(人教版)深圳市必修第一册第五单元《三角函数》测试(有答案解析)

一、选择题
1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
3
π
个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π
个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ）
A ．
512
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
6
π 3．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．
A ．10
B ．2
C ．15
D ．1524．已知函数()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢
⎥⎣⎦
Z C ．()f x 的图象关于直线6
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 5．函数1
()11f x x
=
+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
6．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则ϕ=（ ） A ．
512
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3
x π
=
处取得最小值，则函数
()f x 的一个单调递减区间为（ ）
A ．4,33ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．2,33ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C ．5,36ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．,63ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 8．已知函数(
)2
2sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距
离为
4π，则当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值为（ ） A ．1-
B
．
C
．D
．-9．
2cos(
)
4
θ
θ=-，则sin 2θ=（ ）
A ．
13
B ．
2
3
C ．23
-
D ．13
-
10．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<
⎪⎝
⎭，(
)0f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π
6
ϕ=
；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为
（ ）
A ．①④
B ．③④
C ．①②④
D ．①③④
11．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且
()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）
A ．45
-
B ．
45 C ．
35
D ．
35
12．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度 二、填空题
13．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________．
14．已知函数sin cos y x x =-，其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为
x =________.
15．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______. 16．已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，且当[0,]2
x π∈时，
()sin f x x =，则5
()3
f π=_______.
17．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫
⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是
______．（填写所有正确结论的序号）．
18．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________. 19．已知1
tan()3πα+=-
，则
sin 2cos 5cos sin αααα+=-______． 20．已知5
0sin 245
ππαα⎛⎫
⎛⎫
∈-
= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝
⎭，，，则tan α=__________. 三、解答题
21．已知()π2sin cos 23cos cos 44f x x x x x π⎛⎫
⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭． （1）求函数()f x 的单调递减区间：
（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.
22．函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 是定义在R 上的周期函数，()h x ax b =+，,a b 为常数
（1）()sin g x x =，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）求证:“()f x 为奇函数“的一个必要非充分条件是”()f x 的图象有异于原点的对称中心
(),m n ”
（3）()sin cos g x x x =+，()f x 在[]0,3x π∈上的最大值为M ，求M 的最小值. 23．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
. （1）求函数()y f x =的最小正周期； （2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 24．如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的标为34,
55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（1）求
sin 2cos 21
1tan ααα
+++的值;
（2）若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+的值 25．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫
=->≤ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的值域； （2）若3
π
ϕ=
，sin 2cos 0αα-=. 求()f
α的值.
26．已知函数()3sin 22f x x x =.
（1）若2A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，0A π<<，求A 的值．
（2）先将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3
π
个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，求函数y g x 的单调递增区间.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】
因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，
再将sin 2y x =的图象向右平移6π
个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象. 故选：D.
2．A
解析：A 【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==，
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈， 由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0
512x π=. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
3．C
解析：C 【分析】
由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】
由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠= ∴30PE DE PD CD ====
∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．
故选：C ．
4．B
解析：B 【分析】
对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令
242,2
6
2k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断；
对D ，计算24f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断.
【详解】 对于A ，
()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242
T ππ==，故A 错误；
对于B ，令242,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得
,26212
k k x k Z ππππ
-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦，故B 正确； 对于C ，
2sin 412666f πππ⎛⎫
⨯+=≠± ⎪⎝
=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对
称，故C 错误；
对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对
称. 故选B. 【点睛】
方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2
x k k Z π
ωϕπ+=+∈可求得对
称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；
（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若
()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 5．A
解析：A 【分析】
根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】
由函数图象的平移可知，
函数1
()11f x x
=
+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，
由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=. 故选：A 【点睛】
关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知1
()11f x x
=
+-与()2sin 1g x x π=+都是关于(1,1)中心对称，因此图象交点也关于(1,1)对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.
