新高考数学考点07 导数的运算及几何意义考点分类讲义练习题附解析1

8、【2020 年天津卷】.已知函数 f (x) x3 k ln x(k R) ， f (x) 为 f (x) 的导函数． （Ⅰ）当 k 6 时，
（i）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
【解析】(Ⅰ) (i) 当 k=6 时， f x x3 6 ln x ， f ' x 3x2 6 .可得 f 1 1， f '1 9 ，
x
所以曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 1 9 x 1 ，即 y 9x 8 .
所以，函数 g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为 g(1)=1，无极大值.
9、【2019
年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数
f
x
ln
x
x
1
.
x 1
（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，化简可得
.
故选 D.
5、(2019 年江苏卷).在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x
x+y=0 的距离的最小值是_____.
【答案】4.
【解析】当直线 x y 0 平移到与曲线 y x 4 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 x y 0 的距离 x
eln x0 ，故点 B（–lnx0，
1 x0
）在曲线 y=ex 上．
由题设知
f
(x0 )
0 ，即 ln x0
x0 x0
1 1 ，故直线
AB
的斜率 k
1 x0
ln
x0
ln x0 x0
1 x0 1
x0 x0 1
x0 x0
1 1
x0
1 x0
．
曲线
y=ex 在点
B( ln
x0 ,
1 x0
)
处切线的斜率是
4、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 f (x) x3 (a 1)x2 ax .若 f (x) 为奇函数，则曲线 y f (x) 在
点 (0, 0) 处的切线方程为 A． y 2x C． y 2x
【答案】D
B． y x D． y x
【解析】因为函数
是奇函数，所以
，解得
，所以
，
，
（2）设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x0，lnx0)处的切线也是曲线 y ex 的切线. 【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1） （1，+∞）．
因为
f '(x)
1 x
2 (x 1)2
0 ，所以
f
(x) 在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为
f（e）= 1
因此，所求切线的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1.
故选：B.
2、【2020 年全国 3 卷】.若直线 l 与曲线 y=
A. y=2x+1
1 B. y=2x+
2
1 x 和 x2+y2= 都相切，则 l 的方程为（ ）
5
1 C. y= x+1
2
11 D. y= x+
22
【答案】D
【解析】】设直线 l 在曲线 y x 上的切点为 x0 , x0 ，则 x0 0 ，
（Ⅱ）设曲线 y f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t) ，求 S (t) 的最小值．
【答案】（Ⅰ） 2x y 13 0 ，（Ⅱ） 32 .
【解析】（Ⅰ）因为 f x 12 x2 ，所以 f x 2x ， 设切点为 x0 ,12 x0 ，则 2x0 2 ，即 x0 1，所以切点为 1,11 ， 由点斜式可得切线方程 为 ： y 11 2 x 1 ，即 2x y 13 0 .
最小.
由
y 1
4 x2
1，得 x
2( 2舍) ， y 3 2 ，
即切点 Q( 2,3 2) ，
23 2
则切点 Q 到直线 x y 0 的距离为
4，
12 12
故答案为： 4 ．
6、(2019 年江苏卷)..在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点
7、【2020 年山东卷】已知函数 f (x) aex1 ln x ln a ．
（1）当 a e 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】（1） 2 （2）[1, )
e 1 【解析】（1） Q f (x) ex ln x 1， f (x) ex 1 ，k f (1) e 1.
考点 07 导数的运算及几何意义
考纲要求
①了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义； ②理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法 则求简单的导数；
近三年高考情况分析
导数的运算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填 空题中也体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。
【答案】D
【解析】∵ y aex ln x 1,
∴切线的斜率 k y |x1 ae 1 2 ， a e1 ，
将 (1,1) 代入 y 2x b ，得 2 b 1,b 1 .
故选 D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a，b 的等式，从而求解， 属于常考题型.
【解析】（Ⅰ）由 f (x) 1 x3 x2 x 得 f (x) 3 x2 2x 1.
4
4
令 f (x) 1，即 3 x2 2x 1 1，得 x 0 或 x 8 .
4
3
又 f (0) 0 ， f (8) 8 ， 3 27
所以曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程是 y x 与 y 8 x 8 ， 27 3
则 S t t4 24t2 144 1 (t3 24t 144) ，
4t
4
t
所以
St
1 4
(3t 2
24
144 t2 )
3(t 4
8t2 4t 2
48)
3(t2 4)(t2 12) 3(t 2)(t 2)(t2 12) ，
4t 2
4t 2
由 St 0 ，得 t 2 ，由 St 0 ，得 0 t 2 ，
e 1 e 1
0，
f
(e2 )
2
e2 e2
1 1
e2 e2
3 1
0 ，所以
f（x）在（1，+∞）有唯一零点
x1，
即
f（x1）=0．又 0
1 x1
1，
f
1 () x1
ln
x1
x1 1 x1 1
f
( x1 )
0 ，故
f（x）在（0，1）有唯一零点
1
．
x1
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为
1 x0
1 5
（舍），
则直线 l 的方程为 x 2 y 1 0 ，即 y 1 x 1 . 22
故选：D.
