利用导数的几何意义的常见题型

ʏ安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝
可导函数y =f (x )的图像在点(x 0,f (
x 0))处切线的斜率等于f '(x 0)就是导数的几何意义,于是可得到可导函数y =f (x )
的图像在点(x 0,f (
x 0))处的切线方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0),求解时抓住切点在函数y =f (x )
的图像上,又在切线上,切点处的导数值即为切线斜率这三点即可处理与切线有关的问题㊂下面结合具体例题归纳利用导数的几何意义的常见题型㊂
一㊁求切线方程
1.1求在某点处的切线方程
例1 已知函数f (x )=
2s i n x
x +1
,则曲线y =f (
x )在点(0,0)处的切线方程为㊂
解
析:
因为
f
'(x )
=
2(x +1)c o s x -2s i n x
(x +1
)2
,所以k =f '(0)=2,故所求切线的方程为y =2x ㊂
1.2求过某点的切线方程
例2 已知曲线y =13
x 3+43
,求过点
P (2,4
)且与曲线相切的切线方程㊂解析:设曲线y =13x 3+4
3与过点P (2
,4)的切线相切于点A x 0,13x 30+
4
3
㊂则切线的斜率k =x 2
,
即切线方程为y -13x 30+
43
=x 2
0(x -x 0)㊂因点P (2,4)在切线上,故x 30-3x 2
0+4=0,可化为x 3
0+x 2
0-4x 2
0+4=0㊂整理得(x 0+1)(x 0-2)2
=0
,则x 0=-1或x 0=2
㊂故所求切线的方程为4x -y -4=0或
x -y +
2=0㊂点评:注意在某点处的切线与过某点的
切线的区别:在某点处的切线,该点是切点,一定在函数y =f (x )的图像上;过某点的切线,该点不一定是切点,该点可能在函数y =f (
x )的图像上,也可能不在㊂二㊁已知切线求参数值(或范围)
例3 已知曲线y =a x
3
与直线6x -y -4=0相切,则实数a 的值为㊂
解析:设切点为(m ,n ),由y =a x 3
得y '
=3a x 2
㊂由题意得3a m 2
=6,6m -n -4=0,n =a m 3
,
解得m =1,n =2,a =2
㊂例4 若直线y =2x +b 是曲线y =
2a l n x 的切线,且a >0,则实数b 的最小值是
㊂
解析:y =2
a l n x 的导数为y '=2a
x
㊂由于直线y =2x +b 是曲线y =2a l n x 的切线,
设切点为(m ,n ),则2a
m =2,m =a ㊂又2m +b
=2a l n m ,故b =2a l n a -2a (a >0
)㊂令h (a )=2a l n a -2a ,h '(a )=2(l n a +
1)-2=2l n a ㊂当a >1时,h '(a )>0,h (a )单调递增;当0<a <1时,h '(a )<0,h (a )单调递减㊂a =1为极小值点,
也为最小值点,故h (a )的最小值为2l n 1-2=-2
㊂点评:已知切线求参数值(或范围),一般
先设出切点,利用导数的几何意义求出切线方程,并与已知的切线方程进行对比,即可建立方程,从而得解㊂
三㊁切线条数问题
3.1判断切线条数
例5已知曲线S:y=3x-x3,则过点P(2,2)可向曲线S引切线,其切线条数为()㊂
A.1
B.2
C.3
D.0
解析:设在曲线S上的切点为(t,3t-t3)㊂已知y=3x-x3,则y'=3-3x2㊂所以曲线S在点(t,3t-t3)处的切线方程为y-(3t-t3)=(3-3t2)(x-t)㊂
将点P(2,2)的坐标代入切线方程得t3-3t2+2=0,即(t-1)(t2-2t-2)=0㊂解得t1=1,t2=1+3,t3=1-3㊂
因此过点P(2,2)可向曲线S引3条切线,选C㊂
3.2已知切线条数求参数值(或范围)
例6已知过点M(m,0)作曲线C:y =x㊃l n x的切线有且仅有两条,则实数m 的取值范围是㊂
解析:由题意可知,曲线C:y=x㊃l n x,定义域为(0,+ɕ),则y'=l n x+1㊂
设切点为(x0,y0),则切线斜率k= l n x0+1,切线方程为y-y0=(l n x0+1)㊃(x-x0)㊂将M(m,0)代入切线方程得-y0 =(l n x0+1)(m-x0)㊂
又因为y0=x0㊃l n x0,所以m l n x0+ m-x0=0㊂
显然mʂ0,整理得1m=l n x0+1
x0
㊂
