2023-2024学年江苏省常州市高二下册第一次学情检测数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省常州市高二下册第一次学情检测数学
模拟试题
一、单选题
1．若82
C C n n =，则n 的值为（
）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【正确答案】C
【分析】根据给定条件利用组合数的性质即得.
【详解】因为28
C C n n =，则由组合数的性质有28n +=，即10n =.
故选：C ．
2．()()()()()1998199920212022,2022n n n n n N n --⋅⋅⋅--∈>可表示为（）
A ．24
1998A n -B ．25
1998
A n -C ．24
2022
A n -D ．25
2022
A n -【正确答案】B
【分析】由排列数的定义即可判断.
【详解】()()()()1998199920212022n n n n --⋅⋅⋅--总共有(1998)(2022)125n n ---+=个数连乘，故()()()()25
19981998199920212022=A n n n n n ---⋅⋅⋅--.
故选：B
3．已知直线l 的方向向量为(),1,2m x =-
，平面α的法向量为()1,2,4n =- ，若直线l 与平面
α垂直，则实数x 的值为（
）
A ．12
-
B ．10
-C ．1
2
D ．10
【正确答案】A
【分析】由题意得m n λ=
，利用空间向量的坐标运算计算即可．
【详解】由题意得m n λ=
，则()(),1,21,2,4x λ-=-，即,12,24x λλλ=-==-，解得
1
2
x λ==-.
故选：A.
4．向量()2,1,a x = ，()2,,1b y =- ，若a =r a b ⊥
，则x y +的值为（
）
A ．1
-B ．1
C ．4
-D ．4
【正确答案】C
【分析】根据向量模的公式可求出x 的值，根据a b ⊥
可求出y 的值，从而可求出x y +的值.
【详解】因为向量()2,1,a x =
，a =r =0x =，
所以向量()2,1,0a =
，
因为a b ⊥
，所以2200a b y ⋅=⨯++=r r ，所以4y =-，
所以x y +的值为4-.故选：C.
5．关于3
2212x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式，下列结论不正确的是（
）
A ．所有项的二项式系数和为64
B ．所有项的系数和为0
C ．常数项为20-
D ．系数最大的项为第3项
【正确答案】D
【分析】原二项式可化为6
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】解：3
6
22112x x x x ⎛⎫⎛
⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，可得二项式系数和为6264=，故A 正确；
令1x =得所有项的系数和为0，故B 正确；常数项3
33
6
1C 20x x ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，故C 正确；
616
1C r
r r
r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，系数为()61C r r
-，最大为26C 或46C ，为第3项或第5项，故D 错误.故选：D.
6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有(
)种
A ．540
B ．360
C ．300
D ．420
【正确答案】D
【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.【详解】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D ﹒
7．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为（）
A ．2300
B ．2301
C ．2302
D ．2303
【正确答案】B
【分析】依次计算首位为1、前两位为20、前两位为21的有多少个数，然后可得答案.
