内蒙古巴彦淖尔市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

内蒙古巴彦淖尔市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A
．
53
B ．
329
C ．
43
D ．
259
【答案】B 【解析】 【分析】
计算求半径为2R =，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案. 【详解】
如图所示：设球半径为R ，则()2
2
233R R =-+，解得2R =.
故求体积为：3
143233V R ππ==，圆锥的体积：2213333V ππ=⨯=，故12
329V V =. 故选：B .
【点睛】
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0
C ．2-
D ．2±
【答案】B 【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出
()f x 的周期，进而算出()2019f .
【详解】
()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-
()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--
而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--
()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-
故()f x 为周期函数，且周期为4
()()201910f f ∴=-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 3．给出50个数 1，2，4，7，11，
，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个
数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )
A ．i 50≤；p p i =+
B ．i 50<；p p i =+
C ．i 50≤；p p 1=+
D ．i 50<；p p 1=+
【答案】A 【解析】 【分析】
要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定
【详解】
因为计算这50个数的和，循环变量i 的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为1i i =+，第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，这样可以确定语句②为p p i =+，故本题选A. 【点睛】
本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
4．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．23【答案】A 【解析】 【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2
CD ，则CD 的长可求． 【详解】 解：
CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
1
||||cos1202442
CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．
∴244162416CD =++-⨯=，
||4CD ∴=，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．已知函数()2ln 2,03,02x x
x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在
()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )
A ．13
(,)34
B ．13(,)24
C ．1(,1)3
D ．1(,1)2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定
(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.
【详解】
()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--
∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点
由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-
()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增
由此可得()f x 图象如下图所示：
其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C
由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21
ln 10
AC m m m k m m -+=-=
-，解得：1m =
设2
3,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则2
3132220
AB
n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31
222
AB k ∴=-+=-
11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝
⎭，则1,12k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 6．函数2()1cos 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、C ，再判断函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上函数值与0的大小，即可得出答案. 【详解】
解：因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫
=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
， 所以()()111()cos cos cos 111x x x x x x
e e e
f x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭
， 所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ；
又当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，()0f x <，可排除D ； 故选：B. 【点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：
①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式
1
()3
V S S h =下上•）.
A ．2寸
B ．3寸
C ．4寸
D ．5寸
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量2221
9(106)
33
14πππ
⨯⨯==，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
8．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1x
x
f x e e
-=--，若()1f a =，则()f a -=( )
A ．1-
B ．1
C ．3
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用()f a 与()f a -的关系，求得()f a -的值. 【详解】
依题意()11,2a
a
a a f a e e
e e --=--=-=，
所以()()11213a
a a a f a e e e e ---=--=---=--=-
故选：D 【点睛】
本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.
9．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}
|()0B x f x '
=≤，则A
B =（ ）
A ．[-1,0]
B ．[-1,2]
C ．[0,1]
D ．(,1][2,)-∞⋃+∞
【解析】 【分析】
分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】
2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤
， ∴{|01}A
B x x =≤≤．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.
10．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为
A ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定
为2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 11．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l 被圆所截得的弦
长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11 C ．7-
D ．9-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离
d ，结合弦长公式得
=9m =-或11m =，故选A ． 22
△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率
e =（ ） A ．
4
3
B ．
54
C ．
65
D ．
76
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题干得到点A
坐标为()
3x ，
代入抛物线得到坐标为()
6b ，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】
因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA
为y x =
，设点A
坐标为()
3x ，代入抛物线得到x=2b,故点A
的坐标为()
6b
，代入双曲线得到22137
.366
b e a =⇒== 故答案为：D. 【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数423,0,()log ,0,
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩若关于x 的不等式()f x a >的解集为()2
,a +∞，则实数a 的所有可能
值之和为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】
由分段函数可得0a 不满足题意；0a >时，2log x a >，可得2a x >，即有22a a =，解方程可得2a =，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和． 【详解】
解：由函数423,0
()log ,0
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，可得
()f x 的增区间为(,0)-∞，(0,)+∞，
0x <时，()(0f x ∈，43)-，0x >时，()f x ∈R ，
可得0a 不成立，
0a >时，1
081
a
<时，不成立； ()f x a >，即为2log x a >，
可得2a x >，即有22a a =， 显然2a =，4成立；由2x
y =和2y x 的图象可得在0x >仅有两个交点．
综上可得a 的所有值的和为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题．
14．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.已知方程()1sin 22x x e f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14
x x g π
⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，则a =__________，()8h =__________.
【答案】2 4 【解析】 【分析】
根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可. 【详解】
解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的实数根是函数()f x 和函数1π1π
图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为
6e ，所以63e ea =，故2a =.
