2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三(上)期末数学试卷(文科)含答案

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期末数学试卷（文
科）
一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）复数z=的共轭复数是（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”
平行的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣
5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）
A．5B．11C．23D．47
6．（5分）在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（）
A．100个心脏病患者中至少有99人打酣
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣
C．100个心脏病患者中一定有打酣的人
D．100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有
7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
8．（5分）函数f（x）=（x+1）e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x﹣y+1=0C．x﹣2y﹣1=0D．x﹣2y+1=0 9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138B．135C．95D．23
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知双曲线的方程为（a＞0，b＞0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）
A．1B．C．D．
二、填空题（5分×4=20分）将最后结果直接填在横线上.
13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．
14．（5分）设向量，若向量与向量垂直，则λ=．
15．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O上，且AB=a，侧棱长为
，则球O的体积为．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，则sinA•sinC的最大值为．
三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分=70分）
17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令，证明：对于任意的n∈N*，数列{b n}的前n项和
．
18．（12分）如图，在三棱柱ABM﹣DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1．E是AB的中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）求三棱锥E﹣BCM的体积．
19．（12分）某学校为挑选参加地区汉字听写大赛的学生代表，从全校报名的1200人中筛选出300人参加听写比赛，然后按听写比赛成绩择优选取75人再参加诵读比赛．
（1）从参加听写比赛的学生中随机抽取了24名学生的比赛成绩整理成表：
请你根据该样本数据估计进入诵读比赛的分数线大约是多少？
（2）若学校决定，从诵读比赛的女生的前4名a，b，c，d和男生的前两名e，f中挑选两名学生作为代表队队长，请你求出队长恰好为一男一女的概率．20．（12分）已知抛物线C的焦点F与椭圆3x2+4y2=3的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线分别交抛物线C于A，M和N，B，求四边形ABMN的面积S的最小值及S最小值时对应的两条直线方程．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a≠0）．
（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：
（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；
（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S 为切点作f（x）的切l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数a，使得l1∥l2，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为參数），曲线C1的方程为ρ=4sinθ．若线段OQ的中点P始终在C1上．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C2的极坐标方程：
（Ⅱ）直线l与曲线C2交于A，B两点，若丨AB丨≥4，求实数a的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知正实数a，b，c及函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|．
（I）当a=3时，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥对任意实数x都成立．求证：0＜a≤﹣1．
2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高三（上）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项中只有一项正确1．（5分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={0，1，2，3}，
∴M∩N={0，1}，
故选：A．
2．（5分）复数z=的共轭复数是（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【解答】解：化简可得复数z=
===﹣1+i，
∴复数z的共轭复数为：﹣1﹣i
故选：B．
3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2：x+（a+1）y+3=0”
平行的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2
：x+（a+1）y+3=0”平行，
则，≠，
解得a=1，
因此“a=1”是“直线11：ax+2y﹣6=0 与直线l2
：x+（a+1）y+3=0”平行的充要条件．故选：C．
4．（5分）已知△ABC中，tanA=﹣，那么cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣
【解答】解：∵在△ABC中，tanA=﹣，
∴cosA=﹣=﹣．
故选：C．
5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）
A．5B．11C．23D．47
【解答】解：首先给循环变量A和输出变量B赋值3、2．
A=3≤5，B=2×2+1=5，A=3+1=4；
4≤5，B=2×5+1=11，A=4+1=5；
5≤5，B=2×11+1=23，A=5+1=6；
6＞5，输出B的值为23，算法结束．
故选：C．
6．（5分）在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是（）
A．100个心脏病患者中至少有99人打酣
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打酣
C．100个心脏病患者中一定有打酣的人
D．100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有
【解答】解：∵“打酣与患心脏病有关”的结论，有99%以上的把握认为正确，
表示有99%的把握认为这个结论成立，
与多少个人打酣没有关系，
只有D选项正确，
故选：D．
7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选：D．
8．（5分）函数f（x）=（x+1）e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣1=0B．2x﹣y+1=0C．x﹣2y﹣1=0D．x﹣2y+1=0
【解答】解：函数的导数f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，
则f′（0）=2，
即函数f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=f′（0）=2，
则对应的切线方程为y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，
故选：B．
9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138B．135C．95D．23
【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，
∴d=3，a1=﹣4，
∴S10=10a1+=95．
故选：C．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，
∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，
设AA1=2AB=2，
则A1E=1，BE==，
A1B==，
∴cos∠A1BE=
=
=．
∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．
故选：C．
11．（5分）已知双曲线的方程为（a＞0，b＞0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为，即bx﹣ay=0，
所以焦点到渐近线的方程为，整理得，
所以有，，即，离心率，
故选：B．
12．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，
则当|MN|达到最小时t的值为（）
A．1B．C．D．
【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得
=
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选：D．
二、填空题（5分×4=20分）将最后结果直接填在横线上.
