2
a ≤≤-
，存在正整数1a =满足条件，故④错误：故答案为：②③【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试卷以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
三､解答题（共85分）
16.已知函数()π2sin 3f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
.（1）求()f x 的单调递增区间与对称轴方程；
（2）设()()π3g x f x f x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.当[]0,x m ∈时，()g x 的取值范围为[]0,3，求m 的取值范围.
【答案】（1）答案见详解（2）π2π,
33⎡⎤
⎢⎣⎦
【分析】（1）以π
3
x +
为整体，结合正弦函数的性质运算求解；（2）利用三角恒等变换整理可得()π2sin 216g x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
，以π
26x -为整体，根据题意结合正弦函数的有界性分析求解.【小问1详解】令πππ2π2π,232k x k k -
≤+≤+∈Z ，解得5ππ
2π2π,66
k x k k -≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π,66k k k ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；令πππ,32x k k +
=+∈Z ，解得π
π,6
x k k =+∈Z ，
所以()f x 的对称轴为π
π,6
x k k =+
∈Z .【小问2详解】因为()(
)ππ14sin sin 4sin cos sin 3322g x f x f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭2πcos 2sin 2cos 212sin 216x x x x x x ⎛
⎫=+=-+=-+ ⎪⎝
⎭，
因为[]0,x m ∈，则πππ2,2666x m ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，且()π02sin 106g ⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
，若()g x 的取值范围为[]0,3，则ππ7π2,626m ⎡⎤-
∈⎢⎥⎣⎦，解得π2π,33m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以m 的取值范围为π2π,
33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，请在以下四个条件中选择三个：①1
cos 7
C =；②2
cos 22cos
102
B
B +-=；③5a =；④7b =.（1）求角B 和边c 的值.（2）求AB
C 的面积.【答案】（1）π
3
B =，8c =；（2
）.
【分析】（1）选择条件，利用三角恒等变换、正余弦定理即可求解.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可.【小问1详解】
选择①②③，在ABC 中，由2
cos 22cos
102
B
B +-=，得22cos 1cos 0B B -+=，即(2cos 1)(cos 1)0B B -+=，而0πB <<，解得1cos 2
B =，所以π
3B =；
由1cos 7C =
，0πC <<
，得sin 7
C ==，
于是π111sin sin()sin(
)cos sin 322272714
A B C C C C =+=+=+=⨯+⨯=
，由正弦定理得sin sin c a C A
=，所以43
5sin 78sin 5314
a C
c A ⨯=
==.
选择①②④，在ABC 中，由2
cos 22cos
102
B
B +-=，得22cos 1cos 0B B -+=，即(2cos 1)(cos 1)0B B -+=，而0πB <<，解得1cos 2
B =，所以π
3B =；
由1cos 7C =
，0πC <<
，得43
sin 7
C ==，由正弦定理得
sin sin c b C B =，所以43
7sin 78sin 32
b C
c B
⨯===.选择①③④，在ABC
中，由余弦定理得8c =，由1cos 7C =
，0πC <<
，得43sin 7
C ==，由正弦定理得sin sin c b C B
=，即437sin 37sin 82
b C B
c ⨯===，而b c <，则B 为锐角，所以π
3
B =
.选择②③④，在ABC 中，由2
cos 22cos 102
B
B +-=，得22cos 1cos 0B B -+=，即(2cos 1)(cos 1)0B B -+=，而0πB <<，解得1cos 2
B =，所以π
3B =；
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2
14925102
c c =+-⨯，则25240c c --=，而0c >，
所以8c =.【小问2详解】
由（1）知，选择①②③，①③④，②③③，均有π
3
B =，8c =，而5a =，所以ABC
的面积113sin 58222
ABC S ac B =
=⨯⨯⨯=△.选择①②④，π3B =
，8c =
，sin 7
C =，则π313114353
sin sin()sin()cos sin 322272714
A B C C C C =+=+=+=⨯+⨯=
，而7b =，所以ABC
的面积1153sin 782214
ABC S bc A ==⨯⨯⨯= .18.已知函数3211()32m f x x x +=
-,1()3
g x mx =-,m 是实数.
