重难点突破12 导数中的“距离”问题(七大题型)(原卷版)

重难点突破12 导数中的“距离”问题
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导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数()()()2
2
3ln 3f x x t x t =-+-，其中R t ∈，若存在0x ，使得()0910f x ≤
成立，则实数0x
t
的值为_________.
例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数,,,a b c d 满足2ln 21b a d c ==+，，则
()()
22
a c
b d -+-的最小值______.
例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数a b c d ,,,满足223ln (2)0b a a c d +-+-+=，则
22()()a c b d -+-的最小值为_____．
变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数a ，b ，c ，d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则
()()
22
a c
b d -+-的最小值为___．
变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数a b c d ,,,满足：
(
)
()2
2
e 20a b c d -+--=，则22()()a c b d -+-的最小值为________
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2632()2e 6e 10x x f x x ax a a =-+-+的最小值是1
10
，则a 的值是_______
变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数()()()2
2
2ln 2f x x a x a =-+-，其中
0x a R >∈，，存在0x ，使得()045
f x ≤成立，则实数a =_______.
变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设()),0,a b a b Ω=>∈R ，当a ，b
变化时，则(),a b Ω的最小值______．
题型二：曲线与点的距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）若点(,0)A t 与曲线e x y =上点P 的距离的最小值为t 的值为 A ．ln 2
43
- B ．ln 2
42
-
C ．ln 3
33
+
D ．ln 3
32
+
例5．（2023·全国·高三专题练习）若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为t 为 A ．ln 23+ B ．ln32+
C ．1
ln 332+
D ．1
ln 222
+
例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点(,0)A t ，P 为曲线x y e =上动点，若点A ，P 间距离
t 的值为（ ）
A B ．5
2
C ．ln 2
22
+
D ．ln 3
22
+
题型三：曲线与圆的距离
例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知P 为函数ln y x =图象上任意一点，点Q 为圆()2
2211x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为___．
例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S 上任意一点P 和曲线T 上任意一点Q ，称||PQ 的最小值
为曲线S 与曲线T 的距离.已知曲线:S y =:T y =则曲线S 与曲线T 的距离为（ ）
A
12
- B C 1 D ．2
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2
211e e 4x y ⎡⎤⎛⎫-++=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为（ ）
A B
C D ．11e e 2
+-
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 为函数()ln e(2)f x x x =+>图像上任意一点，点Q 为圆
2
21e 11e x y ⎡⎤⎛⎫-+++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）
A B
C D
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 为函数()x f x e =的图象上任意一点，点Q 为圆22(1)1x y -+=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为（ ）
A 1
B ．1
C D 1
题型四：曲线与抛物线的距离
例10．（2023·全国·高三专题练习）设2(,)(0,)4b a b a b R ϕ=>∈，当a ，
b 变化时，(,)a b ϕ的最小值为_______.
例11．（2023·全国·高三专题练习）设D 2a +,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为
A B C 1
D 1
例12．（2023·全国·高三专题练习）设2
14a D =+.()a R ∈，则D 的最小值为
A
．2
B ．1
C
D ．2
题型五：曲线与曲线的距离
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点P 在曲线()ln 1y x =-上，点Q 在曲线1x y e -=上，则PQ 的最小值为___________.
例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点P 在曲线1
e 2
x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，
则||PQ 的最小值为__________．
例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点P 在曲线ln y x =上，点Q 曲线x y e =上，则PQ 的最小值为________．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P 在曲线221x y e +=+上，点Q 在曲线1y =+|PQ |的最小值为_____.
变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点P 在曲线21(0)y x x =+≥上，点Q 在曲线1)y x =≥上，则||PQ 的最小值为__________.
则|PQ |的最小值等于2=
变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点P 在曲线()x y a a e =>上，点Q 在曲线log a
y x
=
上，若min ||PQ ≤a 的取值范围是___________.
变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测）,A B 分别是函数1e x y -=和y =AB 与x 轴平行，则AB 的最小值是（ ） A ．1ln 2
2
- B ．1ln 2
2
+ C ．3ln 2
2- D ．
3ln 2
2
+
变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点P 在曲线()11e 2
x y -=上，点Q 在曲线ln(22)y x =-上，则PQ 的最小值为（ ）
A ．1ln2-
B ln 2)-
C ．1ln2+
D ln 2)+
题型六：横向距离
例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数()x f x e =，()1ln 22
x g x =+的图象
分别与直线()0y m m =>交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．2 B ．2ln2+
C ．21
+2
e
D ．32ln
2
e -
例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线y a =分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为
A ．43
B ．1
C ．
D ．4
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线1C ：
2y tx =(0,0)>>y t 在点4
(,2)M t
处的切线与曲线2C ：x y e =相切，若动直线y a =分别与曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为 A ．ln 31
3
+ B ．
ln 31
3
- C ．
1ln 2
2
+ D ．
1ln 2
2
-
变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数()2
ln f x x x x ⎛=-≥ ⎝⎭
，函数
()1
2
g x x =-
，直线y t =分别与两函数交于A 、B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()e x f x =，1
g()ln 2
x x =+的图像分别与直线y b =交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为（ ） A ．1 B ．1
2e
C ．
2ln 2
2
+ D ．ln3
e 2
-
变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数()e x
f x =，()1ln 22
x g x =+的图象与直线y m =分别交于A ，B 两
点，则AB 的最小值为（ ） A ．21e 2
+ B ．32e ln
2
- C ．2ln2+ D ．2
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线y a =与函数()x f x e =，()g x =A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．1
2ln 22
-
B ．11
ln 222-
C ．1
2ln 22+
D ．11ln 222
+
题型七：纵向距离
例19．（2023·全国·高三专题练习）直线x a =分别与曲线()ln f x x x =-和曲线()2
2g x x x =-+交于A ，B 两
点，则AB 的最小值为
A ．114
B ．2
C
D ．51
ln 222
+
例20．（2023·高二课时练习）动直线x m =（0m >）与函数2()f x x x =+，()ln g x x =的图象分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为（ ） A ．3
ln 24
+
B ．3ln2
C ．3ln 22
+
D ．3ln 2-
例21．（2023·高一课时练习）已知函数()sin(2)3
f x x π
=+，将()y f x =的图象向右平移
3
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，若动直线x t =与函数()y f x =和()y g x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大
值为 A ．2 B
C ．1
D ．1
2
变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线x a =与函数()1f x x =+，()()ln 21g x x =+的图像分别交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）
A ．1
ln 22
-
B ．1ln3-
C ．3
2ln 22-
D ．3
ln 22
-
变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线x a =与两曲线e x y =、ln y x =分别交于A 、B 两点，且曲线e x y =在A 点处的切线为m ，曲线ln y x =在B 点处的切线为n ，则下列结论正确的有（ ）
A ．存在()0,a ∈+∞，使//m n
B ．当//m n 时，AB 取得最小值
C ．AB 没有最小值
D ．2ln 2log e AB >+
变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线()0x a a =>分别与直线33y x =+，曲线2ln y x x =+交于A 、B 两点，则AB 的最小值为__________．。