【详解】首位为1的有35A 60=个，前两位为20的有24A 12=个，前两位为21的有2
4A 12=个，
因而第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故选：B
8．
如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F （E 在F 的左边），且2EF =）
A ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE CF ⊥
B ．当,E F 运动时，不存在点,E F 使得AE BF ∥
C ．当E 运动时，二面角E AB C --的最大值为45︒
D ．当,
E
F 运动时，二面角A EF B --为定值【正确答案】C
【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC ；由反证法判断B ；平面EFB 即为平面11BDD B ，平面AEF 即为平面11AB D ，从而得出二面角A EF B --为定值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,2A B C D D ．因为,E F 在11B D 上，且1122B D =2EF =可设()(),2,212E t t t -≤≤，则()1,3,2F t t --，则()()2,,2,1,3,2AE t t CF t t =--=--
，
所以()()()()2
2134266AE CF t t t t t t ⋅=--+-⋅-+=-+ ，
故AE CF ⋅
恒为正，故A 正确．
若AE BF ∥，则11,,,A B B D 四点共面，与AB 和11B D 是异面直线矛盾，故B 正确．
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =
，
又()2,0,0AB =- ，所以00AB m AE m ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩ ，即()20220x t x ty z -=⎧⎨--+=⎩，
取2y =，则()0,2,m t =
，
平面ABC 的法向量为()0,0,1n =
，所以
2cos ,4
t m n t =+ ．
设二面角E AB C --的平面角为θ，则θ
为锐角，故cos m n m n θ⋅===
，因为12t ≤≤
，y []1,2上单调递减，
≤≤
cos θ≤≤
，当且仅当2t =时，cos θ
取得最大值
2
，即θ取最小值45︒，故C
错误．连接11,,BD AD AB ．平面EFB 即为平面11BDD B ，而平面AEF 即为平面11AB D ，故当,E F 运动时，二面角A EF B --的大小保持不变，故D
正确．
故选：C
二、多选题
9．（多选题）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量,(0,0)a b a b ≠≠ ，若a b ⊥
，则0
a b ⋅= B ．若对空间中任意一点O ，有111632
OP OA OB OC =++
，则P A B C ，，，四点共面
C ．已知
{}
,,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+ ，则{}
,,a b m 也是空间的一组基底
D ．任意向量,,a b c
满足()()
⋅⋅=⋅⋅ a b c a b c 【正确答案】ABC
【分析】对于A ，根据数量积的性质判断，对于B ，利用空间向量共面定理判断，对于C ，利用基底的定义判断，对于D ，利用数量积的定义分析判断
【详解】对于A ：空间向量,(0,0)a b a b ≠≠ ，若a b ⊥
，则0a b ⋅= ，故A 正确；对于B ：若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，由于111
1623
++=，则
P A B C ，，，四点共面，故B 正确；
对于C ：已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+
，则{}
,,a b a c + 两向量之间不共线，故
也是空间的一组基底，故C 正确；
对于D ：任意向量,,a b c 满足()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b c ，由于a b ⋅ 是一个数值，b c ⋅
也是一个数值，则说明c 和a
存在倍数关系，由于,,a b c 是任意向量，不一定存在倍数关系，故D 错误．
故选：ABC ．
10．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（
）
A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种【正确答案】BC
【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.
【详解】对于A ，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有2
2A 种，然后与戊全排列的安排2
2
A 种，丙、丁不能相邻的安排有2
3A 种，共有222223A A A 22624=⨯⨯=种，故A 不正确；
对于B ，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有4
4A 种安排方法；当乙在左端时，甲有1
3A 种安排方法，其他人有3
3A 种安排方法，故符合的总的
安排方法种数为413
433A A A 241842+=+=种，故B 正确；
对于C ，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有5533
A 12020A 6==种，故C 正确；
对于D ，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为2
4C ，再把三个组分配到三个社区的种方法数为3
3A ，则总
的安排方法数为23
43C A 6636=⨯=种，故D 不正确.
故选：BC.
11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（
）
A ．组成的三位数的个数为60
B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24【正确答案】BC
【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，②个位数为2或4，然后根据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；
对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，②十位为1，③十位为2，然后根据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.
【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为
124444348A A =⨯⨯=，故A 不正确；
对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有2
44312A =⨯=种，
②个位数为2或4，则有A A A =⨯⨯=111
23323318种，
所以在组成的三位数中，偶数的个数为121830+=，故B 正确；
对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有2
44312A =⨯=种，
②十位为1，则有2
3326A =⨯=种，
③十位为2，则有2
2212A =⨯=种,
所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为126220++=，故C 正确，D 不正确.
故选：BC.
