专题08 三角恒等变换-决胜一轮高考数学(文)专题卷(解析版)

跟踪知识梳理
考纲解读：
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） 考点梳理：
1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
变形公式：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
)4
sin(2cos sin π
ααα±
=±.
函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
变形公式：
cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝ (sin α－cos α)2
核心能力必练
一、选择题
1．(2018山西长治二模,6)已知sin αα∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则cos 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为 ( )
B. C. D. 【答案】A
2．(2018河南濮阳一模,5)设0°<α<90°,若sin(75°+2α)=-
3
5
,则sin(15°+α)·sin(75°-α)= ( )
A.
110 C.-1
10
【答案】B
【解析】因为0°<α<90°,所以75°<75°+2α<255°.
又因为sin(75°+2α)=-
3
5
<0,所以180°<75°+2α<255°,角75°+2α为第三象限角,所以cos(75°+ 2α)=- 45，所以sin(15°+α)·sin(75°-α)=sin(15°+α)·cos(15°+α)=12sin(30°+2α)=12
sin[(75°+2α)
-45°]=12[sin(7 5°+2α)cos 45°-cos(75°+2α)sin 45°]=12×3455⎛- ⎝,故选B. 3．(2018河北百校联盟4月联考,6)已知θ是第四象限角,且sin 4πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭=
3
5,则tan 4πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
= ( ) A.
43 B.-43 C.-34 D. 34
【答案】
B
解法二:∵4πθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭+4π
θ⎛⎫-
⎪⎝⎭=2π,∴sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=3
5
,
又2k π-
2π<θ<2k π,k ∈Z,∴2k π-4π<θ+4π<2k π+4
π
,k ∈Z, ∴cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45,∴sin 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=45,∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=
sin 4cos 4πθπθ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭
=43
,
∴tan 4πθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
=-tan 4πθ⎛⎫-
⎪⎝⎭=-43
. 4．(2018广东七校3月联考,6)已知sin 6πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
+cos α
,则cos 6πα⎛⎫
- ⎪⎝⎭
 = ( )
B.
C.-13 
D. 1
3
【答案】C 【解析】由sin 6πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
+cos α
,
sin α+12cos α+cos α
,
sin α+32
cos α
, 亦
sin 3πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
,∴sin 3πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭=-13.
∴cos 6πα⎛⎫-
⎪⎝⎭=sin 26
ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 3πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=-13,故选C.
5．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象
限，AOC α∠=，则sin
cos 22αα+22α=（ ）
A ．
B ．
C
D 【答案】D
6 ）
A ．
B
C ．
D 【答案】D
23sin cos cos sin =-αααα，∴432sin 2cos -=αα，
532cos -=α，542sin =α，
D.
7．若
11sin cos αα+=，则sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．1
3
或1-
【答案】A
【解析】由
11sin cos αα
+=，可得sin cos cos αααα+=，两边平方，得 2212sin cos 3sin cos αααα+=，解得1
sin cos 3
αα=-或sin cos 1αα=．由题意，
知1sin 1,1cos 1αα-<<-<<，且sin 0α≠，cos 0α≠，所以sin cos 1αα≠，故选A ．
8．已知不等式2cos 0444x x x m -≥对于ππ,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ）
A ．(,-∞
B ．⎛-∞ ⎝
C ．
D ．)
+∞
【答案】B
9．若sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）
A.34-
B.34
C.43-
D.43
【答案】B 【解析】由
sin cos 1sin cos 2αααα+=-可得3tan -=α，则4
3
9162tan =--=α，故选B.
10．若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭
π，则2
cos 2sin 2αα+=（ ） A.
95 B.1 C.35- D.75
- 【答案】A
2tan =α，
22
22cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=+214tan 9
tan 15
αα+==+.故选A.
11
cos x 等于（ ）
C.13
D.13-
【答案】A
12．已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2
sin 22sin =，则（ ）
A ．αβcos 2cos =
B ．αβ2
2cos 2cos =
C ．αβ2cos 22cos =
D ．02cos 22cos =+αβ 【答案】C
【解析】2sin cos 2sin 1sin 24sin θ
θαθα+=⇒+=，所以2
212sin 4sin βα+=，
11cos 22(1cos 2)βα+-=-，cos 22cos 2βα=，故选C.
13．已知2
cos 2sin (2sin 1)5
ααα+-= ）
A ．17
B ．13
C ．7
D ．23
【答案】A
【解析】由2cos 2sin (2sin 1)5
ααα+-=，可得53
sin =α
故54cos -=α，所以43tan -=α7
1
tan 11tan =-+αα.