由于过点M(m,0)作曲线C:y=x㊃
l n x的切线有且仅有两条,即1m=l n x0+1
x0
有两个解㊂
设g(x)=l n x+1
x
(x>0),于是直线y =1m与函数g(x)的图像有两个不同的交点㊂求导得g'(x)=-l n x x2,令g'(x)=0,即l n x=0,解得x=1㊂
所以当xɪ(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当xɪ(1,+ɕ)时,g'(x)<0,g(x)单调递减㊂所以g(x)m a x=g(1)=1㊂
而且当xɪ0,1e时,g(x)<0;当xɪ1
e,+ɕ时,g(x)>0㊂
分析可得0<1m<1,故m>1㊂
所以实数m的取值范围是(1,+ɕ)㊂
点评:设出切点,利用导数的几何意义求出切线方程,因切线过已知点,得到关于切点横坐标的方程,切线有几条转化为方程有几个解㊂例5直接解三次方程,如果方程不便求解,可转化为判断函数有几个零点;例6直接转化为两个函数图像交点有两个时求参数的取值范围,注意分离参数㊂
四㊁公切线问题
4.1求公切线方程
例7已知直线l是曲线f(x)= l n(x+1)和曲线g(x)=l n(e3x)的公切线,则直线l的方程是㊂
解析:设直线l的方程为y=k x+b,设直线l与曲线f(x)=l n(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线g(x)=l n(e3x)相切于点B(x2,y2)㊂
已知f(x)=l n(x+1),则f'(x)= 1
x+1
㊂
由f'(x1)=1
x1+1=k,可得x1=
1-k
k
㊂则y1=f(x1)=l n(x1+1)=-l n k,即点A
1-k
k
,-l n k㊂
将点A的坐标代入直线l的方程可得-l n k=k㊃1-k k+b,即b=k-l n k-1㊂①
g(x)=l n(e3x)=3+l n x,则g'(x)= 1
x
㊂由g'(x2)=1x
2
=k,可得x2=1k㊂y2=g(x2)=3-l n k,即点B1k,3-l n k㊂
将点B的坐标代入直线l的方程可得3-l n k=k㊃1k+b=b+1,即b=2-l n k㊂②
联立①②可得k-l n k-1=2-l n k,解得k=3,b=2-l n3㊂
故直线l的方程是y=3x+2-l n3㊂
4.2已知公切线求参数范围
例8已知直线l为曲线y=x+1+ l n x在A(1,2)处的切线,若直线l与二次曲线y=a x2+(a+2)x+1也相切,则a= ()㊂
A.0
B.-4
C.4
D.0或4
解析:因为y=x+1+l n x,所以y'= 1+1x,y'|x=1=2㊂
因此,曲线y=x+1+l n x在A(1,2)处的切线斜率k=2㊂
故曲线y=x+1+l n x在A(1,2)处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x㊂
由于直线l与曲线y=a x2+(a+2)x+ 1也相切,故:
y=a x2+(a+2)x+1,
y=2x㊂
可得a x2+a x+1=0㊂
又aʂ0,两线相切有一切点,所以Δ= a2-4a=0,解得a=4或a=0(舍去)㊂选C㊂
例9直线y=k x+b与曲线y=f(x)相切也与曲线y=g(x)相切,则称直线y= k x+b为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线㊂已知函数f(x)=x2,g(x)=a l n x,其中aʂ0,若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线有两条,则a的取值范围为()㊂
A.a<0
B.a<-1
C.0<a<2e
D.0<a<2e
解析:设曲线f(x)=x2的切点为(s, s2),则f(x)=x2⇒f'(x)=2x,所以过该切点的切线斜率为f'(s)=2s㊂因此过该切点的切线方程为y-s2=2s(x-s)⇒y=2s x-s2㊂
设曲线y=g(x)的切点为(t,a l n t), g(x)=a l n x⇒g'(x)=a x,所以过该切点的切线斜率为g'(t)=a t㊂
因此过该切点的切线方程为y-a l n t= a
t
(x-t)⇒y=a t x-a+a l n t㊂
两曲线的公切线应该满足:
2s=a t,
-s2=-a+a l n t
⇒a=4t2(1-l n t)㊂
构造函数h(t)=4t2(1-l n t)(t>0)⇒h'(t)=4t(1-2l n t)㊂
当t>e
1
2时,h'(t)<0,h(t)单调递减;当0<t<e12时,h'(t)>0,h(t)单调递增㊂所以函数有最大值为h e
