三角函数恒等变换

⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式 加以变形后，正用或逆用公式.
1 1 为锐角， cos , cos( ) 例1、已知，角 、 7
14
求：cos
(cos ,sin )， 变式：已知：向量 a ， b (cos , sin )
2 5 a b 5


) 求：⑴ cos(
，求： , 0 , 且 sin sin ⑵0 2 2 13
2 cos10o sin 10o 2 o o sin 10 cos10 sin 1 cos ) 法二：利用半角公式 (tan 2 1 cos sin
o o o 原式 (tan5 cot5 ) tan10
2 tan5o (tan5 cot 5 ) 1 tan2 5o
o o
2(t an2 5o 1) 1 t an2 5o
2
法三： 利用结构特点 原式 (tan 5o 1 o ) tan 10 o
tan 5
t an2 5o 1 t an10o o t an5
t an2 5o 1 2 t an10o o 2 t an5
2 cot10o tan10o
2
注：在三角恒等变换中，对于函数名称比较多的情况，一般是 进行弦切的互化，尽量减少函数名称，便于化简.
方 法 归 类
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是： ⑴ 找差异：角、名、形的差异； ⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形 之间可以用哪个公式联系起来；
求：cos
解： 、 ∵ 为锐角， ∴ 0
1 1 cos , cos( ) 0, 又∵ 7 14
sin 4 3 5 3 , sin( ) , 7 14
7
14
注：⑴ 常用角的变换： ① ( ) ② 2 ( ) ( )

sin

2


1 cos 2
tan

2


1 cos 1 cos

sin 1 cos 1 cos sin
2
注：在半角公式中，根号前的正负号，由角 的象限确定.
所在
典 例 分 析
1 1 例1、已知，角 、 为锐角，cos , cos( )

33 65
5

答案：⑴
3 5
⑵
sin 20o 例2、化简：(t an5 cot 5 ) 1 cos 20o
o o
解：法一：切化弦，减少函数名
sin 5o co s5o sin 2 0o 原式 ( ) o o co s5 sin 5 1 co s 2 0o
sin 2 5o cos2 5o 2 sin 10o cos10o sin 5o cos5o 2 cos2 10
复习回顾
1、两角和与差的正弦、余弦和正切
cos( )
cos cos sin sin
cos( )Байду номын сангаас
sin( )
cos cos sin sin
sin cos cos sin
sin( )
sin cos cos sin
③ 2 ( )
④ 2 2 ⑤ ( ) ( )
4 4

∴
∴ cos cos[( ) ]
⑵ 注意对角范围的要求。
cos( ) cos sin( ) sin 1 2
tan tan tan tan tan( ) ) 1 tan tan 1 tan tan tan(
2、倍 角 公 式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2
cos sin 1
2 2
2 cos2 1 1 2 sin 2 2 tan tan 2 1 tan 2
注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别
1 cos 2 cos 2
2
1 cos 2 sin 2
2
3、半角公式
1 cos cos 2 2