2015年4月9日兰州市二诊数学(文)(word版)及答案

2015年兰州市高三实战考试
数学(文)
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自忆的姓名、考号填写的答
题纸上.
2. 本试卷满分150分.考试用时120分种.答题全部在答题纸上，试卷上答题无效.
第Ⅰ卷
二、选 择题:(本大题12小题，每 小题5分，共60分。

在每 小题给 出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知全集{1,2,3,4,5,6,7U =}，{}1,3,5,6A =则U A =ð ( C ) A. {}1,3,5,6 B. {}2,3,7 C. {}2,4,7 D. {}2,5,7
解: U A =ð{1,2,3,4,5,6,7}-{}1,3,5,6{}2,4,7=
2.1i z i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = ( B )
. 2A B . 1C . 2
D
1, 1i z i i z i z ⋅=-⋅=+=解∵∴∴3.已知ABC △内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2222cosC c a b ab =++，，则C = ( D )
.
6A π . 4B π
. 3C π . 2D π
解：∵ 2222cosC c a b ab =++ ,又2222cosC c a b ab =+-∵ ,cos 0C =∴ ,2
C π
=
∴
4.已知命题:,cos()cos p R απαα∈-=∃;命题2
:,10q R x ∈+>∀.则下面结论正确的是( A) A.p q ∨是真命题 B.p q ∧是假命题 C.p ⌝
是真命题 D.p 是假命题
解:因为
2π
α=
时, cos()cos παα-=,所以p 是真命题,又因为2,0R x ∈∀≥,
所以2
,110R x ∈+>∀≥,所以q 是真命题,所以p q ∨是真命题.
5.已知实数,x y 满足x y
a a <(01a <<),则下列关系式恒成立的是( A )
33
. A x y >
. sin sin B x y
>
22. ln(1)ln(y 1)
C x +>+
2211
.
11D x y >
++
解:x y a a <∵, 01a <<,x y >∴ ,3
3
x y >∴ ,但2
2
x y x y >⇒>
6.已知点F 是抛物线2
4y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=,则MN 中点到准线的 离为( C )
3A. B.2 C.3 D.42
解：因为MN 的中点到准线的距离是,M N 到准线距离的中位线长，故为()1
32
MF NF += 7.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是( B )
. 29
A
B
. 13C
D
解：三视图所示的几何体是四棱锥S ABCD - ，如图:
2SD AD ==, 4BC = ,3AB = ,
且SA ABCD ⊥平面
，SD =∴，
SB =
，SC =
所以最长的侧棱长为SC =
正视图
4
S
A
B
D
C
8.阅读右侧程序框图，如果输出5
i=,那么在空白矩形框( C ) 中应填入的语句为
. 2*2
A S i
=-
. 2*i1
B S=-
. 2*
C S i
=
. 2*4
D i+
解:①1,022*i15
i S i S
==→=→=+=
不是奇数
②3
i=是奇数,从选项看，前次S值无效，要重新计算，这时选项都适合条件，进入下一次循环；
③42*1910
i S i
==+=<
不是奇数,
,进入下次循环；
④5910
i S
==<
是奇数,,这时选项A和B都适合条件循环，只有C不符合条件，输出i, 所以选项C是正确的。