12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，90BAC ∠=︒，
11AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点，P 是AD 的延长线与11AC 的延长线的交点.若点Q 在
直线1B P 上，则下列结论错误的是(
)
A ．当Q 为线段1
B P 的中点时，DQ ⊥平面1A BD B ．当Q 为线段1B P 的三等分点时，DQ ⊥平面1A BD
C ．在线段1B P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面1A B
D D ．不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直【正确答案】ABC
【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的一个法向量(2,1,2)n =-
，设11B Q B P λ= ，表示出向量DQ ，再利用//n DQ ，建立关系式1112122124
λλ
---+===-，从而判断出λ无解，即不存在这样的点Q ，进而判断出选项ABC 不正确，选项D 正确.【详解】如图，以1A 为坐标原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
易知，1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，10,1,2D ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，(0,2,0)P ，
所以1(1,0,1)A B = ，110,1,2A D ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ ，1(1,2,0)B P =- ，111,1,2DB ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭ .
设平面1A BD 的一个法向量为(,,)n x y z =
，
则1101
2n A B x z n A D y z ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=+=⎪⎩
，取2z =-，则2x =，1y =，所以平面1A BD 的一个法向量为(2,1,2)n =-
.
假设DQ ⊥平面1A BD ，且11(1,2,0)(,2,0)B Q B P λλλλ==-=-
，则11DQ DB B Q =+= 11,12,2λλ⎛⎫--+- ⎪⎝
⎭.
因为DQ
也是平面1A BD 的法向量，
所以(2,1,2)n =-
与11,12,2DQ λλ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 共线，
所以1
112122124
λλ
-
--+===-成立，但此方程关于λ无解，因此不存在点Q ，使DQ 与平面1A BD 垂直，所以选项ABC 不正确，选项D 正确.故选：ABC .
三、填空题
13．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为
60
，则1AC uuu r
的长为________.
【分析】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=
，利用空间向量数量积的运算求出2
1AC 的值，即可得解.
【详解】由已知可得11AB AD AA === ，且1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=
，
由空间向量数量积的定义可得11111cos 602
AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
，
所以，()
22222111112226AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅=
，
因此，1AC =
故答案为14．某篮球队友12名队员，有6名只打前锋，4名只打后卫，甲､乙两人既能打前锋又能打后卫（出场阵容为3名前锋，2名后卫），则出场阵容共有___________种.【正确答案】636
【分析】按甲乙二人打后卫的人数分三类，分别计算出每一类的出场阵容种数，然后相加即可.
【详解】按甲乙二人打后卫的人数分三类：
（1）甲乙二人都不打后卫：23
48C C 656336⋅=⨯=；
（2）甲乙二人有一人打后卫：113
427C C C 835280⋅=⨯=；
（3）甲乙二人都打后卫.23
26C C 12020
⋅=⨯=所以，出场阵容共有33628020636++=种.故答案为.63615．设100
2100012100(32)
x a a x a x a x -=++++ ，若0241003Z)a a a a m k
k +++++=∈ （，则实数m ＝________.【正确答案】31,Z
t t -∈【分析】利用赋值法求出()
0110002401512
a a a a +=
++++ ，再由()100
100516=-得到1005被6除余1，从而得到22m +能被6整除，即可求出m 的取值.【详解】因为100
2100012100(32)
x a a x a x a x -=++++ ，
令1x =得301210401a a a a a a ++++++= ①，
令=1x -得100
340121005a a a a a a -+++=+- ②，
①+②得()
01100
02401512
a a a a +=++++ ，所以()021100
004125a a a a ++++=+ ，
其中()
()
100
100
10056116=-=-()()()()
123100
0123100100100100100100C +C 6C 6C 6C 6=-+-+-++-
()()()()
123100
123100
1001001001001+C 6C 6C 6C 6=-+-+-++- 因为()0241003Z a a a a m k k +++++=∈ ，所以()()024100226Z a a a a m k k +++++=∈ ，即()02410022a a a a m +++++ 能被6整除，又()024110000
21225
a a a a m m +++++=++ ，
又1005被6除余1，所以22m +能被6整除，即226,Z m t t +=∈，所以31,Z m t t =-∈.故答案为.31,Z
t t -∈16．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________．
【正确答案】5⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：()()1,0,0,2,2,1E F ，设()(),0,2,2,,2M x N y ，其中02,02x y <<<<，
则()()1,,2,2,2,1EN y FM x
==--，
()(),1,,2.2,2,120EN FM EN FM y x x y ⊥∴⋅=--=-=
，
据此可得：2,02,01x y x y =<<∴<< ，由空间中两点之间距离公式可得：
MN ==
=当45y =
时，MN =0y =时，2MN
=，结合二次函数的性质可得线段MN 的长度的取值范围为,25⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
.
