高中数学章末知识梳理课件新人教A版必修第二册

2．两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的等价条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0， (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
典例 1 若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且C→D＝4D→B＝rA→B＋ sA→C，则 3r＋s 的值为( C )
A．156 C．85
B．152 D．45
[解析] 因为C→D＝4D→B＝rA→B＋sA→C， 所以C→D＝45C→B＝45(A→B－A→C)＝rA→B＋sA→C， 所以 r＝45，s＝－45，所以 3r＋s＝152－45＝85.
由正弦定理得sin C∠HCAH＝sin ∠ACAHC， 所以 CH＝AC·ssiinn ∠ ∠CAHAHC＝140 6(m)． 故该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6 m.
cos cos
A＝b2＋2cb2c－a2； B＝a2＋2cc2a－b2；
④ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
cos C＝a2＋2ba2b－c2
要点专项突破
要点一
平面向量的线性运算及应用
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性
运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和
运用要注意向量的大小和方向两个方面．
(2)求解策略 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一 定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． ②字符表示下线性运算的常用技巧 首尾相接用加法的三角形法则，如A→B＋B→C＝A→C；共起点两个向量作 差用减法的几何意义，如O→B－O→A＝A→B.
且A→C＝A→B＋A→D，所以12λ－λ＋μμ＝＝1，1，
得λ＝43， μ＝31，
所以 λ＋μ＝53，故选 B．
要点二
向量的数量积
数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题:
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题
对点练习❷ 已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E
分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则A→F·B→C
的值为( B )
A．－58
B．18
C．14
D．181
[解析] ∵B→C＝A→C－A→B，A→F＝A→D＋D→F ＝12A→B＋32D→E＝12A→B＋34A→C， ∴B→C·A→F＝(A→C－A→B)·12A→B＋34A→C ＝34A→C2－12A→B2－14A→C·A→B ＝34×1×1－12×1×1－14×1×1×cos 60°＝18.
(2)由余弦定理，得 9＝a2＋c2－2accos B． ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9. ∵a＋b＋c＝3＋2 3，b＝3，
∴a＋c＝2 3，∴ac＝3，∴S△ABC＝12acsin B
＝12×3×
23＝3 4
3 .
对点练习❹ 在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则coAsCA的值等 于___2__，AC 的取值范围为___(__2_，____3_)___.
第六章 平面向量及其应用
章末知识梳理
知识体系构建 核心知识归纳 要点专项突破
知识体系构建
核心知识归纳
1．五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量． (2)零向量：模为0的向量． (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量． (4)相等向量：模相等，方向相同的向量． (5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
7．正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 公式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR； ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
[解析]
根据正弦来自定理得
：
AC sin B
＝
BC sin A
，
因
为
B＝ 2A，化简得
AC 2sin Acos
A＝sin1
A，即coAsCA＝2.
因为△ABC 是锐角三角形，C 为锐角，所以 A＋B>π2，由 B＝2A 得到
A＋2A>π2且 2A＝B<π2，从而解得：π6<A<π4，于是 2<2cos A< 3，又 2cos A
①设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21. ②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
典例 2 已知 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ 3 |a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
[解析] (1)由|ka＋b|＝ 3|a－kb|， 得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝ cos2α＋sin 2α＝1， |b|＝ cos2β＋sin 2β＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝2k82＋k 2＝k24＋k 1(k>0)．
对点练习❶ 如图所示，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点， 若A→C＝λA→M＋μB→D，则 λ＋μ 等于( B )
A．43 C．185
B．53 D．2
[解析] 因为A→C＝λA→M＋μB→D ＝λ(A→B＋B→M)＋μ(B→A＋A→D) ＝λA→B＋12A→D＋μ(－A→B＋A→D) ＝(λ－μ)A→B＋2λ＋μA→D，
[解析] ∵A→D＝λB→C，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－60°＝120°， A→B·A→D＝λB→C·A→B＝λ|B→C|·|A→B|cos 120° ＝λ×6×3×－12＝－9λ＝－32， 解得 λ＝16， 以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴 建立如图所示的平面直角坐标系 xBy，
3)＋μ
3× 23，－
3×12，
即
3＝μ×
3× 23，
0＝ 3λ－ 3×12μ，
则μ＝2 3 3， λ＝ 33，
所以 λ＋μ＝ 3.
对点练习❸ 如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，
BC＝6，且A→D＝λB→C，A→D·A→B＝－32，则实数
λ
1 的值为____6__，若
M，N
是线段 BC 上的动点，且|M→N|＝1，则D→M·D→N的最小值为___12_3__.
A． 3
C．4
3 3
B．
3 3
D．2 3
[解析] 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所
在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则 O(0,0)，A(0， 3)，C( 3，0)， B( 3cos 30°，－ 3sin 30°)， 因为O→C＝λO→A＋μO→B，
所以(
3，0)＝λ(0，
4．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
典例 5 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象 观测仪器的垂直弹射高度，如图，在 C 处进行该仪器的垂直弹射，观测 点 A，B 两地相距 100 m，∠BAC＝60°，在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚127 s．A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15°，A 地测得该仪器在最 高点 H 时的仰角为 30°，求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气中的 传播速度为 340 m/s)
要点三
平面向量在几何中的应用
把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐
标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的
解题方法具有普遍性．
典例 3 如图，半径为 3的扇形 AOB 的圆心角为 120°，点 C 在A︵B
上，且∠COB＝30°，若O→C＝λO→A＋μO→B，则 λ＋μ 等于( A )
[分析] 由声速可得AC和BC之间的关系，再结合已知A，B之间的距 离，可在△ABC中求解得到AC的长，进而在△ACH中，根据条件由正弦 定理求得高度CH.
[解析] 由题意，设 AC＝x m，则 BC＝x－127×340＝(x－40)(m)． 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC， 即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420. 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－ 30°＝60°.
做到不漏解、不多解．
3．很多考题是在正、余弦定理的应用下聚焦于简单的三角恒等变 换．
典例 4 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋ 2c)cos B＋bcos A＝0.
(1)求B； (2)若 b＝3，△ABC 的周长为 3＋2 3，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由已知及正弦定理得 (sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， 即(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin C·cos B＝0， 即sin (A＋B)＋2sin Ccos B＝0， 又sin (A＋B)＝sin C， 且C∈(0，π)，sin C≠0， ∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.
∵BC＝6，∴C(6,0)，
∵AB＝3，∠ABC＝60°，∴A
的坐标为
A32，3
2
3，
又∵A→D＝16B→C，则
D52，3
2
3，设
M(x,0)，则
N(x＋1,0)(其中
0≤x≤5)，
D→M＝x－52，－3
2
3，D→N＝x－32，－3
2
3，
D→M·D→N＝x－52x－32＋32 32＝x2－4x＋221＝(x－2)2＋123，
(2)a·b＝k24＋k 1＝14k＋1k. 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝14k＋1k在(0,1]上单调递减，在[1， ＋∞)上单调递增， ∴当 k＝1 时， f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12， 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
5．向量的投影 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝a|b·b| ，其中 θ 为 a 与 b 的夹角．
6．向量的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a. (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝ λ(a·b)＝a·(λb)． (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
所以，当 x＝2 时，D→M·D→N取得最小值123.
要点四
综合利用正弦、余弦定理解三角形
1．已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及 正弦定理解此三角形．
2．已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是 不确定的．如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可 能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必
＝AC，故 2<AC< 3.
要点五
余弦、正弦定理在实际问题中的应用
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉
及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，
关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定
理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．