13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为3．
【解答】解：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，
则正视图和俯视图可知该几何体的高为1，
结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，
所以该几何题的体积为；
故答案为3．
14．（5分）设向量，若向量与向量垂直，
则λ=．
【解答】解：；
∵向量与=（﹣4，﹣7）垂直；
∴；
解得．
故答案为：．
15．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O上，且AB=a，侧棱长为
，则球O的体积为．
【解答】解：∵AB=a，侧棱长为，
∴O′A=，O′A=O′B，
∴（）2=（）2+O′P2，O′P=，
∵设球的球心O，半径R，
∴R2=（）2+（R﹣）2，
R=，
∴球O的体积为：=
故答案为：
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，
则sinA•sinC的最大值为．
【解答】解：由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，
即sinA•+sinC•=sinB，
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
∵sin（A+C）=sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，a+c=2b，由余弦定理得：
cosB===•﹣≥﹣=，
则B≤．
sinA•sinC≤=sin2B≤．当且仅当三角形是正三角形时，取得最大值．
sinA•sinC的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分=70分）
17．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；
（Ⅱ）令，证明：对于任意的n∈N*，数列{b n}的前n项和
．
【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}为等差数列，
∴a3+a9=a5+a7=26，
又∵a3=7，
∴a9=19，d===2，
∴a n=a3+（n﹣3）d=7+2n﹣6=2n+1，
S n===n（n+2）；
（Ⅱ）证明：由（I）可知b n==[﹣]，
则T n=[1﹣+﹣+…+﹣+﹣]
=[1+﹣﹣]
＜（1+）
=．
18．（12分）如图，在三棱柱ABM﹣DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1．E是AB的中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）求三棱锥E﹣BCM的体积．
【解答】（1）证明连结MD，设AN∩MD=G，取MC中点F，连结EF，GF，
∵侧面ADNM是矩形，∴G是MD的中点，
∴GF是△MCD的中位线，
∴GF∥CD，GF=，
∵侧面ABCD是菱形，E是AB的中点，
∴AE∥CD，AE=，
∴GF∥AE，GF=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，即AN∥EF，
又∵AN⊄平面MEC，EF⊂平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（2）解：∵侧面ADNM是矩形，∴AM⊥AD，
又∵侧面ADNM⊥侧面ABCD，侧面ADNM∩侧面ABCD=AD，AM⊂平面ADNM，∴AM⊥平面ABCD．
∵侧面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，
∴BE=1，∠EBC=120°，BC=2，
==．
∴S
△BCE
=V M﹣BCE===．
∴V E
﹣BCM
19．（12分）某学校为挑选参加地区汉字听写大赛的学生代表，从全校报名的1200人中筛选出300人参加听写比赛，然后按听写比赛成绩择优选取75人再参加诵读比赛．
（1）从参加听写比赛的学生中随机抽取了24名学生的比赛成绩整理成表：
请你根据该样本数据估计进入诵读比赛的分数线大约是多少？
（2）若学校决定，从诵读比赛的女生的前4名a，b，c，d和男生的前两名e，f中挑选两名学生作为代表队队长，请你求出队长恰好为一男一女的概率．
【解答】解：（1）设这24位学生中参加诵读比赛共x人，
则，解得x=6．
由比赛成绩整理表得听写比赛的学生成绩在[75，80）的有9人，[80，85）的有4人，[85，90）的有1人，
∴估计进入诵读比赛的分数线大约为80分．
（2）据题意，从诵读比赛的女生的前4名a，b，c，d和男生的前两名e，f中
挑选两名学生的情况有：
（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），（e，f），共15种，
一男一女的情况有：（a，e），（a，f），（b，e），（b，f），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），共8种，
