备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题03 命题形式变化及真假判定

专题03 命题形式变化及真假判定
【热点聚焦与扩展】
（一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：设原命题为“若p ，则q ”的形式，则 （1）否命题：“若p ⌝，则q ⌝” （2）逆命题：“若q ，则p ” （3）逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”
2、p q ∨，p q ∧
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为p q ∨ （2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为p q ∧
3、命题的否定p ⌝：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法 （1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有 至多n 个→至少1n +个 小于→大于等于 （2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时,p q 均变为,p q ⌝⌝：
p 或q →p ⌝且q ⌝ p 且q →p ⌝或q ⌝
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝ 存在性命题：():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝ 规律为：两变一不变
① 两变：量词对应发生变化（∀⇔∃），条件()p x 要进行否定()p x ⇒⌝ ② 一不变：x 所属的原集合M 的不变化
（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。

1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。

而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、p q ∨，p q ∧，如下列真值表所示：
简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、p ⌝：与命题p 真假相反。

4、全称命题：
真：要证明每一个M 中的元素均可使命题成立 假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：
真：只需在M 举出一个使命题成立的元素即可
假：要证明M 中所有的元素均不能使命题成立
【经典例题】
例1【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（ ）
（
A ） ∧p q （
B ）⌝∧p q （
C ） ⌝∧p q （
D ）⌝⌝∧p q 【答案】B
【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.
例2【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
3
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一． 例3.命题“若2
π
α=，则sin 1α=”的逆否命题是（ ）
A. 若2
π
α≠
，则sin 1α≠ B. 若2
π
α=
，则sin 1α≠
C. 若sin 1α≠，则 2
π
α≠ D. 若sin 1α=，则 2
π
α=
【答案】B
【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝，”故命题“若2
π
α=，则sin 1α=”的逆否命题
是若sin 1α≠，则 2
π
α≠
，故选C.
例4【2018届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题:p 若0x <，则()l n 10x +<； q 是p 的逆命题，则（ ） A. p 真， q 真 B. p 真， q 假 C. p 假， q 真 D. p 假， q 假 【答案】C
【解析】由题意， ()ln 10x +<，所以011x <+<，得10x -<<， 所以命题p 为假命题，
又因为q 是p 的逆命题，所以命题q ：若()ln 10x +<，则0x <为真命题，故选C. 例5.有下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形; ②“若,则”的逆命题; ③“若
,则
”的否命题;
④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B
【解析】逐一考查所给的命题：
①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误; ②“若,则”的逆命题为“若,则
”，该命题正确; ③“若
,则
”的否命题为“若
,则
”，该命题正确;
④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③.
本题选择B 选项. 例6.已知命题
,使
;命题
,都有
.给出下列结论:
A. 命题是真命题
B. 命题“”是真命题
C. 命题“”是真命题
D. 命题“
”是假命题
【答案】B
本题选择B 选项.
例7.命题“2
,1x R x ∃∈=-使得”的否定是（ ） A. 2
,1x R x ∀∉=-都有 B. 2
,1x R x ∃∉=-使得 C. 2
,1x R x ∃∈≠-使得 D. 2
,1x R x ∀∈≠-都有 【答案】D
【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“x R ∃∈，使得
21x =-”的否定是“x R ∀∈，都有21x ≠-”，故选D.
例8【2018届湖南省张家界市高三三模】命题p ： 2x ∀>， 230x
->的否定是（ ）
A. 2x ∀>， 230x -≤
B. 2x ∀≤， 230x
-> C. 02x ∃>， 230x -≤ D. 02x ∃>， 230x
->
【答案】C
【解析】由题意可知，命题p 为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题p 的否定是
5
02x ∃>， 230x -≤.故选C.
例9【2018届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“2
,210x R x ax ∃∈++<”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）
A. (),1-∞-
B. ()1,+∞
C. ()(),11,-∞-⋃+∞
D. ()1,1- 【答案】C
【解析】因为命题“2
,210x R x ax ∃∈++<”是真命题, 所以244011a a a ∆=->∴><-或，选C.x&kw
例10【2018届江西省八所重点中学高三下学期联考】已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线
1:210l ax y ++=， ()2:110l x a y +--=，若12//l l ，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）
A. p q ∧
B. ()()p q ⌝∧⌝
C. ()p q ⌝∨
D. p q ∨ 【答案】
D
【精选精练】
1．【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 【答案】B
【解析】由0x =时210x x -+≥成立知p 是真命题,由22
1(2),12<->-可知q 是假命题,所以p q ∧⌝是真命题,
故选B.
【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．
2．【2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】下列命题中，真命题是（ ）
A. x R ∀∈，有()ln 10x +>
B. (),x k k Z π≠∈
C. 函数()2
2x
f x x =-有两个零点 D. 1a >， 1b >是1ab >的充分不必要条件 【答案】D
【解析】x=0时lnx=0,A 错误；当sinx=-1B 错误； ()2
2x f x x =-有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C 错误；当1a >， 1b >时，一定有1ab >，但当2a =-， 3b =-时， 61ab =>也成立，故D 正确,选D.
3．【2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设集合2
{|670}A x x x =--<， {|}B x x a =≥，现有下面四个命题：
1:,p a R A B ∃∈⋂=∅； 2:p 若0a =，则()7,A B ⋃=-+∞；
3p ：若(),2R C B =-∞，则a A ∈； 4p ：若1a ≤-，则A B ⊆.
其中所有的真命题为（ ）
A. 14,p p
B. 134,,p p p
C. 23,p p
D. 124,,p p p 【答案】B
【名师点睛】此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根()1212,x x x x <，当0a >时，则有“大于号取两边，即()()12,x x -∞⋃+∞，，小于号取中间，即()12,x x ”. 4．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次】设有下面四个命题： ①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题
②若,则
③“”是“
或
”的充分不必要条件 ④命题“
中，若
，则
”的逆命题为真命题
其中正确命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7
【答案】
B
5．命题:p 函数()2(0x
f x a a =->且1)a ≠图像恒过点()0,2;-命题下列结论中成立的是
A. p q ∨为真
B. p q ∧为真
C. p ⌝为假
D. q ⌝为真 【答案】A
【解析】:p 函数图像恒过点()0,1- 所以命题不正确；可知q 命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知p q ∨正确，故选A.
6．【2018届河南省高三4月测试】下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“若，则
”的逆命题是真命题 B. 命题“
，
”的否定是“
，
”
C. 命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题
D. 已知，则“
”是“
”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】对于选项A,逆命题为“若
”，当m=0时，不成立，所以是假命题；对于选项B ，特称
命题的否定是正确的；对于选项C ，命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项D ， “
”是“
”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B.
7．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知命题p ： x R ∀∈，
()
22log 231x x ++>；命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p q ⌝∧⌝
B. p q ∧⌝
C. p q ⌝∧
D. p q ∧ 【答案】A
【解析】()2
223122x x x ++=++≥， ()
22log 231x x ∴++≥，故p 为假命题， p ⌝为真命题，因为x R ∀∈，
sin 1x ≤，所以命题q ： 0x R ∃∈， 0sin 1x >，为假命题，所以q ⌝为真命题， p q ⌝∧⌝为真命题，故选A.
8．若“,,tan 144x m x ππ⎡⎤
∀∈-≤+⎢⎥⎣
⎦”为真命题，则实数m 的最大值为________. 【答案】0
9．【2018届山东省桓台第二中学高三4月月考】若命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()1+∞，
【解析】因为命题“0x R ∃∈，使得2+20x x a +≤”是假命题， 所以“x R ∀∈，使得2+20x x a +>”为真命题，
10．下列命题： ①若，则；
②已知
，
，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
；
③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足
，
，
则的轨迹一定通过的重心； ④在
中，
，边长
分别为
，则
只有一解；
⑤如果△ABC 内接于半径为的圆，且
则△ABC 的面积的最大值；
其中正确的序号为_______________________。