9.已知长方体
1111
ABCD A B C D
-的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且
1
,2
AB AA AD
==，
则四棱锥
1
D ABCD
-的体积为( B )
A B C D
1
,2
AB AA AD
==
解∵
1
,2
AD a AB AA a
===
设则
∴
又因为长方体的对角线是其外接球的直径，
22222
1
(2)8
r AD AB AA a
=++=
∴
2222
2,416,4
r a r r
ππ
===
又
∴∵∴,a=
∴
1
1
11
333
D ABCD ABCD
V S AA
-
=⨯⨯==
∴ .
B
1
a
10.定义运算:
1214233
4
a a a a a a a a =-
，若将函数sin ()cos x
f x x
=
的图象向左平移(0)m m >个单位长
度后，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( A )
5.
6A π .8B π
. 3
C π
2. 3D π 解: ∵
sin ()sin 2sin()3cos x
f x x x x x
π=
=-=--
∴ 向左平移(0)m m >个单位长度后得：2sin()3
y x m π
=-+-
又因为平移后的图象关于y 轴对称，所以2sin()3
y x m π
=-+-
是偶函数，
3
2
m k π
π
π-
=+
∴ , 56m k ππ=+
∴,50, 06
m k m π
>=时,取得最小值∵∴ 11.已知椭圆C 的中心为O ,两焦点为1F 、2F ，M 是椭圆C 上一点，且满足1222MF MO MF ==u u u u r
u u u u r
u u u u r
，则椭圆的离心率e =
( D )
.
A 2
.
3B
C
D 解:设2MF m =u u u u r
,则12, MF m MO m ==u u u u r
u u u u r
12121, 22MN F F F F OF c ⊥==∵, 又2MO MF =∵ ,N ∴为2OF 中点
2222
1122MF F N MF F N -=-∴ ,∴ 22223(2)(
)()22
c c
m m -=-
,2c m =∴ 3
23,2
a m a m ==
∴∴
,e =∴ 12.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈,且2
2
(y 23)(41)0f y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1
y
x +的取值范围是( D )
4. [0,]3A 3. [0,]4B 11. [,]43C 13. [,]44
D
解:因为()1cos 0f x x '=+≥,所以函数递增，又()sin()()f x x x f x -=-+-=-,所以()f x 是奇函数
又22(y 23)(41)0f y f x x -++-+≤ , 222
(y 23)(41)(41)f y f x x f x x -+-+=-+-≤-
1F
2F
O N
M
22y 2341y x x -+-+-∴≤, 22(2)(1)
x y -+-∴令
1y k x =+,则(1)y k x =+,1344
k ∴≤≤ 13tan ,tan 234
θθ== .
第II 卷
本卷包括必 考题和选考题两部分.第12～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~24题为选
考题，考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量2
(1,2)a x x =-+r ，(,1)b x =r ，若a b r r ∥,则____________________x =. 解：a b r r ∵∥,∴2
1(2)x x x -=+,12
x =-∴ ,
14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 _________________________.
解:甲任选一件运动服有3种选法，乙也有3种选法，所以甲、乙各自任选一套运动服，不同选法共
有9种，他们所选运动服相同共有3种，所以他们选择相同颜色运动服的概率为13
.
15.已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y k +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥≤≤≤,z x y =+,若z 的最大值为12，则k =___6______.
解:
16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1 ，E 、F 分别为棱1AA 与1CC 的中点，过直线EF 的平面
分别与1BB 、1DD 相交于点M 、N .设,[0,1]BM x x =∈有以下命题： ①平面MENF ⊥平面11BDD B ； ②当1
2
x =
时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 的周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥1C MENF -的体积()V g x =为常函数。

其中下确结论的序号是__ _①②④_______________.（将正确结论的序号都填上） 三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和231
22
n S n n =- . (I)求数列{}n a 的通项公式.
(II)设2n a
n b =，求证:1227
n b b b +++>L .
18.(本小题满分12分)
在直三棱柱111ABC A B C -中，,,D E F 分别是11BB AA AC 、、的中点，AC BC =
，AB =
.
1CD C D ⊥.
(I)求证:CD BEF 平面∥
(II)求证：平面BEF ⊥平面11AC D .
19.(本小题满分12分)
据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟.该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.
（I ）求频率分布直方图中a 的值.
（II ）为减轻学生负担,学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽
样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿.
20.（本小题满分１2分）
已知点P 为y 轴上的动点,点M 为x 轴上动点，点(1,0)F 为定点，且满足10,2
PN NM +=u u u r u u u u r r
0PM PF ⋅=u u u u r u u u r r .
(I)求动点N 的轨迹E 的方程.
(II)过点F 且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于两点A B 、，试判断在x 轴上是否存在点C ，使得
222
CA CB AB += 成立，请说明理由。

