第3讲 存性问题中的三角形与四边形

第三讲 函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形
【1、探索抛物线上的特殊图形】
【探索1】已知抛物线223y x x =--的的顶点为D ，点P 、Q
是等边三角形，求△DPQ 的面积。

【探索2】已知抛物线223y x x =--的的顶点为D ，点
P 为直角坐标系内一点，若四边形DPCQ
【探索3】抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1轴交于点C 。

设J 为y 轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点K ，使得△OKJ 为等腰直角三角形。

求点K 的坐标。

【探索4】抛物线2
3(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ，顶点为D 。

设L 为抛物线上一个动点，N 为x 轴上的一个动点，则以点L 、N 、
B 、
C 为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标； 若不能，请说明理由。

【探索5】抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ，顶点为D 。

点M 是对称轴与x 轴的交点。

设R 为抛物线上一个动点，则以点 M 、R 、B 、C 为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点R 的坐标；若 不能，请说明理由。

【2、抛物线上的两个图形关系 】
两个图形的关系重点在两个三角形全等和相似。

【探索6】如图，二次函数2162
y x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点。

设点P 、Q 为该二 次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使
AQP ABP △≌△？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。

【探索7】抛物线2
3(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ，顶点为D 。

设G 点为抛物线上一个动点，过G 作GH 垂直x 轴于点H ，若△BCD 与△BHG 相似，是否存在符合条件的G 点坐标？若存在，请求出G 点坐标，若不存在，请 说明理由。

【真题模拟】
【例1】已知：抛物线2
(1)22y k x kx k =-++-与x 轴有两个不同的交点。

(1)求k 的取值范围；
(2)当k 为整数，且关于x 的方程31x kx =-的解是负数时，求抛物线的解析式；
(3)在⑵的条件下，若在抛物线和x 轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x 轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长。

【例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（3，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处。

（1）求点C、D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q。

①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；
②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标。

【例3】已知抛物线2
y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C （2，m ），求△OBC 的面积；
（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E 。

是否存在点P ，使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与△OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【实战训练】
1、如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，
，()03B -，，与x 轴交于另一点C 。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边 形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知，在Rt △OAB 中，90OAB =︒∠，30BOA =︒∠，AB ＝2。

若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线bx ax y +=2
（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请 求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

3、已知抛物线22y x x a =-+(0a <)与y 轴相交于点A ，顶点为M 。

直线12
y x a =
-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N 。

（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M( ， )N( ， )；
（2）如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x 轴交 于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；
（3）在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由。