【答案】①③⑤
【解析】①
若,
则
代入上式得到，故正确；
②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是且，故选项不正确；
∴cosC=，
∵角C为三角形的内角，∴角C 的大小为
∵c=2Rsin =R x/k//*w
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2a•bcosC，可得
2R2=a2+b2﹣a•b≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立
∴ab≤
∴S△ABC =absinC≤•
R2•=
即△ABC 面积的最大值为；故⑤正确，
故答案为：①③⑤.
11．设p：对任意的x R
∈都有22
x x a
->，q：存在
x R
∈，使2
00
220
x ax a
++-=，如果命题p q
∨为真，命题p q
∧为假，求实数a的取值范围.
9
【答案】()[
)2,11,a ∈--⋃+∞
∴,p q 一真一假，①p 真q 假时， 21a -<<-, ②p 假q 真时， 1a ≥. 综上， ()[
)2,11,a ∈--⋃+∞.
12．已知p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >， q ：实数x 满足2230,
{ 20,
x x x x -≤-->
（1）当1a =， p 且q 为真时，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,3x ∈（2）]
(1,2 a ∈
（2）0a >， p ∴的解为3a x a <<， q 对应解为2230{ 2320
x x x x x -≤⇒<≤-->， p ⌝是 q ⌝的充分不必
要条件，即p q ⌝⇒⌝，则q p ⇒，即q 对应的集合是p 对应集合的子集， 12a ⇒<≤，所以]
(1,2 a ∈.。