（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值,求m 的值;
（Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）1m ≤；（Ⅲ
）1m <-．
【详解】试卷分析：（1）先求出函数的导数，由()10f '=，即可求出m 的值；（2）由()2
(1)f x x m x =-+'，得
()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立，即1m x ≤-恒成立，由2x >，即可得到1m ≤；（3）求出()(1)()0h x x x m =-'-=，分别得1m =时，1m <时的情况，进而求出m 的取值范围．
试卷解析：（1）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ，
由f （x ）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（2）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ，∵f （x ）在区间（2，+∞）为增函数，
∴f′x ）=x （x ﹣m ﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x ﹣m ﹣1≥0恒成立，即m≤x ﹣1恒成立，由x ＞2，得m≤1，∴m 的范围是（﹣∞，1]．（3）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=
13x 3﹣12+m x 2+mx ﹣1
3
，
∴h′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣m ）=0，解得：x=m ，x=1，
m=1时，h′（x ）=（x ﹣1）2≥0，h （x ）在R 上是增函数，不合题意，
m ＜1时，令h′（x ）＞0，解得：x ＜m ，x ＞1，令h′（x ）＜0，解得：m ＜x ＜1，∴h （x ）在（﹣∞，m ），（1，+∞）递增，在（m ，1）递减，∴h （x ）极大值=h （m ）=﹣16
m 3+12m 2﹣1
3，h （x ）极小值
=h （1）=
1
2
m -，要使f （x ）﹣g （x ）有3个零点，
需32111
0623{1
02
m m m -+->-<，解得：m ＜1
，
∴m 的范围是（﹣∞，1
．
考点：利用导数求解闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性，着重考查了函数导
数的应用、转化与化归和分类讨论的思想方法，属于一道综合性试卷，本题的解答中若()f x 在区间2+∞（，）为增函数，转化为()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立和函数()h x 有三个零点转化为函数的单调性与极值的应用是解答的关键．
19.某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE 区域为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），
120BCD CDE ∠=∠=︒，60=︒∠BAE ，226DE BC CD ===千米．
（1）求小道BE 的长度；
（2）设ABE x ∠=，试用x 表示ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所ABE 的面积最大值，并求出最大值．
【答案】（1）37BE =（2）球类活动场所ABE 的面积最大值为
2
6334
km 【分析】（1）连接BD ，在BCD △中由余弦定理得BD 的值，在Rt BDE 中，求解BE 的值即可.（2）设ABE α∠=，在ABE 中，由正弦定理求解AB 、AE ，表示ABE S ，然后求解最大值.
【详解】（1）如图，连接BD
在BCD △中，3()2
DE
BC CD km ==
=，120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27
BD BC CD BC CD BCD =+-∠= 33
BD ∴=又BC CD
= CDB CBD
∴∠=∠又120CDE ︒
∠=
90BDE CDE CDB ︒
∴∠=∠-∠=在Rt BDE
中，BE ===（2）设ABE α
∠=60120BAE AEB α
︒︒∠=∴∠=- 在ABE
中，由正弦定理可知：
sin sin sin 3
2AB AE BE AEB ABE BAE ===∠∠
∠)AB α︒∴=-
，AE α
=0113sin 60)sin 2221cos(120)cos(120)2cos(1202)2401201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒
︒︒
︒︒︒∴=
=⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬
⎣⎦⎩⎭=
-+<<∴-<-< ∴当60α︒=时，ABE S 取得最大值为
213213633
244
+=即球类活动场所ABE
面积的最大值为2
4
km 20.已知函数2
1()ln (0)2
f x x x a x a =
-+>.（1）若1a =，求()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；
（3）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln 2
4
f x f x --+>.【答案】（1）3
2
y x =-
；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）分别计算出1x =时的导数值和函数值，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程；（2）先求解出()f x '，然后根据∆与0的大小关系对a 进行分类讨论，由此分别确定出()f x 的单调性；（3）根据已知条件结合韦达定理先分析得到1212,x x x x +的结果，然后将()()12f x f x +表示为关于a 的函数，构造新函数()1
ln 2
g a a a a =--
并借助导数分析其单调性和最值，由此完成证明.