6．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】
因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦， 若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min
3
x x π
-=
，
所以不妨取24
x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π
=取得最小值， 所以77121s 12
in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫
⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z π
ϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，
取24
x π=
，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π
=-取得最小值， 所以12
sin 21ϕπ⎡⎤
⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-
，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，
故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利
用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．
7．D
解析：D 【分析】
先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】 因为
()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，
且()f x 在3
x π
=
处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以22,3
k k Z π
ϕππ-=+∈， 所以2,3
k k Z π
ϕπ=-
-∈，取ϕ的一个值为3
π-， 所以()cos 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令222,3
k x k k Z π
πππ≤+
≤+∈，
所以,6
3k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 故选：D. 【点睛】
思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下： （1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；
（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.
8．D
解析：D 【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】
因为()2
1cos 22sin cos sin 22
x
f x x x x x ωωωωω+=-=- π
sin 222sin 23x x x ωωω⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭
由题意知()f x 的最小正周期为ππ
242
⨯
=，所以
2ππ22ω=，即2ω=，
所以(
)π2sin 43f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
当π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以π2sin 423x ⎛
⎫⎡
⎤-
∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭， 因此(
)π2sin 423f x x ⎛⎫
⎡=-
- ⎪⎣⎝
⎭
， 所以函数()f x
的最小值为-． 故选：D.
9．B
解析：B 【分析】
由二倍角公式和差的余弦公式化简得出(
)2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】
)
22cos sin 2cos()
cos
cos sin
sin 44
4
θθ
θπ
π
π
θθθ
-=-+
()
cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-
=
=-，
()2cos sin 2θθθ∴-=，
两边平方得()2
41sin 23sin 2θθ-=， 解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23
θ=. 故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.
10．D
解析：
D 【分析】 根据()0f =
，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正
误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】
对于①：由()0f =
知2tan 3ϕ=，即tan 3
ϕ=，结合π2ϕ<，解得
π
6
ϕ=．故①正确；
对于②：因为π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得
62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；
对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递
增，故③正确；
对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π
4
T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．
11．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，进而求出()f α 【详解】 由
2π
πω
=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇
函数，()2
k k Z π
θπ∴=
+∈，，又0θπ<<，得2
π
θ=
，
()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫∴=+=- ⎪⎝
⎭，又由tan 2α=，可得
()222
2sin cos 2tan 4
sin 2sin cos tan 15
f αααααααα-=-=
=-=-++ 故选：A 【点睛】
关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
，难度属于基础题
12．A
解析：A
【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6
个单位长度.
故选：A 二、填空题
13．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值
解析：1 【分析】
把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值． 【详解】 ∵tan 4α=，
∴22
2222cos 4sin cos 14tan 144
cos 2sin 21sin cos tan 141
ααααααααα+++⨯+====+++．
故答案为：1． 【点睛】
方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次
齐次式：sin cos sin cos a b c d αα
αα
++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++， 另外二次
式2
2
sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．
14．【分析】函数令求解【详解】已知函数令解得所以其图象的对称轴中距离
轴最近的一条对称轴方程为故答案为： 解析：4
π-
【分析】
函数4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令42x k πππ-=+求解.
【详解】
已知函数sin cos 4y x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
令,4
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，
解得 3,4
x k k Z π
π=+
∈， 所以其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =4
π-. 故答案为：4
π-
15．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为：
解析：2
5
-
【分析】
根据三角函数定义求出sin α、cos α的值，由此可求得sin 2cos αα+的值. 【详解】
由三角函数的定义可得
3
cos 5α=
=-
，4
sin 5α==
，
因此，432sin 2cos 2555αα⎛⎫
+=+⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故答案为：2
5
-
. 16．【分析】由题周期性和偶函数的性质可得【详解】定义在R 上的偶函数的
最小正周期为故答案为： 【分析】
由题周期性和偶函数的性质可得5(
)()()333
f f f πππ=-=.
【详解】
定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，
553
()(2)()()sin 33333f f f f ππππππ∴=-=-===
. 故答案为：
3
2
. 17．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因
解析：①④ 【分析】
作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：
由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；
因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，故④正确；
因为()0,2x π∈，所以,2555x π
π
πωπω⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则25
2
π
π
πω+
<
，解得320ω<
，不符合1229
510
ω≤<，故③错误；
故答案为：①④ 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.