因为()2
353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫
=+=-+
⎪⎝⎭
，
所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=-
-+⎢⎥⎣⎦35
cos 222
x π
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.
故答案为：2；8 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
15．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________. 【答案】27π
4
【解析】 【分析】 【详解】
一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,2221+2+2=3,所以容器体积的最小值为2327π
π()3=
24
⨯⨯. 16．已知向量a 与b 的夹角为3
π
，|a |＝|b |＝1，且a ⊥（a -λb ），则实数λ=_____. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据条件即可得出21
12
a b a ⋅==，，由()a a b λ⊥-即可得出()
0a a b λ⋅-=，进行数量积的运算即可求出λ． 【详解】
∴()
2
102
a a
b a a b λ
λλ⋅-=-⋅=-=；
∴λ＝1． 故答案为：1． 【点睛】
考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，过点()2,2M 且平行与x 轴的直线交椭圆()2
202
x y m m +=>于A 、B 两点，且3AM MB =.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M 且斜率为正的直线交椭圆于段C 、D ，直线AC 、BD 分别交直线2x =于点E 、F ，求证：
11ME MF
-是定值. 【答案】（1）22
12412
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意求得,A B 的坐标，代入椭圆方程求得m ，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线CD 的方程，联立直线CD 的方程和椭圆方程，可得关于x 的一元二次方程，设出,C D 的坐标，分别求出直线AC 与直线BD 的方程，从而求得,E F 两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证
得11ME MF
-为定值. 【详解】
（1）由已知可得：()4,2A -，()4,2B 代入椭圆方程得：12m =
∴椭圆方程为22
12412
x y +=；
（2）设直线CD 的方程为()22y k x =-+，代入2
2
224x y +=，得：
()2
2
2128(1)816160k x
k k x k k ++-+--=
设()11,C x y ，()22,D x y ，则有()1228112k k x x k -+=+，2122
81616
12k k x x k
--=+ 则AC 的方程为()()112424k x y x x -=
+++，令2x =，得()
116224
E
k x y x -=++ BD 的方程为()()222424k x y x x -=
-+-，令2x =，得()
222224
F k x y x --=
+- ()()
1212441111
226222E F x x ME MF y y k x k x +-∴
-=-=----- ()()()()()()()()122112121212124234221032622624x x x x x x x x k x x k x x x x +-----++-==---++⎡⎤⎣⎦
()()222
2
22
8181616
2103212128181616
6241212k k k k k k k k k k k k k ----+-++=-⎡⎤---+⎢⎥++⎣⎦
222222
16323280803264482
723
681616161648k k k k k k k k k k k k k -+++----===-⎡⎤---+++⎣⎦，证毕. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题． 18．若0,0a b >>,
且
11
a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【答案】（1
）（2）不存在. 【解析】 【分析】 （1）
由已知
11
a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；
（2）由基本不等式可求23a b +
的最小值为
6>，故不存在．
【详解】
（111
a b =
+≥，得2ab ≥，且当a b ==
故33+a b ≥≥a b ==
所以33+a b 的最小值为
（2）由（1）知，23a b +≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立． 【考点定位】 基本不等式．
19．在最新公布的湖南新高考方案中，“312++”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：
（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？
（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.
附：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
（3）某高校A 在其热门人文专业B 的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备A 高校B 专业报名资格的人数为X ，用样本的频率估计概率，求X 的分布列与期望.
【答案】（1）不需调整（2）列联表见解析；有99%的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为
12
0.340
p =
=．用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望． 【详解】
（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．
（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：
则2
40(191056)7.111 6.63525152416
K ⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯， ∴有99%的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．
（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为
12
0.340
p =
=． 用频率估计概率，则~(3,0.3)X B ，分布列如下：
数学期望为()30.30.9E X np ==⨯=． 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
20．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A 、B 、C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
假设所有植株的生长情况相互独立．从A 、B 、C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于15厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为0μ．从A 、B 、C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14、16、15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为
1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）27；（2）1049
；（3）01μμ<．
【解析】 【分析】
设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、
、7，可得出()()()1
7
i i i P A P B P C ===
. （1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，可得12D C C =⋃，且1C 、2C 互斥，利用互斥事件的概率公
式可求得结果；
（2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断0μ和1μ的大小即可. 【详解】
设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1i =、2、
、7．
由题意可知()()()1
7
i i i P A P B P C ===
，1i =、2、、7．
（1）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知12D C C =⋃，
又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率()()()()121227
P D P C C P C P C =⋃=+=； （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃． 所以事件E 的概率()()()()()()4151617152P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++
()()()()()6272637374P A B P A B P A B P A B P A B +++++
()()()414110101049
P A B P A P B ===
； （3）01μμ<. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
21．在直角坐标系中，已知曲线C
的参数方程为11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ
为参数），以原点为极点，x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为6
6θααπ
π⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为
2
π
θα=+
.