14．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=（ ）
A ．73-
B ．73
C ．5
7
D ．1 【答案】D
【解析】根据题意得1tan 2,tan 3
αβ==-，则1
2()
tan tan 3tan()111tan tan 12()3
αβαβαβ+-++=
==--⨯-．故选D ． 15．已知sin (1,
)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)
B α
αβ--，且0OA OB ⋅=，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，
则k =（ ）
A B ． C 或 D ．以上都不对 【答案】C
1610021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A.16 B.72 C.37 D.100 【答案】C
【解析】由题意知，n S 的周期为14 ，12345,,,,S S S S S 为正数，78910111213,,,,,,S S S S S S S 为负数，614,S S 的值为零，又1001472=⨯+，所以10021,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是57237⨯+=，故选C.
17．tan θ20x px q ++=的两根，则,p q 之间的关系是（ ） A ．10p q ++= B ．10p q --= C ．10p q -+= D ．10p q +-= 【答案】C
化简得2tan 1tan 1p θθ+=-+，2tan tan 1tan q θθ
θ
-=+，故1,10p q p q -=--+=.
18．已知角α终边与单位圆2
2
1x y += ）
A ．12-
B ．1
2
C ．
D ．1
【答案】B
19．式子
()
2211
2cos 2sin θθθ+∈--R 错误！未找到引用源。

的最小值为（ ） A ．
34 B ．32 C ．43 D ．23
【答案】C 【解析】
()22
2211442cos 2sin 3
4sin cos θθθθ+≥=---+，当且仅当22
sin cos θ=θ，即
A 20．已知角βα,均为锐角,且10
10
3sin ,552cos =
=
βα,则βα-的值为（ ） A ．
π3 B ．π4 C ．π4- D ．π4或π
4
- 【答案】C
【解析】因为π02α<<
，π02β<<，所以ππ
22
αβ-<-<，
又cos α=
，sin β=，所以sin α=cos β=，
所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-== 又ππ22αβ-
<-<，所以π
4
αβ-=-. 二、填空题
21．已知α．
【答案】
24
25
2425.
22．已知
tan 20161tan αα=-，则1
tan 2cos 2αα
+
=_______. 【答案】2016
23．π1sin 64x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则25πππsin sin cos 2633x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 【答案】
3316
【解析】5ππ1sin sin π664x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=-+=
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
222ππππ15sin sin cos 326616x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
2πππ7cos 2cos 212sin 3668x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式=3316.
24．已知πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则
4π2πsin cos 33π5πcos sin 66αααα⎛⎫⎛⎫
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭_________．
【答案】3-
【解析】4π2πππsin cos sin cos 3333π5πππcos sin sin cos 6633αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
πtan 1
33πtan 1
3αα⎛
⎫++ ⎪⎝⎭=-=-⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭．
25________． 【答案】0
三、解答题
26sin cos
2
2
α
α
+=
（1）求cos α的值；
（2）若3
sin()5
αβ+=-
sin β的值.
【答案】（1） （2
【解析】（1）因为sin
cos
2
2
αα+=
412sin cos 223αα+=，1sin 3α=．
cos α===.
27．已知向量()2cos ,1,sin ,1,m n x m α⎛⎫=--= ⎪与n 为共线向量，且,02πα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. （1）求sin cos αα+的值； （2）求sin 2sin cos ααα
-的值.
【答案】（1 （2）712
【解析】（1）∵m 与n 为共线向量，∴()cos 11sin 0αα⎛⨯--⨯= ⎝，
即sin cos αα+=. （2）∵()221sin 2sin cos 9ααα+=+=
，∴7sin 29α=-，
∴()216sin cos 1sin 29ααα-=-= ∴sin cos 0αα-<，∴4sin cos 3αα-=-
，∴sin 27sin cos 12ααα=-. 28．（1）已知π1cos 63
α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ62α<<，求cos α；
（2）已知α，β都是锐角，且cos α=，cos β=βα+.
【答案】（1 （2【解析】（1）π6α<<
π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 6α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ππcos cos 66αα⎛⎫∴=+- ⎪⎝
⎭
ππππcos cos sin sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
29（1（2cos()αβ+的值．
【答案】（1 （2）65
【解析】（1
（2
∴5sin 13α=，3cos 5β=，∴12cos 13α===，
4sin 5β===，故16cos()cos cos sin sin 65
αβαβαβ+=-=． 30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边
分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B 35
．
（1）求
2
2
sin sin cos
sin cos6cos
ααα
ααα
+
-
的值；（2）求αβ
+的大小．
【答案】（1）56（2
（2
4 tan
3
β
∴=，。