点睛：1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
四、解答题
17．
（1）计算：1
2
3
4
5
55555A A A A A ++++；（2）已知2155C C m m -=，（m >1）；求1236678C C C C m m m m ++++++的值.
【正确答案】（1）325；（2）126.
【分析】（1）根据排列数的计算公式()!A !
m n n n m =
-即可得解；（2）根据C C m n m
n n -=结合题意
可得2m =，利用11
1C C C m m m n n n ++++=化简整理，再代入组合数的计算公式()!
C !!
m n n m n m =-计算.
【详解】（1）∵()!A !
m
n n n m =
-，则12345
55555A 5,A A 6200,A A 12,0
=====∴12345
55555A 325
A A A A +++=+（2）∵21
55C C m m -=，则215m m +-=或21m m =-，解得2m =或1m =（舍去）∵111C C C m m m n n n ++++=，则2345345455
6678778889C C C C C C C C C C 126+++=++=+==.
18．已知空间中的三点()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，设M a P =
，b PN = .
（1）若ka b +
与2ka b - 互相垂直，求k 的值；
（2）求点N 到直线PM 的距离.
【正确答案】(1)2k =或52k =-
（2）2
(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k 即可．
(2）求出直线PM 的单位方向向量为u →
，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，
所以(1,1,0),(1,0,2),
a PM
b PN →→====- （1）(1,,2)ka b k k +=-
，2(2,,4)ka b k k -=+- ，因为()(2)kb b kb b +⊥-
，
所以2(1)(2)80k k k -++-=，整理得22100k k +-=，解得2k =或5
2k =-，
所以k 的值为2k =或5
2
k =-.
(2)设直线PM 的单位方向向量为u →
，
则(1,1,0)(,,0).||222
a
u a ==
=
由于(1,0,2)PN b →==-
，
所以2
5b →=，b u ⋅=
所以点N 到直线PM 的距离.
2
d ==关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.
19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
12
AB BC AD ==
=，90BAD ABC ∠=∠= ，E 是PD 的中点.
(1)求E 到平面PAB 的距离；
(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45 ，求二面角M AB D --的正弦值.【正确答案】(1)32
15
5
【分析】（1）取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，证明出OP ⊥平面ABCD ，OC AD ⊥，然后以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得E 到平面PAB 的距离；
（2）设PM PC λ=
，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤可求得λ的值，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）解：取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，因为PAD 为等边三角形，O 为AD 的中点，所以，OP AD ⊥，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，
OP ∴⊥平面ABCD ，
在底面ABCD 中，因为90BAD ABC ∠=∠= ，则//BC AD ，即//BC AO ，因为O 为AD 的中点，则1
2
BC AD AO ==，所以，四边形ABCO 为平行四边形，AB AD ⊥ ，CO AD ∴⊥，
以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()0,1,0A -、()1,1,0B -、(3P 、130,,22E ⎛ ⎝⎭
、()1,0,0C ，
设平面PAB 的法向量为(),,m x y z = ，()1,0,0AB =
，(3AP = ，
则030
m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=+=⎪⎩
，取3y =，可得()
3,1m =- ，330,2AE ⎛= ⎝⎭
，所以，点E 到平面PAB 的距离为3
2AE m m ⋅= .（2）解：设(()
1,0,3,0,3PM PC λλλλ===-
，其中01λ≤≤，
(()()
3,0,31,1,33BM BP PM λλλ=+=-+-=--
，
平面ABCD 的一个法向量为()10,0,1n =
，由题意可得()
()
11
2
2
1
332cos ,2
1131BM n BM n BM n λ
λλ⋅-<>==⋅-++-
，整理可得22410λλ-+=，因为01λ≤≤，解得212
λ=-
，所以，2622BM ⎛=- ⎝⎭
，设平面ABM 的法向量为()2,,n a b c = ，则22
26
022n AB a n BM a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩
，取3b =(23,2n =
，
所以，121212
210cos ,55n n n n n n ⋅<>==-=-⋅
，则2121215
sin ,1cos ,5
n n n n <>=-<>
因此二面角M AB D --.20．已知57
A 56C n n =，且()201212n
n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+．
(1)求n 的值；
(2)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；(3)求0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+的值．【正确答案】(1)15n =(2)2
-(3)
15312
-【分析】由排列数和组合数公式求出n 的值，再通过赋值法，求123n a a a a +++⋅⋅⋅+和
0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+的值即可.