18．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：
【分析】
先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】
因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，
所以113()(1cos 2)sin 21)22242
f x x x x π=
-++=-+， 因为sin(2)14
x π
-≤，
所以()f x ≤
，
即函数的最大值为
32
+，
故答案为：
32
+ 19．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键 解析：
516
【分析】
由已知条件求出1
tan 3
α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】
1tan()3πα+=-，1
tan 3
α∴=-，
sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--1
2
3153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
516
=． 故答案为：516
【点睛】
关键点点睛：弦化切求解是解题关键.
20．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象
解析：3 【分析】
由平方关系求出cos 4πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．
【详解】 ∵0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴,444π
ππα⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
，
cos 4πα⎛⎫-==
⎪⎝⎭， ∴
sin sin sin cos cos sin 444444525220ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-+-=+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
∴cos 10
α==
， sin tan 3cos α
αα
=
=． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44
ππ
αα⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，这就要确定4π
α-的范围．以确定余弦值的正负．
三、解答题
21．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩
或12k ⎫=-⎬⎭.
【分析】
（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果； （2）转化为函数()cos 26h x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
上的图象与2y k =的图象有唯一交
点，根据图象可得结果. 【详解】
（1）()2sin cos 23cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+-
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ sin 223sin cos 244x x x π
ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin 223sin cos 44x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin 23sin 22x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
sin 23cos 22sin 23x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
令
32222
3
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，k Z ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
.
（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝
⎭在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于
132sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2326k x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦上有唯一实根，
设()cos 26h x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，
函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上的图象如图：
由图可知实数k 应满足11
222
k -
<≤或21k =-，
∴1144
k -
<≤或12k =-，
故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩
或12k ⎫=-⎬⎭
. 【点睛】
关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键.
22．（1）0b =，奇函数；0b ≠，非奇非偶函数；（2）证明见解析；（3
. 【分析】
（1）就0,0b b =≠分类讨论，后者利用反例说明()f x 为非奇非偶函数.
（2）通过反例说明非充分性成立，设()g x 的周期为2T m =，可以证明当()f x 为奇函数时()()224f x m f x m am ++-+=成立，从而可得()f x 有异于原点的对称中心. （3）先考虑0a
b
时，M =
，再通过反证法可证明M <
min M =
，也可以利用绝对值不等式证明M ≥成立，结合0a b
时，M =
可得min M . 【详解】
（1）()sin f x x ax b =++，
0b =时，()()()sin f x x ax f x -=--=-，()f x 为奇函数，
0b ≠时，∵()00f ≠，∴()f x 不是奇函数.
()1sin1f a b =++，()1sin1f a b -=--+，()2sin 22f a b =++， ()2sin 22f a b -=--+.
若()f x 为偶函数，则()()()()1122f f f f ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即sin11
sin 22a a =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
， 因为1sin1sin 22-≠-，故sin1
1
sin 22a a =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
无解， ∴()f x 不是偶函数，所以()f x 是非奇非偶函数. （2）非充分性：举反例，
()()()cos ,1,cos 1g x x h x f x x ===+有异于原点的对称中心,12
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
但()f x 不是奇函数；
必要性：设奇函数()()f x g x ax b =++，且()()g x T g x +=，令2T m = ，
()()()()2222f x m g x m a x m b g x ax b am +=++++=+++，
而()()()()()22222f x m f x m g x m a x m b g x ax am b -+=--=-----=--+-， 故()()224f x m f x m am ++-+=， 令2n am =，则()f x 的图象关于(),m n 对称. （3）法一：
()
sin cos 4f x x x ax b x ax b π⎛
⎫=+++=+++ ⎪⎝
⎭，取0a b ，
则()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，∴()max 4M f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭M 的最小值为
，
反证法：假设M <()4f x x ax b π⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭，∵4f M π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭
∴
4
a b π
+
+<∴
044
a b a b π
π
+<+<，①；
同理∵54f M π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭
，∴
504a b π
+>②；
∵94f M π⎛⎫≤<
⎪⎝⎭
，∴
904a b π
+<，③； ②-①得0a π>，
③-②得0a π<，矛盾，所以假设不成立，得证.