3、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 y aex x ln x 在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则
A． a e，b 1
B．a=e，b=1
C． a e1，b 1
D． a e1 ， b 1
函数 y
x
的导数为 y
1 2x
，则直线 l 的斜率 k
2
1 x0
，
设直线 l 的方程为 y
x0
2
1 x0
x x0 ，即 x 2
x0 y x0 0 ，
由于直线 l 与圆 x2 y2 1 相切，则 5
x0 1 4x0
1
，
5
两边平方并整理得 5x02
4 x0
1
0
，解得
x0
1，
x0
（Ⅱ）显然 t 0 ，
因为 y f x 在点 t,12 t2 处的切线方程为： y 12 t2 2t x t ，
令 x 0 ，得 y t2 12 ，令 y 0 ，得 x t2 12 ， 2t
所以 S t 1 t2 12 t2 12 ，
2
2|t|
不妨设 t 0 (t 0 时，结果一样 ) ，
三年高考真题
1、【2020 年全国 1 卷】.函数 f (x) x4 2x3 的图像在点 (1，f (1)) 处的切线方程为（ ）
A. y 2x 1
B. y 2x 1
C. y 2x 3
D. y 2x 1
【答案】B
【解析】 f x x4 2x3 ， f x 4x3 6x2 ， f 1 1， f 1 2 ，
x Q f (1) e 1 ，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y e 1 (e 1)(x 1) ,即 y e 1 x 2 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 (0, 2), ( 2 , 0) , e 1
∴所求三角形面积为 1 2| 2 |= 2 ; 2 e1 e1
即 x0 ln x0 e ，
考查函数 H x x ln x ，当 x 0,1 时， H x 0 ，当 x 1, 时， H x 0 ，
且 H ' x ln x 1，当 x 1 时， H ' x 0, H x 单调递增，
注意到 H e e ，故 x0 ln x0 e 存在唯一的实数根 x0 e ，此时 y0 1 ， 故点 A 的坐标为 Ae,1 .
即 y x 与 y x 64 . 27
（Ⅱ）令 g(x) f (x) x, x [2, 4].
由 g(x) 1 x3 x2 得 g'(x) 3 x2 2x .
4
4
令 g'(x) 0 得 x 0 或 x 8 . 3
g'(x), g(x) 的情况如下：
x
2
(2, 0)
0
(0, 8)
1 x0
，曲线
y
ln
x
在点
A(x0 , ln
x0 )
处切线的斜率也是
1 x0
，
所以曲线 y ln x 在点 A(x0 , ln x0 ) 处的切线也是曲线 y=ex 的切线． 10、【2020 年北京卷】已知函数 f (x) 12 x2 ．
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 的斜率等于 2 的切线方程；
（Ⅱ）当 x [2, 4] 时，求证： x 6 f (x) x ；
（Ⅲ）设 F (x) | f (x) (x a) | (a R) ，记 F (x) 在区间[2, 4] 上的最大值为 M（a）．当 M（a）最
小时，求 a 的值．
【答案】（Ⅰ） y x 与 y x 64 ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） a 3 . 27
二年模拟试题
题型一 导数的几何意义
1、（2010 届北京西城区第 4 中学期中）已知曲线 y aex x ln x 在点 1, ae 处的切． a e,b 1
C． a e1, b 1 D． a e1, b 1
8
(8 , 4)
4
3
3
3
g' ( x)
g(x) 6
0
64
0
27
所以 g(x) 的最小值为 6 ，最大值为 0 .
故 6 g(x) 0 ，即 x 6 f (x) x .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当 a 3 时， M (a) F (0) | g(0) a | a 3 ；
当 a 3 时， M (a) F (2) | g(2) a | 6 a 3 ； 当 a 3 时， M (a) 3 . 综上，当 M (a) 最小时， a 3 .
（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____.
【答案】 (e, 1) .
【解析】设点
A
x0 ,
y0
，则
y0
ln
x0
.又
y
1 x
，
当
x
x0 时，
y
1 x0
，
点
A
在曲线
y
ln
x
上的切线为
y
y0
1 x0
(x
x0 )
，
即
y
ln
x0
x x0
1，
代入点
e,
1
，得
1
ln
x0
e x0
1，
考点总结
在高考复习中要注意以下几点：
x y x y 1、解决在点 ( , ) 处的切线问题要抓住两点：（1）切点 ( , ) 即在曲线上也在曲线的切线上。（2）
00
00
切线 l 的斜率 k f (x)'
2、求函数的导数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析 式的结构特点，紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。 3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线，挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上 的点的之间距离或求参的范围。
所以 S t 在 0, 2 上递减，在 2, 上递增，
所以 t 2 时， S t 取得极小值， 也是最小值为 S 2 16 16 32 .
8
11、【2019 年高考北京理数】已知函数 f (x) 1 x3 x2 x ． 4
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 的斜率为 1 的切线方程；