（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2cos 2sin =+，曲线C 是以()1,1
为半径的圆；（Ⅱ）[]1,2. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+，22cos 2sin 22OB ρααππ⎛⎫⎛⎫==+
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1212S ρρ∆OAB =，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】
解：
（Ⅰ）由11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()()22
112x y -+-=
()()
22
cos 1sin 12ρθρθ-+-=，整理得2cos 2sin =+
曲线C 是以()1,1
为半径的圆. （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+
22cos 2sin 2sin 2cos 22
OB ρααααππ⎛⎫
⎛⎫
==+++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()22121
2cos sin 2cos 22
S ρρααα∆OAB =
=-= 66
αππ-
≤≤，233αππ∴-≤≤，1
cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，
ABO ∆面积的取值范围为[]1,2
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 22．已知函数()2
2
x
k f x e x =-
有两个极值点1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；
（2）证明：()()
1212
f x f x k x x +<. 【答案】（1）(),e +∞ （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求得导函数()f x '，根据两个极值点可知()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根，构造函数
()x g x e kx =-，求得()g x '；讨论0k ≤和0k >两种情况，即可确定()g x 零点的情况，即可由零点的
情况确定k 的取值范围；
（2）根据极值点定义可知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，代入不等式化简变形后可知只
需证明122x x +>；构造函数()x x h x e =
，并求得()h x '，进而判断()x
x h x e =的单调区间，由题意可知()()121
h x h x k
==
，并设1201x x <<<，构造函数()()()2x h x h x ϕ=--，并求得()x ϕ'，即可判断()x ϕ在01x <<内的单调性和最值，进而可得()()20h x h x --<，即可由函数性质得()()212h x h x <-，进而由单调性证明
212x x >-，即证明122x x +>，从而证明原不等式成立.
【详解】
（1）函数()22
x
k f x e x =-
则()x
f x e kx '=-，
因为()f x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根.
设()()x
g x f x e kx '==-，所以()x
g x e k '=-.
①当0k ≤时，()0x
g x e k '=->，
所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当0k >时，令()0x
g x e k '=-=得ln x k =，
所以()()min ln ln 0g x g k k k k ==-<，即k e >. 又因为()010g =>，()2
0k
g k e k =->，
所以()g x 在区间()0,ln k 和()ln ,k k 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数k 的取值范围为(),e +∞.
（2）证明：由题意知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，
所以11x
e kx =，22x
e kx =.
要证明
()()
1212
f x f x k x x +<， 只需证明
()1222
1212
122222
x x k k e x e x k k x x k x x -
-+=-+<，
只需证明122x x +>.
因为11x
e kx =，22x
e kx =，所以
12121x x x x e e k
==. 设()x x h x e =
，则()1x
x
h x e -'=， 所以()h x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数. 因为()()121
h x h x k
==
， 不妨设1201x x <<<，
设()()()2x h x h x ϕ=--，01x <<， 则()()()()22111
1+21x x x x x x x h x h x x e e e e ϕ----⎛⎫
'''=-=-=-- ⎪⎝⎭
， 当()0,1x ∈时，10x ->，
211x x
e e ->， 所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上是增函数， 所以()()10x ϕϕ<=，
所以()()20h x h x --<，即()()2h x h x <-. 因为()10,1x ∈，所以()()112h x h x <-， 所以()()212h x h x <-.
因为()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞，且()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以212x x >-， 即122x x +>， 所以原命题成立，得证. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
23．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.
（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求1BD 与该平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）1
3
. 【解析】 【分析】
（1）1A C 与平面1BDC 垂直，过点E 作与平面1BDC 平行的平面即可 （2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值 【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中F ，G ，H ，I ，J 分别为边11C D ，1DD ，AD ，AB ，1BB 的中点，则1A C 垂直于平面EFGHIJ .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()2,2,0B ，()10,0,2D ，()1,0,0H ，()2,1,0I ，()0,0,1G ，所以()12,2,2BD =--，()1,1,0HI =，
()1,0,1HG =-.
设平面EFGHIJ 的一个法向量为(),,n x y z =，则0
0x y x z +=⎧⎨-+=⎩
.
不妨取()1,1,1n =-，则
11cos ,3BD n ==， 所以1BD 与该平面所成角的正弦值为13. （若将1
AC 作为该平面法向量，需证明1A C 与该平面垂直） 【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.。