第四节 线段中点的应用-学而思培优

第四节 线段中点的应用
一、课标导航
二、核心纲要
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，他关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径有以下几种．
1．倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线
2．作直角三角形斜边中线
3．构造中位线
4．构造等腰三角形三线合一
5．三角形的中线可以等分三角形的面积
若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD s s ∆∆=
6．中点四边形
(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形
①任意四边形的中点四边形是平行四边形； ②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形；
④菱形的中点四边形是矩形；
⑤正方形的的中点四边形是正方形； ⑥等腰梯形的中点四边形是菱形．
本节重点讲解：一个应用（中点的应用），一个四边形（中点四边形）．
三、全能突破
基 础 演 练
1．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )．
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．等腰梯形
2．如图18 -4—1所示，在△ABC 中，,6,5===BC AC AB 点M 为BC 中点，AC MN ⊥于点N ，则MN 的长为( )．
56.A 59.B 512
.c 5
16.D
3．如图18-4-2所示，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BD 中点，F 为CE 中点，若△ABD 的面积为4，则△BFC 的面积为( )．
2.A 1.B 5.1.C 5.0.D
4．如图18-4-3所示，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且.CD AB =下列结论：①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分=∠EG EHG ④,),(2
1
AD BC -⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )．
1.A
2.B
3.C
4.D
5．如图18-4-4所示，在四边形ABCD 中，M BCD DAB ,90
=∠=∠为BD 中点，N 为AC 中点，求证：
.AC MN ⊥
6．如图18-4-5所示，在等边△ABC 中，P 为AB 的中点，Q 为AC 的中点，R 为BC 的中点，M 为RC 上任一点，△PMS 为等边三角形，求证：.QS RM =
7．如图18-4-6所示，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，、E CD AB ,=F 分别是BC 、AD 的中点，连接
EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若,60
=∠EFC 连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．
能 力 提 升
8．如图18-4-7所示，已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2013个三角形的周长为 ．
9．如图18-4-8所示，在矩形ABCD 中，AB=24，BC=26.先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，以此类推，…，第10次连接的图形的面积是
10.如图18-4-9所示，△ABC 中，,90
=∠ACB 点D 在BC 上，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，.BD AD = 求证：CF 是∠ECB 的平分线，
11.如图18 -4 -10所示，在四边形ABCD 中，AB AB CD ,>与CD 不平行，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，
求证：).(2
1
AB CD EF ->
12.如图18 -4 -11所示，在△ABC 中，AD 是三角形的高，D 为垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形．
13．如图18-4-12(a)所示，在△ACB 和△AED 中，,90,,
=∠=∠==AED ACB DE AE BC AC 点E 在AB 上，F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE.
(1)请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
(2)将图18-4-12(a)中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上(如图18-4-12 (b)所示），连接BD ，取BD 的中点F ，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)将图18-4-12(a)中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度(如图18-4-12(c)所示），连接BD ，取BD 的中点F ，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由．
14.如图18-4-13(a)所示，在矩形ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，连接BM. (1)请你判断并写出∠BMD 是∠ABM 的几倍；
(2)如图18-4-13(b)所示，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，连接EM 、
CM ，请问：∠AEM 与∠DME 是否也具有(1)中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由，
15．如图18 -4 -14所示，正方形ABCD 和正方形),(BC CG CGEF >连接AE ，取线段AE 的中点M.求证：
.,MD FM MD FM =⊥且
16.小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例
如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图18-4-15(a)所示，点P 是线段AB 的中点，分别以
AP 和BP 为边在线段AB 的同侧作等边三角形APC 和等边三角形BPD ，连接AD 和BC ，他想到了四边形ABDC 的中点四边形一定是菱形，于是，他又进一步探究：
如图18-4-15(b)所示，若P 是线段AB 上任一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD，使,PA PC = ,,BPD APC PB PD ∠=∠=连接CD ，设点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、 F 、G 、H ．请你接着往下解决三个问题：
(1)猜想四边形ABDC 的中点四边形EFGH 的形状，直接回答 ，不必说明理由； (2)当点P 在线段AB 的上方时，如图18-4-15 (c)所示，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不变，(1)中结论还成立吗？说明理由；
(3)如果(2)中，,90
=∠=∠BPD APC 其他条件不变，先补全图18-4-15(d)所示，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．
17.已知：在△ABC 中，以AC 、BC 为边分别向形外作等边三角形ACD 和BCE ，M 为CD 中点，N 为CE 中点，P 为AB 中点． (1)如图18-4-16(a)所示，当
120=∠ACB 时，∠MPN 的度数为
(2)如图18-4-16 (b)所示，当<<=∠αα
0(ACB )180
时，∠MPN 的度数是否变化？给出你的证明．
18．在平行四边形ABCD 中，,DBC A ∠=∠过点D 作,DF DE =且,ABD EDF ∠=∠连接EF 、EC ，N 、P
分别为EC 、BC 的中点，连接NP.
(1)如图18-4-17(a)所示，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；
(2)如图18-4-17(b)所示，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明(1)中的结论．
19．(1)如图18-4-18(a)所示，以等腰直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，
M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为 ；
(2)如图18-4-18(b)所示，以任意直角△ABC 的直角边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是BC 的中点，则DE 与AM 之间的数量关系为 ；
(3)如图18-4-18(c)所示，以任意非直角△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是BC 的中点，试判断DE 与AM 之间的数量关系，并说明理由；
(4)如图18-4-18(d)所示，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABE 和△ACD，其他条件不变，请直接写出线段DE 与AM 之间的数量关系．
中 考 链 接
20.（2012．贵州黔西南）如图18 -4 -19所示，在△ABC 中，D ACB ,90
=∠是BC 的中点，
,4,2//,==⊥CE AC AD CF BC DE 若则四边形ACEB 的周长为
21.（2012．毕节地区）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角
线分别为6cm 和8cm 的菱形，它的中点四边形…的怼角线长是 cm 。

22．（2012．孝感）我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图18-4-20
所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH ．
(1)这个中点四边形EFGH 的形状是 ； (2)请证明你的结论，
巅 峰 突 破
23.如图18-4-21所示，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：AE KL //且.4
1
AE KL =
24.如图18-4-22所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使;DF DE =过E 、F
分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ．求证：.PBF PAE ∠=∠。