【详解】（1）∵57
A 56C n n =，∴7n ≥，*
n ∈N ∴()()()()()()()()()()
1234561234567654321
n n n n n n n n n n n n ----------=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
∴()()0
5619n n --=
，
∴211600n n --=，解得n =-4（舍）或15n =，∴15n =.
（2）由第（1）问，15n =，
∴()15
2150121512x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+①，令①式中1x =，则()15
0121512a a a a -=+++⋅⋅⋅+，∴()15
012151a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-1，
令①式中0x =，则15
01a =，即01a =，
∴12312315112n a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-
-=-.（3）令第（2）问①式中=1x -，则()15
0123141512a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅+-，
∴15
012314153a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=②，
由第（2）问，012314151a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=-
③，②，③两式相加，得()150214231a a a ++⋅⋅⋅+=-，
∴1502410241431
2
n a a a a a a a a --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=.
21．如图1，在平面内，ABCD 是60BAD ∠=︒且AB a =的菱形，1ADD A ''和1CDD C '都是正方形．将两个正方形分别沿AD ，CD 折起，使D ''与D ¢重合于点1D ．设直线l 过点B 且垂直于菱形ABCD 所在的平面，点E 是直线l 上的一个动点，且与点1D 位于平面ABCD 同侧（图2）．
(1)设二面角1E AC D --的大小为θ，若
ππ
43
θ≤≤，求线段BE 的长的取值范围；(2)若在线段1D E 上存在点P ，使平面11PAC 平面EAC ，求
1D P
PE
与BE 之间满足的关系式，并证明：当0BE a <<时，恒有11D P
PE
<.
【正确答案】(1)3,222a a ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦(2)
11
D P B
E PE a
=，证明见解析【分析】（1）设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，
y 轴，建立空间直角坐标系如图．设()0BE t t =>，得到平面1D AC 和平面EAC 的法向量，
从而得到二面角1E AC D --的余弦值的表达式，再根据其范围，得到t 的范围；
（2）假设存在满足题意的点P ，令1D P PE λ=
，从而得到P 点坐标，得到1A P ∥平面EAC ，则120A P n ⋅=
，得到等式，解出λ.