法二：()sin cos 4f x x x ax b x ax b π⎛
⎫=+++=
+++ ⎪⎝
⎭
59
22444a b a b a b πππ⎛⎫⎛⎫⎫
++-+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 59
2444a b a b a b πππ⎫⎛⎫⎫∴=+-+++⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭
59
24
4
4
a b a b a b π
π
π
≤
+++++ 5924444f f f M πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
M ∴≥
当0a
b
时， |()|4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
max min ()4f x M f M π⎛⎫
==⎪⎭
== ⎝
【点睛】 方法点睛：
（1）说明一个函数为非奇非偶函数，一般利用反例来说明；
（2）如果函数()f x 满足()()2f a x f a x b -++=，则()f x 的图象有对称中心(),a b . （3）双重最值问题，可以利用绝对值不等式先求出范围，再验证等号可以成立. 23．（1）π；（2）min ()1f x =-，max ()2f x =. 【分析】
（1）利用倍角公式降幂，求得()sin 2cos 22
a
f x x x =
-，再利用(0)3f f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，得到
等量关系式，求得a = （2）由x 的范围，得到相应整体角的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【详解】
（1）2
()cos sin 12cos sin 2cos 22
a
f x a x x x x x =⋅+-=-， ∵(0)
3f f π⎛⎫-
= ⎪
⎝⎭，∴22sin cos sin 0cos 0233
2
a a
π
π
⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =
∴()2cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪
⎝
⎭，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=. （2）∵52,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴72,646x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]()2sin 21,26f x x π⎛
⎫=-∈- ⎪⎝⎭.
∴当7266x π
π-
=
，即23
x π=时，min ()1f x =-，当226x ππ-=，即3x π
=时，max ()2f x =.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下：
（1）利用正、余弦倍角公式降幂，利用条件求相应参数值，利用辅助角公式化简函数解析式；
（2）利用函数的性质，得到其最小正周期；
（3）根据自变量x 的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的性质，求得函数的最值. 24．（1）1825
；（2）7
25. 【分析】
（1）根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角α的正弦值与余弦值，利用二倍角
的正弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代入求解即可；
（2）以向量的数量积为0为条件，可得2π
αβ-= ，从而可得3sin 5
β=，进而得4cos 5
β=
，利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】 （1）由三角函数定义得3cos 5α=-， 4sin 5
α= ∴原式()222cos sin cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin cos 1cos cos αααααααααααα
++===++ 2=·235⎛⎫- ⎪⎝⎭=1825
（2）0OP OQ ⋅=，∴
2παβ-= ， ∴2π
βα=-，∴3sin sin cos 25
πβαα⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 4cos cos sin 25πβαα⎛⎫=-== ⎪⎝
⎭， ∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
44337555525
⎛⎫=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭. 25．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦；（2）(
)410f α=+. 【分析】
（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域； （2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f
α的值. 【详解】
（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛
⎫=->≤ ⎪⎝⎭
的最小正周期为π，则22π
ωπ==，
()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
22ππϕ-≤≤，5636π
π
πϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，
3πϕ=，所以，
())21sin 2sin 22sin cos 2cos 132f πααααααα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭
2
2222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12
αααααααααα=-+=+=+++
245210
-+=+=. 【点睛】
求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式．
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或
()cos x ωϕ+）的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）.
26．（1）512A π=
或1112A π=；（2）,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】
（1）化简得())6f x x π=-6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （2）先求出函数()g x 的解析式，再求函数的单调递增区间.
【详解】
（1）())6f x x π
=-）
所以26A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 6A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 又0A π<<，所以5666A πππ-
<-<， 所以64A ππ-
=或34π， 所以512A π=
或1112A π=
（2）()2,6f x x π⎛⎫- ⎪⎝
⎭
将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3
π个单位得到
)])362y x x πππ
=+-=+，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不
变，得到函数()442g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭的图像， 令242k x k πππ-+≤≤，k Z ∈, 所以422
k k x π
ππ-+≤≤， 所以递增区间为,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z . 【点睛】
方法点睛：求函数sin()y A wx h φ=++的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.。