21.(本小题满分12分) 已知函数()2ln 1
m
f x x x =+
+.
(I)当函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线410y x -+=垂直时，求实数m 的值； (II)若1x ≥时，()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，在正ABC △中,点D E 、分别在边BC AC 、上,且13BD BC =,1
3
CE CA =,AD BE 、相交于点P . 求证:
(I)四点P D C E 、、、 共圆. (II)AP CP ⊥.
23.(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的方程为cos 1sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩，（α为参数），以原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )50ρθθ-+=.
D
A
P
B
C
E
（I ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（II ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 的距离的取值范围.
24.(本小题满分10分，选修4—5:不等式选讲
设函数()1()f x x x a a R =-+-∈.
( I )当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；
(II )若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
2015年兰州市高三实战考试 数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题
11.解析：过M 向椭圆的长轴做垂线，垂足为N ，则N 为2OF 的中点，设2||MF t =，则有 2221122||||||||MF F N MF F N -=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，即222291444t c t c -=-，所以，2c t =，而3
2
a t =，所以e =12.解析：因为，()sin()()f x x x f x -=-+-=-，且'()1cos 0f x x =+≥， 所以函数为奇函数，且在R 是增函数. 所以，由22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤得
2222(23)(41),2341f y y f x x y y x x -+≤-+--+≤-+-.
即22424)0,x y x y +--+≤22(2)(1)1x y -+-≤，其表示圆22(2)(1)1x y -+-=及其内部.
1y
x +表示满足22
l (2)(1)1y x y ≥⎧⎨-+-≤⎩
的点P 与定点(1,0)A -连线的斜率.结合图形分析可知，直线AC 的斜率
101
3(1)4
-=--最小，切线AB 的斜率22122tan 33tan tan 211tan 4
1()3
PAX BAX PAX PAX ⨯
∠∠=∠==
=-∠-最大 二、填空题
13. 1
2- 14. 13 15. 6 16. ①②④
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）∵231
22
n S n n =-
∴2n ≥时，2213131
(1)(1)322222
n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-
当1n =时，1321a =-=
∴ 32n a n =- …………………6分 （Ⅱ）∵3222n a n n b -==
为首项，以8为公比的等比数列
2(81)7
n =- …………………12分 18. 证明：（Ⅰ）连接1A C
∵D 、E 、F 分别是1BB 、1AA 、AC 的中点 ∴1A D ∥BF ，1A C ∥EF
∵在平面1A CD 中11
1A D AC A =I 在平面BEF 中BF EF F =I ∴平面1A CD ∥平面BEF ，而CD ⊂平面1A CD
∴CD ∥平面BEF …………………6分 （Ⅱ）依题意有AC BC ⊥
∴11A C ⊥平面11BCC B
∴11A C ⊥CD
∵1CD C D ⊥
∴CD ⊥平面11AC D ，而CD ⊂平面1A
CD ∴平面1A CD ⊥平面11AC D
由（Ⅰ）知平面1A CD ∥平面BEF
∴平面BEF ⊥平面11AC D …………………12分
19. 解：(Ⅰ) 有频率直方图可得
(0.00140.00210.00300.00600.025)201a +++++⨯=
0.0125a = …………………5分 (Ⅱ) 新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
(0.00300.00210.0014)200.13++⨯= …………………9分 所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为
6000.1378⨯= …………………12分
20. 解：（Ⅰ）设(,)N x y ，则由12
PN NM +=0u u u r u u u u r ，得P 为MN 的中点. ……2分 ∴(0,)2
y P , (,0)M x -. ∴(,)2y PM x =--u u u u r , (1,)2
y PF =-u u u r .
∴2
04
y PM PF x ⋅=-+=u u u u r u u u r , 即24y x =. ∴动点N 的轨迹E 的方程24y x =. ………………5分
（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去x 得2440y y k --=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y , 则 124y y k
+=
, 124y y =-. ………………6分 假设存在点(,0)C m 满足条件，则11(,)CA x m y =-u u u r , 22(,)CB x m y =-u u u r , ∴2121212()CA CB x x m x x m y y ⋅=-+++u u r u u u r 22221212()()444
y y y y m m +=-+- 221212[()2]34
m y y y y m =-+-+- 224(
2)3m m k =-+-. ………………9分 ∵224(2)120k
∆=++>, ∴关于m 的方程224(
2)30m m k -+-=有解 . ………………11分 ∴假设成立，即在x 轴上存在点C ，使得222||||||CA CB AB +=成立.…………12分
21. 解：（Ⅰ）∵22()(1)
m f x x x '=-+ ∴函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率(1)24
m k f '==- ∵函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线410y x -+=垂直 ∴1244
m -=- ∴9m = ………………5分 （Ⅱ）依题意不等式2ln 11
m x x +≥+在1x ≥时恒成立 ∴12(1)ln m x x x ≥+-+在1x ≥时恒成立
令()12(1)ln g x x x x =+-+（1x ≥），则
2(1)22ln ()1[2ln ]x x x x g x x x x
+++'=-+=- ………………8分 ∴1x ≥时，()0g x '<
∴函数()g x 在1x ≥时为减函数
∴()(1)2g x g ≤=
∴2m ≥
即实数m 的取值范围是[2,)+∞ ………………12分
22. 证明：（I ）在ABC ∆中
∵13BD BC =,13
CE CA =知ABD ∆≌BCE ∆ ∴ADB BEC ∠=∠
∴ADC BEC π∠+∠=
所以四点,,,P D C E 共圆 ………………5分 （II ）连结DE ,在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=o ,由正弦定理知90CED ∠=o 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠,所以.AP CP ⊥ ………………10分
23. 解：（I ）由cos 1sin x y αα
=⎧⎨=+⎩(α为参数)得
22(1)1x y +-= ………………2分 由(cos sin )50ρθθ-+=得
cos sin 50ρθρθ-+=
即50x y -+= ………………5分 （II ）由（I ）知1
C 为以(0,1)为圆心，1
为半径的圆 ，2C 为直线， ∵ 1C 的圆心(0,1)到2C
1=> ∴
2C 与1C 没有公共点
∴max ||1PM =+
min ||1PM = ∴||PM 的取值范围是1]- ………………10分
24. 解：（I ）当4a =时，|1|||5x x a -+-≥等价为 1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤<⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩ 解得0x ≤或5x ≥
所以不等式()5f x ≥的解集为{|x 0x ≤或5x ≥} ………………5分 （II ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=- 所以min ()|1|f x a =-
要使()4f x ≥对a R ∈恒成立，则须|1|4a -≥即可 所以3a ≤-或5a ≥
即实数a 的取值范围是{|a 3a ≤-或5a ≥} ………………10分 以上各题若有其它解法，请酌情给分.。