【详解】（1）因为11,,D D AD D D DC AD DC D ⊥⊥= ，,AD DC ⊂平面ABCD ，故1D D ⊥平面ABCD ，
设菱形ABCD 的中心为O ，以O 为原点，对角线AC ，BD 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系如图，设()0BE t t =>
，
1(
,0,0),(,0,0),(0,,),(0,,).2222a a
A a C a D a E t -
-1(,),(,0,0),22a AD a AC =--=-
(,,),
22
a AE a t = 设平面1D AC 的法向量为1111(,,)n x y z =
，
则111111100,2200a n AD ax y z a n AC ⎧⎧⋅=-
-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，
令11z =得1(0,2,1)n =
．
设平面EAC 的法向量为2222(,,)n x y z =
，
则22221200,2200a n AE ax y tz n AC ⎧⎧⋅=-
++=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，
令2z a =-得2(0,2,)n t a =-
．
二面角1E AC D --的大小为θ
，由题设可得
1212cos n n n n θ⋅== ．
ππ
43θ≤≤
，1cos ,22θ⎡∴∈⎢⎥⎣⎦
，
∴
1
2
≤
2
≤
，整理得22121630t at a --≤且2244320t at a --≥，
又0t >
32
a
t ≤≤
，所以t
的取值范围是3,222a a ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦.（2）设BE ＝t ，t ＞0，(),,P x y z ，令1D P PE λ= ，则,,,,22a a x y z a x y t z λ⎛⎫
⎛⎫
+-=
--- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
解得()()10,211a t a
x y z λλλλ-+==
=++，则()()10,,211a t a P λλλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭
，1,0,2A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()()11,,2211a t a A P λλλλλ⎛⎫
--∴=- ⎪ ⎪++⎝⎭
，11AA CC ∥且11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，从而11A C AC ，11AC ⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ，得11
AC 平面EAC ，
由平面11
PAC 平面EAC ，得1A P
平面EAC ，120A P n ∴⋅=
，
1011t a t λλλ
λλ
--∴⋅
-=++，化简得：t a λ=，（t ≠a ），即11D P BE PE a =，
所以当0＜t ＜a 时，1λ<，即当0BE a <<时，恒有
11D P
PE
<.22．已知()(1)n
n f x x =+（0x ≠且1x ≠-，*n ∈N ）.
（1）设3410()()()()g x f x f x f x =+++ ，求()g x 中含3x 项的系数；
（2）化简：123234(1)n
n n n n C C C n C +++++ ；
（3）证明.1
121(1)1232
m m m m
m m m m m n m n
m n C C C nC C m ++++-+++++++=
+ 【正确答案】（1）330；（2）1221n n n -⋅+-；（3）见解析
【分析】（1）根据()g x 表达式可知3x 系数为333334510C C C C ++++ ，将33C 改写成44C ，利用
组合数的性质：1
1m m m
n n n C C C -+=+整理得到结果；（2）通过对()n f x 求导可得
()
1
1
1
1n
n k
k n
k n x kC x --=+=∑，代入1x =可求得1
1
2
n
n k n k n kC -=⋅=∑，根据()1k k k n n n k C kC C +=+可化简得到结果；（3）等式左侧可看做()()()
()
1
1
121...1m m m n h x x x n x ++-=++++++中含m x 项的系数；
通过()()()1h x x h x -+整理出()h x ，此时含m x 项的系数为
()1112
m m n
m n C m +++++，即等式右侧；
由此可知所证等式成立.
【详解】（1）由题意知：()()()()3410
111g x x x x =++++++ 所以()g x 中含3x 项的系数为：
333343334345104451011330
C C C C C C C C C ++++=++++== （2）()()0
1n
n
k k n n k f x x C x
==+=∑两边求导得()
1
11
1n
n k k n
k n x kC x --=+=∑，令1x =得到1
1
2
n
n k n k n kC -=⋅=∑，
又1221n n
n n n C C C +++=- 且所求式子的通项为()1k k k n n n
k C kC C +=+()12312341221
n
n n n n n n C C C n C n -∴+++++=⋅+- （3）()()()
()
1
1
121...1m m m n h x x x n x ++-=++++++……①
则函数()h x 中含m x 项的系数为11
2...m m m
m m m n C C nC -+-+⨯++因为()()()()
()
1
2
1121...1m m m n
x h x x x x ++++=++++++……②
①-②得：
()()()
()
()
()
1
2
1
111...11m m m m n m n
xh x x x x x n x
+++-+-=++++++++-+即()()
()()
()
111111m
n m n
x x xh x n x x +⎡⎤+-+⎣⎦-=
-+-+所以()
()()()
2
111m
m n m n
x x nx x h x x +++-+++=
函数()h x 中含m x 项的系数为：
()()()()()()21!!
2!2!1!1!
m m m n m n m n n m n C nC m n m n ++++++-+=-
++-+-()()()()()()1
12!1121!1!
2m m n
n n m m n m n C m m n m ++--+++++=
⨯=++-+所以()1
1211123 (2)
m m m m
m m m m m n m n
m n C C C nC C m ++++-+++++++=
+本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题
意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用.。