【详解】（1）因为()211,ln 2a f x x x x ==
-+，所以()()1
10f x x x x
'=-+>，所以()111111f '=-+=，()11
11ln122
f =-+=-，
所以切线方程为：()1112y x ⎛⎫--=⋅- ⎪⎝⎭，即32y x =-；
（2）()()210a x x a
x x x x
f x -+-+='>=，记14a ∆=-，
当1
a 4
≥
时，140a ∆=-≤，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a 4<<
时，140a ∆=->，令()0f x '=，所以1142x =且11402
±>
，10,2x ⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x
单调递增，11x ,22⎛⎫
-+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭时()0f x '<，()f x
单调递减，1,2⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，
综上可知：1a 4≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；10a 4<<时，()f x 在1140,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，在114a 114a
,22⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭上单调递减，在114,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增；（3）因为()()()221ln ,10,
2a x x a
f x x x a x f x x x x x -+'=-+=-+=>由题意可知：20x x a -+=的两个根为12,x x 且140a ->，所以1212110,4x x x x a a ⎧
⎪+=⎪⎪
=⎨⎪⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
，
所以()()()()22
121212121ln 2f x f x x x x x a x x +=+-++，所以()()()()()2
1212121212112ln 121ln 22
f x f x x x x x x x a x x a a a ⎡⎤+=+--++=--+⎣⎦，
所以()()121ln 2f x f x a a a +=-
-+，令()11ln 0,24g a a a a a ⎛⎫
⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()ln g a a '=，10,4a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时()0g a '<，所以()g a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
所以()()121ln
11132ln 2444424f x f x g --⎛⎫+>=--= ⎪⎝⎭，所以()()1232ln 24
f x f x --+>成立.【点睛】思路点睛：导数中双极值点问题的一般求解思路：
（1）先求出导函数()f x '；
（2）根据()0f x '=求解出极值点12,x x 满足的关系式（若导函数为二次函数类型，可根据韦达定理进行计算）；
（3）利用12,x x 的关系通过化简、计算将问题转化为单变量问题，通过构造新函数完成问题的求解.
21.设集合{}()12,,,3n S a a a n =≥ ，其中*N ,1,2,,i a i n ∈= .若集合S 满足对于任意的两个非空集合,A B S ⊆，
都有集合A 的所有元素之和与集合B 的元素之和不相等，则称集合S 具有性质P .
（1）判断集合{}{}1,2,3,5,9,1,3,5,11是否具有性质P ，并说明理由；
（2）若集合{}()*12,,,N n S a a a n =∈ 具有性质P ，求证：*12,21,N k k k n a a a k ∀≤+++≥-∈ ；
（3）若集合{}122023,,,S a a a =L 具有性质P ，求
122023111a a a +++ 的最大值.【答案】（1）{}1,2,3,5,9不具有，{}1,3,5,11具有.
（2）证明见解析（3）2022
1
22-【分析】（1）根据集合S 具有性质P 的定义结合反例可判断两个集合是否具有性质P .
（2）根据{}12,,,k a a a 也具有性质P 及其子集的个数可证121k k i i a
=≥-∑；
（3）不妨设12n a a a <<<，利用（2）的结论可证112
111111022n n a a a -⎛⎫+
++-+++≥ ⎪⎝⎭ ，从而可求最大值，再代入2023n =即可.
【小问1详解】对于集合{}1,2,3,5,9，因为235+=，故集合{}{}2,3,5的元素和相等，故{}1,2,3,5,9不具有性质P .
对于{}1,3,5,11，其共有15个非空子集：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1351,31,51,113,53,115,11,,,11,,,,,,，{}{}{}{}{}1,3,51,3,111,5,113,5,111,3,5,11,,,,，
各集合的和分别为：06128114116,,3,5,1,4,,,,,9,15,17,19,2，它们彼此相异，
故{}1,3,5,11具有性质P .
【小问2详解】
因为{}12,,,n a a a 具有性质P ，故对于任意的k ，{}12,,,k a a a 也具有性质P ，否则{}12,,,k a a a 有两个非空子集,A B ，它们的元素和相等，而,A B 也是{}12,,,n a a a 的子集，故{}12,,,n a a a 不具有性质P ，矛盾.注意到{}12,,,k a a a 共有21k -个非空子集，每个子集的元素和相异，
且子集的和最大为12k a a a +++ ，最小为1a ，故1221k
k a a a +++≥- .【小问3详解】
假设集合{}12,,,n S a a a = 具有性质P ，
不妨设12n a a a <<<，
112111
2122111111222122n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪-⎝--⎭ 设11
2i i i c a -=，则10i i c c +->，由（2）可得12i i i d a -=-，且10k k i i D d
==≥∑.而112112*********n n n n n n
a a a c d c d c d a a a --+++=-+-++- ()()()
112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++- ()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ ，故1112111211111112122212
n n n n a a a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦+++≤+++==-- ，当且仅当120n D D D ==== 时等号成立，
即此时任意的正整数k ，1221k k a a a +++=- 即1111,222k k k k a a --==-=，故此时12k k a -=时等号成立，故12111n a a a +++ 的最大值为1122n --.则当2023n =时，即对集合{}122023,,,S a a a =L 具有性质P ，则122023111a a a +++ 的最大值为2022122
-.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用集合非空真子集的个数公式即可证明，第三问的关键是利用第二问的
结论得到112111111022n n a a a -⎛⎫+++-+++≥ ⎪⎝⎭ ，再对n 赋值即可.。