1
2=2e ㊂
图1
当t>e时,
h(t)<0,当0<t<e,
h(t)>0,函数的图像
大致如图1所示㊂
若曲线y=f(x)
和曲线y=g(x)的公
切线有两条,则a的取
值范围为0<a<2e㊂
选C㊂
4.3已知存在公切线,研究切点性质
例10已知函数f(x)=x2+1,g(x) =l n x,若曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线和曲线y=f(x)切于点(x1,y1),则x21-l n(2x1)=㊂
解析:设公切线与曲线y=g(x)切于点(x2,l n x2),f'(x)=2x,g'(x)=1x,则曲线y=f(x)在点(x1,x21+1)处的切线方程为y-(x21+1)=2x1(x-x1),即y=2x1x-x21+1,曲线y=g(x)在点(x2,l n x2)处的切线方程为y=
x
x2+l n x2-1㊂
所以
2x1=1x
2
,
-x21+1=l n x2-1㊂
因此,x21-l n(2x1)=2㊂
点评:解决公切线问题,若在两个函数图像公共点处有公切线,则利用公共点处的函数值相等与导数值相等即可;若切点不同,则
分别设出切点,求出两个切线方程,因为是公切线,对比两条切线方程,对应系数分别相等即可建立方程㊂
五、切线的应用
5.1求距离
例11 点A 在直线y =x 上,点B 在
曲线y =l n x 上,则|A B |的最小值为( )
㊂A.2
2
B .1
C .2
D .2
解析:设平行于直线y =x 的直线y =x +b (b ʂ0)与曲线y =l n x 相切㊂
则两条平行线间的距离即为|A B |的最
小值㊂设直线y =x +b 与曲线y =l n x 的切点为(m ,l n m ),则由切点在直线y =x +b 上可得l n m =m +b ,
由切线斜率等于切点处的导数值可得1
m
=1,联立解得m =1,b =-1
㊂由平行线间的距离公式可得|A B |的最小值为
|-1-0|
12+(-1
)2=2
2,选A ㊂例12 已知a -l n b =0,c -d =1
,求(a -c )2+(b -d )2
的最小值
㊂
解析:依题意得a =l n b ,d -c +1=0
㊂则(b ,a )是曲线y =l n x 上的点,(d ,c )是直线x -y +
1=0上的点㊂所以(a -c )2
+(b -d )2
可看成曲线y =
l n x 上的点到直线x -y +1=0上点的距离的平方㊂
直线x -y +1=0的斜率为1,由y =l n x ⇒y
'=1
x
㊂令y '=
1
x
=1⇒x =1
,所以过曲线y =l n x 上一点(1,0)的切线与直线x -y +1=0平行㊂
点(1,0
)到直线x -y +1=0的距离为|1-0+1|
2
=2㊂
因此(a -c )2+(b -d )2
的最小值为
(2)2
=2
㊂点评:例11与例12中两点间的距离直
接不好求,结合函数图像利用数形结合转化
为两条平行线间的距离,注意利用导数的几何意义求出切线方程,问题即可迎刃而解㊂
5.2方程问题
例
13 已知方程|c o s x |
x
=k (k >0)
有且仅有两个不同的实数解θ,φ(θ>φ),则以下有关两根关系的结论正确的是( )
㊂A.c o s φ=φ
s i n θB .s i n φ=-φ
c o s θC .c o s θ=θc o s φ
D .s i n θ=-θs i n φ
解析:方程|c o s x |
x
=k (k >0
)有且仅有两个不同的实数解,等价于|c o s x |=k x ,k >
,有且仅有两个不同的实数解,即y =|c o s x |,y =k
x (k >0),有且仅有两个不同的交点(原点除外)
㊂分别作出y =|c o s x |,y =
k x 的图像㊂由图2可知,y =
k x 与y =-c o s x 相切时符合题意㊂
图2
设f (x )=-c o s x ,则f '(x )=s i n x ㊂
因为θ>φ,所以θ为切点横坐标,且φ
是直线y =k x 与y =c o s x 交点的横坐标㊂
因为切线过原点,所以切线斜率k =s i n θ=-c o s θθ=c o s φφ
,c o s φ=φs i n θ,选A ㊂点评:方程|c o s x |
x
=k (k >0
)有且仅有两个不同的实数解,等价于y =|c o s x |,y =k x (k >0)的图像有且仅有两个不同的交点(原点除外),数形结合可得y =k x 与y =-c o s x 相切时符合题意,
