立体几何综合(三JT)

【学习笔记】
立体几何综合
【知识要点】
1. 空间中两条直线的位置关系； 空间直线和平面的位置关系； 平面与平面的位置关系； 三垂线定理及其逆定理.
2.对空间中的角和距离一般解题方法和思路
3.理解并掌握棱柱的定义，要理解并掌握“平行六面体→直平行六面体→ 长方体→ 正四棱柱→ 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别.
【典型例题】
例1.已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面 α∥A B.
（1）求证：CD ∥α
（2）若AB ＝4，EF ＝7 ，CD ＝2，求AB 与CD 所成角 的大小
例2．如图，几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 垂直于平面ABC ，且 AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点.求证： （1）DF ∥面ABC ； （2）AF ⊥B D.
【学习笔记】
例3.如图．已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC 、D 为AB 的中点，平面ABC
⊥平面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直．
（1）求证：AB 1⊥CD ； （2）求证：AB 1⊥平面A 1CD ； （3）若AB 1＝５，求点A 到平面A 1CD 的距离．
例4．如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、
A 1D 1、
B 1
C 1、C 1
D 1的中点
（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；
（2）求平面AMN 与平面EFDB 之间的距离
例5.如图，已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1
,AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为
30︒，AE 垂直
BD 于 E ，F 为11A B 的中点.
（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. A
1
A B
C
D
1
B F
1
C 1
D E
D
A
C
A 1
B 1
C 1
B
【学习笔记】
D
E
C B A 立体几何综合课堂训练及作业
1．直线l ，m 和不同平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥那么必有（ ）
A.αγ⊥且l m ⊥ B .αγ⊥且//m β
C .C.//m β且l m ⊥
D .//αβ且αγ⊥
2．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若P A A B =，则平面ABP
和平面CDP 所成的二面角的大小是 （ ） A.
30 B.
45 C.
60 D.
90
3.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 （ ） A. B. C. D.
4．从P 点出发的三条射线PA 、PB 、PC 两两成60°角，则PC 与面P AB 所成角的余弦值为（ ）
A ．23
B ．33
C ．6
3
D ．以上都不对
5．在空间直角坐标系中，已知(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，
DH ⊥平面ABC ，垂足为H ，直线DH 交平面xoy 于点M ，则点M 的坐标为 （ ）
A.(4,7,0)
B. (7,4,0)
C.(4,7,0)-
D.(7,4,0)--
6．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中
点，异面直线,AD BE
所成的角为，则二面角D AC B --的
大小为 ．
7．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到
三个面,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 8．给出下列四个命题：①如果直线a ⊂平面β，且//αβ，则直线a 与平面α的
距离等于平面α与平面β的距离；②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这
两条平行直线的距离等于这两个平行平面间的距离；③异面直线,a b 分别在两个平行平面内，则,a b 的距离等于这两个平面的距离；④若点A 在平面α内，平面
α//平面β，则A 到平面β的距离等于平面α与平面β的距离。

则其中所有正确
的命题的序号是
【学习笔记】
9．如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧棱长为2，底面△ABC 中，∠B=90°，AB=1， BC=3，D 是侧棱CC 1上一点，且BD 与底面所成角为30°. （1）求点D 到AB 所在直线的距离. （2）求二面角A 1－BD －B 1的度数.
10.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，90ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ． （1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角P BD C --的大小； （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB ．。