故队长恰好为一男一女的概率P=．
20．（12分）已知抛物线C的焦点F与椭圆3x2+4y2=3的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线分别交抛物线C于A，M和N，B，求四边形ABMN的面积S的最小值及S最小值时对应的两条直线方程．
【解答】解：（1）椭圆3x2+4y2=3，即为x2+=1，
可得右焦点F为（，0），
设抛物线的方程为y2=2px，即有=，
可得p=1，
抛物线的方程为y2=2x；
（2）设过点F的直线方程为y=k（x﹣），
A（x1，y1），M（x2，y2），
由，得k2x2﹣（k2+2）x+=0，
由韦达定理，得x1+x2=1+，x1x2=，
∴|AM|=•=2+，
同理，|BN|=2+2k2，
∴四边形ABCD的面积S=（2+）（2+2k2）=2（2+k2+）
≥2（2）=8，
当且仅当k2=，即k=±1时，取等号，
四边形ABMN面积的最小为8，此时直线的方程为y=±（x﹣）．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a≠0）．
（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：
（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；
（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S 为切点作f（x）的切l1，以T为切点作g（x）的切线l2，是否存在实数a，使得l1∥l2，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2（x＞0），
所以，h′（x）=﹣2ax=，
所以，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x0，y0），则有
lnx0=ax02﹣x0，①
又在点P有共同的切线，
∴f′（x0）=g′（x0），
即=2ax0﹣1，
即a=代入①得
lnx0=﹣x0；
设H（x）=lnx﹣+x，H′（x）=+＞0；
所以函数H（x）最多只有1个零点，观察得x0=1是零点．
∴a=1，此时P（1，0）．
（ii）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）且x1＞x2，则MN中点的坐标为（，
）；
以S为切点的切线l1的斜率k1=f′（）=，
以T为切点的切线l2的斜率k2=g′（）=a（x1+x2）﹣1，
如果存在a使得k1=k2，=a（x1+x2）﹣1，①
而且有lnx1=ax12﹣x1和lnx2=ax22﹣x2，
如果将①的两边乘x1﹣x2得并简可得，
=ax12﹣x1﹣（ax22﹣x2）=lnx1﹣lnx2=ln，
即，ln=；
设u=＞1，则有lnu=，（u＞1）；
考察F（u）=lnu﹣，（u＞1）的单调性不难发现，
F（u）在[1，+∞）上单调递增，故F（u）＞F（1）=0，
所以，满足条件的实数a并不存在．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为參数），曲线C1的方程为ρ=4sinθ．若线段OQ的中点P始终在C1上．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C2的极坐标方程：
（Ⅱ）直线l与曲线C2交于A，B两点，若丨AB丨≥4，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）设点Q（ρ1，θ），则ρ1=2ρ=8sinθ，
故点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（2）由题意，A，B两点中必有一个是极点，不妨设A为极点，则B（ρ，θ），由题，，
即，∴，
∴|tanθ|≥1，
则a=tanθ∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知正实数a，b，c及函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|．
（I）当a=3时，解不等式f（x）＜6；
（Ⅱ）若a+b+c=1，且不等式f（x）≥对任意实数x都成立．求证：0＜a≤﹣1．
【解答】解：（I）当a=3时，函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，表示数轴上的x对应点到1、3对应点的距离之和，
而﹣1和5对应点到1、3对应点的距离之和正好等于6，
故不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，5）．
（Ⅱ）证明：∵f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|=1﹣a，结合题意可得1﹣a≥
，
即1﹣a≥，即（1﹣a）2≥a2+b2+c2①．
又∵a+b+c=1，a，b，c 为正实数，∴（1﹣a）2=（b+c）2≤2（b2+c2），∴b2+c2≥②．
综合①②可得（a﹣1）2≥a2+，即a2+2a﹣1≤0．
再结合0＜a＜1，求得0＜a≤﹣1，故有0＜a≤﹣1成立．。