根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果㊂
5.3恒成立问题
例14 已知函数f (x )=a x +l n x +
1-x e 2x
对任意的x >0,f (
x )ɤ0恒成立,则实数a 的取值范围为( )
㊂
A.(-ɕ,0]
B.(-ɕ,2]
C.(-ɕ,1]
D.(-ɕ,3]
解析:函数y=e x在点(0,1)处的切线方程为y=x+1㊂
构造函数g(x)=e x-x-1,对其求导得g'(x)=e x-1㊂于是,当xɪ(-ɕ,0)时, g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当xɪ(0, +ɕ)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增㊂所以当x=0时,g(x)m i n=g(0)=0,因此e xȡx+1㊂
于是f(x)=a x+l n x+1-x e2x=a x+ l n x+1-e2x+l n xɤa x+l n x+1-(2x+l n x +1)=(a-2)xɤ0恒成立,所以a-2ɤ0,解得aɤ2,选B㊂
点评:借助切线进行整体放缩简化了整个求解过程,注意利用对数恒等式b=a l o g a b (a>0且aʂ1,b>0)进行变形,同时注意e xȡx+1,e x-1ȡx,e xȡe x,x-1ȡl n x等重要不等式的积累与应用㊂
5.4证明不等式
例15已知函数f(x)=x3-x,设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,求证:-a<b<f(a)㊂
证明:设切点为(t,t3-t),对函数求导得f'(x)=3x2-1㊂
于是得切线方程为y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t),整理得y=(3t2-1)x-2t3㊂
又因为切线过点(a,b),所以b=(3t2-1)a-2t3㊂
因为过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程2t3-3a t2+a+b=0有三个相异的实数根㊂
记g(t)=2t3-3a t2+a+b,则g'(t)= 6t2-6a t=6t(t-a)㊂
当t变化时,g(t),g'(t)的变化情况如表1所示㊂
表1
t(-ɕ,0)0(0,a)a(a,+ɕ) g'(t)+0-0+ g(t)递增极大值a+b递减极小值b-f(a)递增
由g(t)的单调性知,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,方程g(t)=0最多有一个实根;
当a+b=0时,解方程g(t)=0得t= 0,t=3a2,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;
当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t =-a2,t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根㊂
综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则
a+b>0,
b-f(a)<0,即-a<b<f
(a),得证㊂
例16已知函数f(x)=a e x-l n x-1,证明:当aȡ1e时,f(x)ȡ0㊂
证明:构造函数g(x)=e x-x-1,对其求导得g'(x)=e x-1㊂
于是,当xɪ(-ɕ,0)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当xɪ(0,+ɕ)时, g'(x)>0,函数g(x)单调递增㊂
所以当x=0时,g(x)m i n=g(0)=0㊂
因此,e xȡx+1,于是e x-1ȡx㊂
同时g(l n x)ȡ0,可得xȡl n x+1㊂
所以当aȡ
1
e时,f(x)=a e x-l n x-1ȡe x-1-l n x-1ȡx-l n x-1ȡ0,不等式得证㊂
点评:例15中的切线有三条转化为方程有三个根,再转化为三次函数图像与x轴有三个不同的交点,分析其极大值与极小值即可得到所要证明的不等式;例16借助切线进行两次放缩,技巧性比较强,对同学们分析问题和解决问题的能力要求比较高㊂
注:本文系安庆市2022年教育科学规划研究课题 双重 背景下学生核心素养导向的高中数学教学实践研究 (课题编号: A J K T2022-041)的阶段成果㊂
(责任编辑徐利杰)。